2025高考總復習專項復習-概率專題十二（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--概率專題十二知識點一求回歸直線方程,相關系數的意義及辨析,相關系數的計算,計算樣本的中心點典例1、某加工工廠加工產品A，現根據市場調研收集到需加工量X（單位：千件）與加工單價Y（單位：元/件）的四組數據如下表所示：X681012Y12m64根據表中數據，得到Y關于X的線性回歸方程為，其中．（1）若某公司產品A需加工量為1.1萬件，估計該公司需要給該加工工廠多少加工費；（2）通過計算線性相關系數，判斷Y與X是否高度線性相關．參考公式：，時，兩個相關變量之間高度線性相關．

隨堂練習：黨的十九大提出實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略以來，農民收入大幅提升，2022年9月23日某市舉辦中國農民豐收節(jié)慶祝活動，糧食總產量有望連續(xù)十年全省第一.據統(tǒng)計該市2017年至2021年農村居民人均可支配收入的數據如下表：年份20172018201920202021年份代碼12345人均可支配收入（單位：萬元）1、根據上表統(tǒng)計數據，計算與的相關系數，并判斷與是否具有較高的線性相關程度（若，則線性相關程度一般，若則線性相關程度較高，精確到）；2、市五屆人大二次會議政府工作報告提出，2022年農村居民人均可支配收入力爭不低于萬元，求該市2022年農村居民人均可支配收入相對2021年增長率最小值（用百分比表示）.參考公式和數據：相關系數，.

典例2、隨著電池充電技術的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新一代無繩類電動工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應多種應用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用.在消費者便攜無繩化需求與技術發(fā)展的雙重驅動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴大.某公司為適應市場并增強市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現對2017~2021年的研發(fā)人數作了相關統(tǒng)計，如下圖：2017~2021年公司的研發(fā)人數情況（年份代碼1~5分別對應2017~2021年）（1）根據條形統(tǒng)計圖中數據，計算該公司研發(fā)人數與年份代碼的相關系數，并由此判斷其相關性的強弱；（2）試求出關于的線性回歸方程，并預測2023年該公司的研發(fā)人數.（結果取整數）參考數據：，.參考公式：相關系數.線性回歸方程的斜率，截距.附：相關性弱一般強

隨堂練習：近年來，隨著社會對教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，某機構隨機調查了某市2016-2022年的家庭教育支出（單位：萬元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對應2016-2022年）.經計算得，，，，.（1）用線性回歸模型擬合與的關系，求出相關系數r，并說明與相關性的強弱；（參考：若，則線性相關程度一般，若，則線性相關程度較高，計算r時精確度為0.01）（2）求出與的回歸直線方程；（3）若2024年該市某家庭總支出為10萬元，預測2024年該家庭的教育支出.附：①相關系數；②在回歸直線方程，，.典例3、2021年4月20日我校高三學生參加了高考體檢，為了解我校高三學生中男生的體重（單位：）與身高（單位：）是否存在較好的線性關系，體檢機構搜集了7位我校男生的數據，得到如下表格：序號1234567身高166173185183178180174體重57627875716759根據表中數據計算得到關于的線性回歸方程為．（1）求；（2）已知，且當時，回歸方程的擬合效果非常好；當時，回歸方程的擬合效果良好．試問該線性回歸方程的擬合效果是非常好還是良好？說明你的理由．（的結果保留到小數點后兩位）參考數據：．

隨堂練習：某公司為了做好產品生產計劃，準確地把握市場，對過去四年的產品數據進行整理得到了第年與年銷售量（單位：萬件）之間的關系如下表：第年銷售量（萬件）（1）在圖中畫出表中數據的散點圖；（2）根據（1）中的散點圖選擇用于擬合與的回歸模型，并用相關系數加以說明；（2）建立關于的回歸方程，預測第年的銷售量．（參考數據：，）知識點二卡方的計算,獨立重復試驗的概率問題典例4、某種疾病可分為Ⅰ?II兩種類型.為了解該疾病類型與性別是否有關，在某地區(qū)隨機抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一種，得到下面的列聯(lián)表：Ⅰ型病II型病男15050女12575（1）根據列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為所患疾病類型與性別有關.（2）某藥品公司欲研發(fā)此疾病的治療藥物，現有兩種試驗方案，每種方案至多安排2個接種周期，且該藥物每次接種后出現抗體的概率為p（0<p<1），每人每次接種的費用為m元（m為大于零的常數）.方案一：每個周期必須接種3次，若在第一個周期內3次出現抗體，則終止試驗；否則進入第二個接種周期.方案二：每個周期至多接種3次，若第一個周期前兩次接種后均出現抗體，則終止本周期的接種，進入第二個接種周期，否則需依次接種完3次，再進入第二個接種周期；若第二個接種周期第1次接種后出現抗體，且連同第一個接種周期共3次出現抗體，則終止試驗，否則需依次接種完3次.假設每次接種后出現抗體與否相互獨立.用隨機變量X和Y分別表示按方案一和方案二進行一次試驗的費用.①求和；②從平均費用的角度考慮，哪種方案較好？參考公式：，其中n=a+b+c+d.參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.001x02.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習：電子郵件是一種用電子手段提供信息交換的通信方式，是互聯(lián)網應用最廣的服務．通過網絡的電子郵件系統(tǒng)，用戶可以以非常低廉的價格（不管發(fā)送到哪里，都只需負擔網費）、非?？焖俚姆绞剑◣酌腌娭畠瓤梢园l(fā)送到世界上任何指定的目的地），與世界上任何一個角落的網絡用戶聯(lián)系．我們在用電子郵件時發(fā)現了一個有趣的現象，中國人的郵箱名稱里含有數字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數字的比較少．為了研究郵箱名稱里含有數字是否與國籍有關，隨機調取40個郵箱名稱，其中中國人的20個，外國人的20個，在20個中國人的郵箱名稱中有15個含數字，在20個外國人的郵箱名稱中有5個含數字．（1）根據以上數據填寫列聯(lián)表：中國人外國人總計郵箱名稱里有數字郵箱名稱里無數字總計（2）能否有99％的把握認為“郵箱名稱里含有數字與國籍有關”？（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率．在中國人郵箱名稱里和外國人郵箱名稱里各隨機調取6個郵箱名稱，記“6個中國人郵箱名稱里恰有3個含數字”的概率為，“6個外國人郵箱名稱里恰有3個含數字”的概率為，試比較與的大?。剑号R界值參考表與參考公式（，其中）典例5、習近平總書記在黨的十九大工作報告中提出，永遠把人民美好生活的向往作為奮斗目標．在這一號召下，全國人民積極工作，健康生活．當前，“日行萬步”正式成為健康生活的代名詞．某地一研究團隊統(tǒng)計了該地區(qū)1000位居民的日行步數，得到如下表格：日行步數（單位：千步）人數104015020035020050（1）為研究日行步數與居民年齡的關系，以日行步數是否超過8千步為標準進行分層抽樣，從上述1000位居民中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據列聯(lián)表判斷是否有的把握認為日行步數與居民年齡超過40歲有關；日行步數千步日行步數千步總計40歲以上12040歲以下（含40歲）40總計200（2）以這1000位居民日行步數超過8千步的頻率代替該地區(qū)1位居民日行步數超過8千的概率，每位居民日行步數是否超過8千相互獨立．為了深入研究，該研究團隊隨機調查了20位居民，其中日行步數超過8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？附：，其中．0.050.0250.0103.8415.0246.635

隨堂練習：隨著我國人民生活條件持續(xù)改善，國民身體素質明顯增強，人均預期壽命不斷延長，2019年我國人均預期壽命達到77歲.居民人均壽命提升?健康狀況改善，使得群眾生產生活中駕車出行需求持續(xù)增長，呼吁進一步放寬學駕年齡，進一步方便就近體檢.2020年10月22日，公安部新聞發(fā)布會上宣布，取消申請小型汽車?小型自動擋汽車?輕便摩托車駕駛證70周歲的年齡上限.為了了解70歲以上人群對考取小型汽車駕照新規(guī)的態(tài)度，某研究單位對某市的一個大型社區(qū)中70歲以上人員進行了隨機走訪調研，在48名男性人員中有36人持“積極響應”態(tài)度?12人持“不積極響應”態(tài)度，在24名女性人員中持“積極響應”態(tài)度和“持不積極響應態(tài)度”的各有12人.（1）完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為對考小型汽車駕照的態(tài)度與性別有關？積極響應不積極響應合計男女合計（2）在被走訪的持“不積極響應”的樣本中任取2人，記男性人數為X，求X的分布列和數學期望E(X)；（3）不計性別，以樣本的頻率估計概率，在該市的70歲以上人群中任取4人，求至少有2人持“積極響應”態(tài)度的概率.附：，.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828典例6、世衛(wèi)組織近日表示，Delta毒株已擴散至92個國家和地區(qū)．這讓某國某州的醫(yī)療一度瀕臨崩遺．某國衛(wèi)生與公共服務部數據顯示，在6月23日至7月7日的兩周里，該州新冠肺炎確診病例數新增，平均每周增長1111個病例數，每周人均感染病例人數高居全國首位．在醫(yī)學觀察期結束后發(fā)現密切接觸者中未接種過新冠疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家120個接種與未接種新冠疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種新冠疫苗與否/人數感染Delta病毒未感染Delta病毒未接種新冠疫苗2030接種新冠疫苗1060（1）是否有的把握認為密切接觸者感染Delta病毒與未接種新冠疫苗有關；（2）以樣本中結束醫(yī)學現察的密切接觸者感染Delta病毒的頻率估計概率．現從該地區(qū)結束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染Delta病毒人數統(tǒng)計，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；（3）該國現有一個中風險村莊，當地政府決定對村莊內所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行Delta病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結果，若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當p為何值時，最大？附：．0.10.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

隨堂練習：攜號轉網，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機號碼，就能轉換運營商，并享受其提供的各種服務．2019年11月27日，工信部宣布攜號轉網在全國范圍正式啟動．某運營商為提質量?？蛻?，從運營系統(tǒng)中選出300名客戶，對業(yè)務水平和服務水平的評價進行統(tǒng)計，其中業(yè)務水平的滿意率為，服務水平的滿意率為，對業(yè)務水平和服務水平都滿意的客戶有180人．（1）完成下面列聯(lián)表，并分析是否有的把握認為業(yè)務水平與服務水平有關；對服務水平滿意人數對服務水平不滿意人數合計對業(yè)務水平滿意人數對業(yè)務水平不滿意人數合計（2）為進一步提高服務質量，在選出的對服務水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進意見，用表示對業(yè)務水平不滿意的人數，求的分布列與期望；（3）若用頻率代替概率，假定在業(yè)務服務協(xié)議終止時，對業(yè)務水平和服務水平兩項都滿意的客戶流失率為，只對其中一項不滿意的客戶流失率為，對兩項都不滿意的客戶流失率為，從該運營系統(tǒng)中任選4名客戶，則在業(yè)務服務協(xié)議終止時至少有2名客戶流失的概率為多少？附：，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828人教A版數學--概率專題十二答案典例1、答案：（1）該公司需要給該加工工廠57200元加工費.（2）Y與X高度線性相關.解：（1）∵，，則，又∵∴，，∴，∵1.1萬=11千，∴當時，（元），∴（元），答：估計該公司需要給該加工工廠57200元加工費.（2）由（1）知，，，，∴∴，∴兩個相關變量之間高度線性相關.隨堂練習：答案：（1），具有較高的線性相關程度；（2）.解：（1）由題可知的平均數為，，所以，（2），所以與具有較高的線性相關程度；設增長率為，則，解得，，該市2022年農村居民人均可支配收入相對2021年增長率最小值為.典例2、答案：（1），與具有很強的線性相關關系（2），預測2023年該公司的研發(fā)人數約為613人解：（1）由條形統(tǒng)計圖，得，，所以，所以.（2）因為相關系數，所以與具有很強的線性相關關系，且為正相關.，所以，所以.由題意知，2023年對應的年份代碼，當時，，故預測2023年該公司的研發(fā)人數約為613人.隨堂練習：答案：（1），線性相關程度較高（2）（3）萬元.解：（1）由題意得，，則，故，故，∵，∴與高度相關，即與的相關性很強．（2）根據題意，得，，∴關于的回歸直線方程為．（3）由題知，2024年對應的年份代碼，所以，當時，，所以，預測2024年該家庭的教育支出為（萬元）．典例3、答案：（1）；（2）該線性回歸方程的擬合效果是良好的.解：（1）由題意可得，，，又關于的線性回歸方程為，所以（2）由題意，所以，所以該線性回歸方程的擬合效果是良好的.隨堂練習：答案：（1）散點圖見解析（2）可以用線性回歸模型擬合與的關系，說明見解析（3）回歸方程為；第年銷售量的預測值為萬件解：（1）作出散點圖，如圖所示，（2）由（1）中的散點圖可知，各點大致分布在一條直線附近，根據題中所給表格及參考數據可得：，，，，，，，；與的相關系數近似為，說明與的線性相關程度相當強，可以用線性回歸模型擬合與的關系．設關于的回歸直線方程為：，，，關于的回歸直線方程為：，（3）當時，，預測第年的銷售量約為萬件.典例4、答案：（1）有99%的把握認為所患疾病類型與性別有關；（2）①；；②方案二較好.解：（1）由題中數據，可知，所以有99%的把握認為所患疾病類型與性別有關；（2）①方案一：的可能取值為，，則，所以；方案二：由題意，的可能取值為，則，，所以.②因為，所以，所以方案二較好.隨堂練習：答案：（1）聯(lián)表見解析；（2）有的把握認為“郵箱名稱里含有數字與國籍有關”；（3）．解:（1）由已知數據可填寫列聯(lián)表如下：中國人外國人總計郵箱名稱里有數字郵箱名稱里無數字總計（2）．有的把握認為“郵箱名稱里含有數字與國籍有關”．（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率，根據（1）中列聯(lián)表可得：中國人郵箱名稱里含數字的概率為，外國人郵箱名稱里含數字的概率為．設“個中國人郵箱名稱里含數字”的人數為隨機變量，個外國人郵箱名稱里含數字”的人數為隨機變量”，根據題意得：，，則，，．典例5、答案：（1）答案見解析；（2）12位居民．解：（1）1000人中，步數不超過8千步的有400人，超過8千步有600人，則抽取的人數中不超過8千步的有80人，超過8千步的有120人，列聯(lián)表如下：日行步數千步日行步數千步總計40歲以上408012040歲以下（含40歲）404080總計80120200∴，∴有的把握認為日行步數與居民年齡超過40歲有關．（2）每位居民步數超過8千米的概率為，設步數超過8千米的最有可能是位居民，則，解得：，∵，∴，即最有可能是12為居民．隨堂練習：答案：（1）列聯(lián)表答案見解析，有95%的把握認為對考小型汽車駕照的態(tài)度與性別有關；（2）分布列答案見解析，數學期望：；（3）.解：（1）完成列聯(lián)表，得：積極響應不積極響應合計男361248女121224合計482472∴.∴有95%的把握認為對考