新教材人教b版選擇性必修第二冊階段提升課第二課概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)案

階段提升課

第二課概率與統(tǒng)計(jì)

思維導(dǎo)圖?構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

超幾何分俗

P(AC\B)

0(加8)=條件概率

P(B)兩點(diǎn)分布)

條件概率分布列

與獨(dú)立性

P(AB)=P(A)P(B)兩事件獨(dú)立二項(xiàng)分布

離散型

乘法公式與全概率公式隨機(jī)變量對(duì)黑若Ml艮從兩點(diǎn)分布，則￡(X)=P

概

-則E(X)=〃p-

率

與

統(tǒng)方?差若從兩點(diǎn)分布二則。(用=p(1-p)

2x2列聯(lián)表判斷獨(dú)立性檢驗(yàn)思想

統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)思想計(jì)薦￥?8(”),則?、?〃p(1-p)

計(jì)正態(tài)分布正態(tài)矗?？?/p>

回歸直線方程線性相關(guān)性

應(yīng)

檢驗(yàn)思想一)應(yīng)用

用相關(guān)系數(shù)

好原則I

考點(diǎn)整合?素養(yǎng)提升

題組訓(xùn)練一條件概率與事件的獨(dú)立性

1.已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8,超過2年的概率

為0.6,若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞，則這個(gè)元件使用壽

命超過2年的概率為

()

A.0.75B.0.6C.0.52

【解析】選A.設(shè)一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞為事件A，使用

到2年時(shí)還未損壞為事件B,則由題意知P(AB)=0.6,P(A)=0.8,則

P(AB)06

這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為PIBIAFZTT-=府=0.75.

P(A)U.K

2.拋擲5枚硬幣，在已知至少出現(xiàn)了2枚正面朝上的情況下，正面

朝上數(shù)恰好是3枚的概率是_______.

【解析】方法一：記至少出現(xiàn)2枚正面朝上為事件A，恰好出現(xiàn)3枚

正面朝上為事件B,所求概率為P(B|A),事件A包含的基本事件的個(gè)

數(shù)為n(A)=C,+《+己+底=26,

事件B包含的基本事件的個(gè)數(shù)為n(B)=C|=10,

n(AB)n(B)io5

P(B|A)=-;—―=—―.

n(A)n(A)2613

C5+C5+C5+cl26

方法二：事件同上，則

A,BP(A)=2532

C510

P(AB)=P(B)=-^-二我

P(AB)p(B)__5_

所以P(B|A)=e

~P(A)一13.

答案：13

3.A,B,C三名乒乓球選手間的勝負(fù)情況如下：A勝B的概率為0.4,

B勝C的概率為0.5,C勝A的概率為0.6，本次競賽按以下順序進(jìn)行:

第一輪：A與B；第二輪：第一輪的勝者與C；第三輪：第二輪的勝

者與第一輪的敗者；第四輪：第三輪的勝者與第二輪的敗者.

求：(1)B連勝四輪的概率；

(2)C連勝三輪的概率.

【解析】⑴要B連勝四輪，以下這些相互獨(dú)立事件須發(fā)生：第一輪B

勝A,第二輪B勝C,第三輪B再勝A,第四輪B再勝C根據(jù)相互獨(dú)

立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，得所求概率為P=(l-0.4)x0.5x(l-

0.4)x0.5=0.09.

故B連勝四輪的概率為0.09.

(2)C連勝三輪應(yīng)分兩種情況：

i.第一輪A勝B,則第二輪C勝A,第三輪C勝B,第四輪C勝A,

得C連勝三輪的概率為Pi=0.4x0.6x(l-0.5)x0.6=0.072；

ii.第一輪B勝A,則第二輪C勝B,第三輪C勝A,第四輪C勝B,得

C連勝三輪的概率為P2=(l-0.4)x(l-0.5)x0.6x(l-0.5)=0.09.由于i,

ii兩種情況是兩個(gè)互斥事件，

所以所求概率為P=Pi+P2=0.072+0.09=0.162.

故C連勝三輪的概率為0.162.

?方法技巧

在計(jì)算條件概率時(shí),必須搞清楚欲求的條件概率是在哪一個(gè)事件發(fā)生

的條件下的概率，從而選擇合適的條件概率公式，分別求出相應(yīng)事件

的概率進(jìn)行計(jì)算.

"P(AB)=P(A)P(B)〃是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相

互獨(dú)立事件概率問題的工具.

題組訓(xùn)練二隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

1.某市《城市總體規(guī)劃（2016-2035年）》提出到2035年實(shí)現(xiàn)“15分

鐘社區(qū)生活圈〃全覆蓋的目標(biāo)，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與

購物、休閑與健身4個(gè)方面構(gòu)建"15分鐘社區(qū)生活圈〃指標(biāo)體系，并依

據(jù)"15分鐘社區(qū)生活圈〃指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為

0.6~1）、良好小區(qū)（指數(shù)為0.4~0.6）.中等小區(qū)（指數(shù)為0.2~0.4）以及

待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為0~0.2）4個(gè)等級(jí).下面是三個(gè)小區(qū)4個(gè)方面指標(biāo)

的調(diào)查數(shù)據(jù)：

指標(biāo)值

權(quán)重

A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)

教育與義化。20）

醫(yī)療與養(yǎng)老。20）

交通與購物。32）

休閑與健身（0.28）

注：每個(gè)小區(qū)"15分鐘社區(qū)生活圈"指數(shù)T=W1T1+W2T2+w3T3+w4T4,

其中W1,W2,W3,W4為該小區(qū)四個(gè)方面的權(quán)重，T1,T2,丁3,丁4為該

小區(qū)四個(gè)方面的指標(biāo)值（小區(qū)每一個(gè)方面的指標(biāo)值為0?I之間的一個(gè)

數(shù)值）.現(xiàn)有100個(gè)小區(qū)的"15分鐘社區(qū)生活圈〃指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如

下頻數(shù)分布表:

分組[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1]

頻數(shù)1020303010

⑴分別判斷A,B,C三個(gè)小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；

⑵對(duì)這100個(gè)小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)

進(jìn)行分層抽樣,抽取10個(gè)小區(qū)進(jìn)行調(diào)查，若在抽取的10個(gè)小區(qū)中再

隨機(jī)地選取2個(gè)小區(qū)做深入調(diào)查，記這2個(gè)小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個(gè)數(shù)

為E,求￡的分布列及均值.

【解析】⑴A小區(qū)的指數(shù)T=0.7x0.2+07x0.2+0.5x0.32+0.5x0.28=

0.58,0.58<0.60,

所以A小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；B小區(qū)的指數(shù)T=0.9x0.2+0.6x0.2+

0.7x0.32+0.6x0.28=0,692,0.692>0,60,

所以B小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)￡小區(qū)的指數(shù)T=O.lxO.2+03x0.2+0.2x0.32

+0.1x0.28=0.172,

0.172<0.60,所以C小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū).

_30+10

⑵依題意，抽取的10個(gè)小區(qū)中共有優(yōu)質(zhì)小區(qū)10x-10Q-=4個(gè)，其

他小區(qū)10-4=6個(gè).

依題意￡的所有可能取值為0,1,2.

Cl151

唯二°)=說=芯二§，

Ci62

唯=2)=說=芯=逅?

則￡的分布列為：

,012

182

P

31515

1824

E(6=0x§+lx-+2x-=-.

2.中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽總決賽采用七場四勝制(即先勝四場者獲

2

勝)，進(jìn)入總決賽的甲乙兩隊(duì)中，若每一場比賽甲隊(duì)獲勝的概率為§,

1

乙隊(duì)獲勝的概率為§，假設(shè)每場比賽的結(jié)果互相獨(dú)立，現(xiàn)已賽完兩場，

乙隊(duì)以2：0暫時(shí)領(lǐng)先.

⑴求甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；

⑵設(shè)比賽結(jié)束時(shí)兩隊(duì)比賽的場數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】⑴設(shè)甲隊(duì)獲勝為事件A,則甲隊(duì)獲勝包括甲隊(duì)以4：2獲勝

和甲隊(duì)以4:3獲勝兩種情況.

設(shè)甲隊(duì)以4:2獲勝為事件A］，則P(A"=:記，

設(shè)甲隊(duì)以4:3獲勝為事件A2,

11⑵3264

則nIP(A)=C4x-xl-lx-

2=243

1664112

P(A)=P(AI)+P(A)=^+詬

2=243,

⑵隨機(jī)變量X可能的取值為4,5,6,7,

(1}2111214

P(X=4)=同=g；P(X=5)=Cjx-x-x-=—；

11⑵21⑵428

P(X=6)=C；x§x⑸⑸二五；

1(2、332

P(x=7)=C4X-=—.所以X的分布列為

X4567

142832

P

9278181

142832488

E(X)=4x-+5x-+6x-+7x-=近?

3.為了盡快攻克一項(xiàng)科研課題，某生物研究所分別設(shè)立了甲、乙兩

個(gè)研究小組同時(shí)進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，現(xiàn)隨機(jī)在這兩個(gè)小組各抽取40個(gè)數(shù)

據(jù)作為樣本，并規(guī)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)落在［495,510)(單位：克)之內(nèi)的數(shù)據(jù)

為理想數(shù)據(jù)，否則為不理想數(shù)據(jù).試驗(yàn)情況如表所示：

抽查數(shù)據(jù)[490,495)[495,500)[500,505)[505,510)[510,515)

甲681484

頻數(shù)

乙2121862

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出兩個(gè)小組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

⑵若從甲小組測得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中依次有放回地隨機(jī)抽查5個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)

抽到理想數(shù)據(jù)的次數(shù)為，求S的分布列與數(shù)學(xué)期望（以頻率作為概

⑶由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為抽

取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)研究小組的選擇有關(guān).

頻率

組距

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

490495500505510515質(zhì)量（克）

甲小組頻率分布直方圖

甲小組乙小組總計(jì)

理想數(shù)據(jù)

不理想數(shù)據(jù)

總計(jì)

n(ad-be)2

附：X2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d.

a=P僅％k)

k

【解析】⑴甲、

0^490495500505510515質(zhì)量（克）

乙小組頻率分布直方圖

⑵易知甲小組的理想數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為8+14+8=30.

30

故甲小組中理想數(shù)據(jù)的頻率為歷=0.75.

由題意知，￡~,所以￡的分布列為

012345

11545135405243

P

1024102451251210241024

315

E代)=5x4=—.

⑶甲小組的理想數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為30,乙小組的理想數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為36,

2x2列聯(lián)表如下：

甲小組乙小組總計(jì)

理想數(shù)據(jù)303666

不理想數(shù)據(jù)10414

總計(jì)404080

因?yàn)橛杀碇袛?shù)據(jù)得

2n(ad-be)280x(120-360)2

X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)66x14x40x40

~3.117>2,706,

所以有90%的把握認(rèn)為抽取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)小組的選擇

有關(guān).

?方法技巧

離散型隨機(jī)變量的期望與方差的關(guān)注點(diǎn)

⑴求離散型隨機(jī)變量的期望與方差，一般先列出分布列，再按期望與

方差的計(jì)算公式計(jì)算.

⑵要熟記特殊分布的期望與方差公式(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾

何分布).

⑶注意期望與方差的性質(zhì).

⑷實(shí)際應(yīng)用問題，要注意分析實(shí)際問題用哪種數(shù)學(xué)模型來表達(dá).

題組訓(xùn)練三正態(tài)分布

1.(多選題)設(shè)隨機(jī)變量￡服從正態(tài)分布N(0,1),則下列結(jié)論正確的

是()

A.P(|^|<a)=P(f<a)+P(f>-a)(a>0)

B.P(|M<a)=2P(E<a)-l(a>0)

C.P(|^|<a)=l-2P(^<a)(a>0)

D.P(|[]<a)=1-P(K|>a)(a>0)

【解析】選BD.因?yàn)镻(K|<a)=P(-a<E<a)所以A不正確因?yàn)镻(K|<a)

=P(-a<f<a)=P(f<a)-P(f<-a)=P(g<a)-P(f>a)=P(g<a)-[1-P(￡<a)]

=2P(^<a)-1,所以B正確,C不正確；因?yàn)镻(KI<a)+P(K|>a)=l,

所以P(KI<a)=1-P(K|>a)(a>0),所以D正確.

2.在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城〃過程中，某市"創(chuàng)城辦〃為了調(diào)查市民對(duì)

創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查(一位市民只能

參加一次).通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)

果如表所小:

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)215202524104

⑴由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布

N(H,198),近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）,利用該正態(tài)分布，求P（37<Z<79）；

⑵在⑴的條件下，"創(chuàng)城辦〃為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)

方案：

①得分不低于H的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于H的可以獲贈(zèng)

1次隨機(jī)話費(fèi)；

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：

贈(zèng)送話費(fèi)的金額（元）2040

31

概率

44

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記8單位：元)為該市民參加問卷調(diào)

查獲贈(zèng)的話費(fèi)求￡的分布列與數(shù)學(xué)期望的參考數(shù)據(jù)與公式:恒

-14.

若X~N(n,a2),則P(n-a<X<pi+o)=68.3%；P(p-2a<X<pi+2a)=

95.4%,P(H-3a<X<pi+3a)=99.7%.

【解析】⑴由題意得E(Z)=35x0,02+45x0.15+55x0.2+65x0.25+

75x0.24+85x0.1+95x0.04=65.

所以|1=65,因?yàn)椤?近兔=14,

所以P(65-14<Z<65+14)=P(51<Z<79)=68.3%,P(65-2xl4<Z<65+

2x14)=P(37<Z<93)=95.4%,

1

所以P(37<Z<51)=2[P(37<Z<93)-P(51<Z<79)]=0.1355.

綜上,P(37<Z<79)=P(37<Z<51)+P(51<Z<79)=0.1355+0.683=0.8185.

1

(2)由題意知P(Z<|1)=P(Z>|1)=2，

獲贈(zèng)話費(fèi)S的可能取值為20,40,60,80.

133

P22。)=5x1=8I

1113313

=40)=5x4+5X4X4=32；

1311133

P(^=60)=2x-x-+-x-x-=—；

1111

P(S=80)=5x-x-=—.

?方法技巧

利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法

⑴對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=n對(duì)稱的，且概率的和為1,

故關(guān)于直線x=n對(duì)稱的區(qū)間上的概率相等.如：

@P(X<a)=1-P(X>a)；@P(X<|i-a)=P(X>|i+a).

(2)"3o"法:利用X落在區(qū)間以-a,n+o],[n-2a,n+2o],(n-3a,

H+3o]內(nèi)的概率求解.

題組訓(xùn)練四統(tǒng)計(jì)模型

1.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，

下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)

天投籃命中率y之間的關(guān)系：

時(shí)間X12345

命中率y

小李這5天的平均投籃命中率為；用線性回歸分析的方法，

預(yù)測小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為.

一0.4+0.5+0.6+0.6+0.4

【解析】小李這5天的平均投籃命中率V=---------§----------

_55

=0.5，可求得小李這5天的平均打籃球時(shí)間x￡xM=7.6,=

i=li=1

55,b==0.002,a=0.494,故線性回歸方程為y=0.494+0.002x,

將x=6代入得，6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率約為0.506.

答案：

2.以下是某地收集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：

房屋面積x/m211511080135105

銷售價(jià)格V年22

⑴畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；

⑵若線性相關(guān)，求回歸直線方程;

⑶根據(jù)⑵的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150m2時(shí)的銷售價(jià)格.

【解析】(1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示.

30

25

20

15

10

5

O7090110130150x

(2)由散點(diǎn)圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

-15_15

由表中數(shù)據(jù)知x二二?尸1。9,y=二2丫i=23.2,

i=1i=l

55

Zx：=60975,ZxiYi=12952.

i=,i=i

設(shè)所求回歸直線方程為丫=bx+a,

5_____

XxiYi-5xy

i=l

貝Ub=------------------=0.1962,

5_

ZX-5X2

i=l

a=y-bx=1.8142,

故所求回歸直線方程為y=0.1962x+1.8142.

⑶根據(jù)⑵，當(dāng)x=150時(shí)，銷售價(jià)格的估計(jì)值為y=0.1962x150+1.814

2=31.2442（萬兀）.

?方法技巧

1.建立回歸模型的步驟

⑴確定研究對(duì)象，明確變量x,y.

⑵畫出變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系，

⑶確定回歸方程的類型，

⑷按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）.

⑸得出回歸方程.

2.分析兩個(gè)變量線性相關(guān)的常用方法

⑴散點(diǎn)圖法，該法主要是用來直觀地分析兩變量間是否存在相關(guān)關(guān)

系.

⑵相關(guān)系數(shù)法，該法主要是從量上分析兩個(gè)變量間相互聯(lián)系的密切程

度，|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小.

題組訓(xùn)練五獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.（多選題）針對(duì)時(shí)下的“國學(xué)熱"，某校團(tuán)委對(duì)"學(xué)生性別和喜歡國學(xué)

是否有關(guān)"作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡

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國學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的工，女生喜歡國學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)的二，

若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡國學(xué)和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可

能有人（）

附表：

P(X2^k)

k

n(ad-be)2

附：X2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.25B.45C.60D.75

【解析】選BC.設(shè)男生的人數(shù)為5n(nGN*),根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表

如表所示：

男生女生總計(jì)

喜歡國學(xué)4n3n7n

不喜歡國學(xué)n2n3n

總計(jì)5n5nlOn

10nx(4nx2n-3nxn)2ion

則X-5nx5nx7nx3n—21'

由于有95%的把握認(rèn)為是否喜歡國學(xué)和性別有關(guān)則3.841取<6.635,

reion

即3.841丐丁<6.635,得8.066l<n<13.9335.

因?yàn)槊*,則n的可能取值有9,10,11,12,

因此調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為45,50,55或60,所以B,C

項(xiàng)符合要求.

2.近來天氣變化無常，陡然升溫、降溫幅度大于10℃的天氣現(xiàn)象出

現(xiàn)增多.陡然降溫幅度大于10℃容易引起幼兒傷風(fēng)感冒疾病.為了

解傷風(fēng)感冒疾病是否與性別有關(guān)，在某婦幼保健院隨機(jī)對(duì)入院的100

名幼兒進(jìn)行調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表，若在全部100名幼兒中隨機(jī)

2

抽取1人，抽到患傷風(fēng)感冒疾病的幼兒的概率為二，

⑴請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

患傷風(fēng)感冒疾病不患傷風(fēng)感冒疾病總計(jì)

男25

女