新教材人教A版必修第二冊(cè)【新教材】7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）

【新教材】7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）

教材分析

復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使同學(xué)對(duì)于數(shù)的

概念有一個(gè)初步的、完整的認(rèn)知，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下根底.通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使同學(xué)

在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些根本學(xué)問，體會(huì)

人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.

敬學(xué)目標(biāo)與我心需兼

課程目標(biāo)：

i.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)

系；

2.把握實(shí)軸、虛軸、模等概念；

3.把握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何意義的理解；

2.規(guī)律推理：依據(jù)平面與向量的關(guān)系推出復(fù)數(shù)與向量的一一對(duì)應(yīng)及復(fù)數(shù)模公式；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：依據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)求參數(shù)和求復(fù)數(shù)的模；

4.數(shù)學(xué)建模：依據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，多方位了解復(fù)數(shù)的幾何意義，提高同學(xué)學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的愛好.

政學(xué)重窿點(diǎn)

重點(diǎn)：理解復(fù)數(shù)的幾何意義，依據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)及向量.

難點(diǎn)：依據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)及向量.

教學(xué)方法：以同學(xué)為主體，小組為單位，采納誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、情景導(dǎo)入

提問：實(shí)數(shù)可以與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，類比實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)能與什么一一對(duì)應(yīng)呢？

要求：讓同學(xué)自由發(fā)言，老師不做推斷。而是引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)一步觀看.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本7072頁，思索并完成以下問題

1、復(fù)平面是如何定義的，復(fù)數(shù)的模如何求出？

2、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)？

要求：同學(xué)完成，以小組為單位，組內(nèi)可商議?，最終選出代表答復(fù)以下問題。

三、新知探究

1.復(fù)平面

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6GR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).

(2)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6WR)平面對(duì)量OZ.

［規(guī)律總結(jié)I實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)

對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實(shí)數(shù).

3.復(fù)數(shù)的模

----->

⑴定義：向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=(z+6i(m6GR)的模.

(2)記法：復(fù)數(shù)z=a+6i的模記為|z|或|a+bi|.

(3)公式：\z\=\a+bi\=r=yla2+b2(f>0,rGR).

四、典例分析、舉一反三

題型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例1求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)2=生U了+(〃2—2〃-15"“《14)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)2滿意以下條

件：

(1)在復(fù)平面的其次象限內(nèi).

(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.

【答案】(1)〃V—3.(2)a>5或〃V—3.

【解析】(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的其次象限內(nèi)，

/一。一6

那么J---“<+03，解得。<一3.

.a2—2i?—15>0,

[a2-2a-15>0,

(2)點(diǎn)Z在x軸上方，那么,

〔”+3翔，

即(a+3)(a—5)>0,解得a>5或a<—3.

解題技巧(利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的解題步驟)

(1)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)是：復(fù)數(shù)的實(shí)部就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，虛部就是該

點(diǎn)的縱坐標(biāo).

(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿意的條件求參數(shù)取值范圍時(shí)，可依據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,

建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部滿意的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.

跟蹤訓(xùn)練一

1、實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=彳2+x—6+(x2—2x—15)i的點(diǎn)Z：

(1)位于第三象限；(2)位于直線了一)，-3=0上

【答案】(1)—3<r<2.(2)x=-2.

【解析】由于x是實(shí)數(shù)，所以f+x—6,/—2x—15也是實(shí)數(shù).

/十工一6<0,

⑴當(dāng)實(shí)數(shù)x滿意，八即一30y2時(shí)，點(diǎn)Z位于第三象限.

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿意即3x+6=0,x=-2時(shí)，點(diǎn)Z位于直

線X—>-3=0上.

題型二復(fù)數(shù)與平面對(duì)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

--->--->

例2平面直角坐標(biāo)系中。是原點(diǎn)，向量OA,03對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—3i,—3+2i,那么向

量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.-5+5iB.5-5i

C.5+5iD.-5-5i

【答案】B.

【解析】向量OA,08對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—3i,—3+2i,依據(jù)復(fù)數(shù)的兒何意義，可得向

量0A=(2,-3),OB=(-3,2).

----->----->-----?

由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量BA=0A-OB=(2+3,-3—2)=(5,-5),依據(jù)復(fù)數(shù)

----->

與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，可得向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5—51

解題技巧：(復(fù)數(shù)與平面對(duì)量對(duì)應(yīng)關(guān)系的解題技巧)

(1)依據(jù)復(fù)數(shù)與平面對(duì)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面對(duì)量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)

的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段,

即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.

(2)解決復(fù)數(shù)與平面對(duì)量一一對(duì)應(yīng)的題目時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具,

實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.

跟蹤訓(xùn)練二

1、在復(fù)平面內(nèi)，A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-l+2i.

-----?----->----->

(1)求向量A8,AC,8c對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(2)假設(shè)A8C。為平行四邊形，求。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

----->----->-----?

【答案】(1)AB,AC,8c對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,-2+2i,—3+i.

[2)。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.

【解析】(1)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，由復(fù)數(shù)的幾何意義知：

-----?-----?----->

OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(-1,2),

-----?-----?

所以/=OB-OA=(1,1),

----->----->----->----->----->

~AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB=(-3,1),

-----?----->----->

所以43,AC,8c對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,-2+2i,-3+i.

-----?----->

[2)由于A3CD為平行四邊形，所以A。==(—3,1),

----->-----?

OD=OA+AD=(1,0)+(-3,1)=(-2,1).所以。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.

題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算與應(yīng)用

例3設(shè)復(fù)數(shù)Z1=4+3i,Z2=4-3i.

(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量;

(2)求復(fù)數(shù)的模，并比擬它們的模的大小.

【答案】(1〕圖見解析，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，對(duì)應(yīng)的向量分別為，.(2),..

【解析】(1)如圖，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，對(duì)應(yīng)的向量分別為,.

22

(2)|Z]|=|4+3z|=A/4+3=5.憶|=|4—3i|=j42+(—3)2=5.

所以.

例4設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,那么滿意以下條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

(1);

⑵.

【答案】(1)以原點(diǎn)。為圓心，以1為半徑的圓.

(2)以原點(diǎn)。為圓心，以1及2為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.

【解析】(1)由得，向量的模等于1,所以滿意條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)。為圓心，以1

為半徑的圓.

z<2,

(2)不等式可化為不等式〈,

不等式的解集是圓的內(nèi)部全部的點(diǎn)組成的集合，

不等式的解集是圓外部全部的點(diǎn)組成的集合，

這兩個(gè)集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿意條件的點(diǎn)Z的集合.簡(jiǎn)單看出，

所求的集合是以原點(diǎn)。為圓心，以1及2為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界

(如圖).

解題技巧(與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的解題技巧)

(1)復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的?？梢员葦M大小.

(2)依據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式|a+5|=d齊京可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題解決.

----->

(3)依據(jù)復(fù)數(shù)模的定義|z|=|0Z|,可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為向量模(即兩點(diǎn)的距離)的問題解決.

跟蹤訓(xùn)練三

1、復(fù)數(shù)z=a+/i(a《R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限，且|z|=2,那么復(fù)數(shù)z等于

()

A.-1+小iB.1+小i

C.一1+小i或1+小iD.一2+小i

【答案】A.

［居+3=4,

【解析】由題意得解得。=-1.故Z=-1+小i.

1?<0,

五、課堂小