2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題三

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題三知識點一根據(jù)橢圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過定點問題典例1、橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，過的長軸，短軸端點的一條直線方程是.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若點關(guān)于軸的對稱點為，證明直線過定點.隨堂練習(xí)：已知橢圓經(jīng)過點和點．（1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）若、為橢圓上異于點的兩點，且點在以為直徑的圓上，求證：直線恒過定點．典例2、已知橢圓經(jīng)過點，其右頂點為．（1）求橢圓的方程；（2）若點、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經(jīng)過定點．隨堂練習(xí)：已知F是橢圓的左焦點，焦距為4，且C過點．（1）求C的方程；（2）過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點，l2與C交于D，E兩點，記AB的中點為M，DE的中點為N，試判斷直線MN是否過定點，若過點，請求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．典例3、已知橢圓過點，離心率為，過點作斜率為，的直線，，它們與橢圓的另一交點分別為，，且.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線過定點.隨堂練習(xí)：已知橢圓的離心率，上頂點是，左?右焦點分別是，，若橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）點和是橢圓上的兩個動點，點，，不共線，直線和的斜率分別是和，若，求證直線經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標(biāo).知識點二根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積典例4、已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點分別為，過垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為，橢圓上的點到一個焦點的最大距離為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個動點（非長軸端點），線段的延長線與橢圓交于點，若的面積為，求直線的方程．典例5、已知為橢圓上任一點，，為橢圓的焦點，，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓的兩交點為A，，線段的中點在直線上，為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿娣e等于時，求直線的方程．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，左、右焦點分別為，，且，點在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過的直線與橢圓相交于，兩點，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．典例6、如圖，已知橢圓：經(jīng)過點，離心率為.點，以為直徑作圓，過點M作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓與圓于點A，B和點N.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程.

隨堂練習(xí)：已知橢圓C的左、右焦點分別為，離心率為，過點且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點P，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與y軸正半軸交于點S，與曲線C交于點E，軸，過點S的另一直線與曲線C交于M，N兩點，若，求所在的直線方程．人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題三答案典例1、答案：（1）；（2）見解析解:（1）對于，當(dāng)時，，即，當(dāng)，，即，橢圓的方程為，（2）證明：設(shè)直線，（），設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，，則，聯(lián)立直線與橢圓得，得，，解得，，，直線，令，得，直線過定點隨堂練習(xí)：答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為（2）證明見解析解：（1）將點、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，可得，由韋達(dá)定理可得，，，同理可得，由已知，則，所以，，即，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；當(dāng)時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意；②當(dāng)直線軸，則點、關(guān)于軸對稱，所以，，，即點，由已知可得，，，由已知，則，所以，，因為，解得，此時直線的方程為，則直線過點.綜上所述，直線過定點.典例2、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意可知，，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，因此，橢圓的方程為.（2）證明：若軸，則點、關(guān)于軸對稱，則直線與也關(guān)于軸對稱，從而直線與的斜率互為相反數(shù)，不合乎題意.設(shè)直線方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，因為，整理可得，即，化簡得，即，可得或.當(dāng)時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；當(dāng)時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意.綜上所述，直線過定點．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）過定點，定點坐標(biāo)為解：（1）依題意，由解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意知，當(dāng)其中一條的斜率不存在時，另外一條的斜率為，此時直線為軸；當(dāng)?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，，，則，所以的中點，同理由，可得的中點，則，所以直線的方程為，化簡得，故直線恒過定點．綜上，直線過定點.典例3、答案：（1）；（2）證明見解析.解:（1）由于，故，所以.又橢圓過點，故，從而，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，不合題意，舍去.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則.又由得：，所以，化簡得，解得或（舍去）.當(dāng)時，直線過定點，符合要求.綜上可知，直線過定點.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）直線過定點解：（1）因為橢圓的離心率，橢圓經(jīng)過點，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，，所以，，所以，解得，所以直線過定點．典例4、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)，因為直線的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）或解：（1）設(shè)的半焦距為，則，故過垂直于軸的直線方程為，與的方程聯(lián)立，得，由題意得，所以，又，所以，，因為橢圓上的點到一個焦點的最大距離為，所以，所以，，故橢圓的方程為；（2）由題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，，，由，消去并整理得，所以，，所以，因為點到直線的距離，且是線段的中點，所以點到直線的距離為，所以，因為，所以，解得或（舍去），所以，此時直線的方程為，即或典例5、答案：（1）（2）或解：（1）由橢圓定義得，，所以，故，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)代入方程，得所以，，所以，解得，則式變?yōu)閯t，底邊上的高，所以的面積．令，解得，把，代入式，經(jīng)檢驗，均滿足，此時直線的方程為或．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）由題意知，所以，，所以，由橢圓定義知：，則，，故橢圓的方程為．（2）①當(dāng)直線軸時，令，可得，解得，可取，，此時的面積，與題設(shè)矛盾，舍去．②當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，成立，設(shè)，，則，，可得．又圓的半徑，∴的面積為，化簡得，解得，∴，∴圓的方程為．典例6、答案：（1）（2）解：（1）將點代入得，，又，，得，所以，，即.（2）因為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，且，則，，則，且，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，∴，∴面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到等號，此時，所以直線的方