新高考數(shù)學一輪復習第5章 第06講 拓展一 平面向量的拓展應用 精講（教師版）

第06講拓展一：平面向量的拓展應用(精講）目錄第一部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題高頻考點三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題高頻考點四：平面向量與三角函數(shù)的結合第二部分：高考真題感悟第一部分：典型例題剖析第一部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題例題1．（2021·重慶第二外國語學校高三階段練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B由題設，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，注意可能SKIPIF1<0，故充分性不成立；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角為銳角時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故必要性成立；故選：B例題2．（2022·河北承德·高一階段練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角是銳角，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角是銳角，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C例題3．（2022·山東·淄博中學高一階段練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角時，SKIPIF1<0的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角時，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0

故答案為：SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·河南·唐河縣第一高級中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0為銳角，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0為銳角知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故選：D.2．（2022·廣東茂名·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線.SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角的充要條件是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，即“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件，A正確.故選：A3．（2022·廣東·海珠外國語實驗中學高一期中）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角.則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______________.【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線時，即SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.4．（2022·重慶·西南大學附中模擬預測）設向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0由題設可得：SKIPIF1<0，因為向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不反向共線，可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線時，存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（正解舍），所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不反向共線，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.高頻考點二：平面向量數(shù)量積的最值（或范圍）問題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面內的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值等于（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C∵SKIPIF1<0，∴可以A為原點，SKIPIF1<0所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系；不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故點P坐標為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，在SKIPIF1<0上遞減，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為12．故選：C．例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內一點，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BSKIPIF1<0是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖：則SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：B例題3．（2021·河北武強中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0是邊長為1的正六邊形SKIPIF1<0內或其邊界上的一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是________.【答案】SKIPIF1<0如圖，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0是銳角時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0是鈍角時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0是直角時，SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題型歸類練1．（2022·北京市第五十中學高一期中）如圖，線段SKIPIF1<0，點A，B分別在x軸和y軸的非負半軸上運動，以AB為一邊，在第一象限內作矩形ABCD，SKIPIF1<0，設O為原點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：如圖令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值是3，最小值是1，故選：C．2．（2021·云南·昆明市官渡區(qū)第一中學高二期中）已知直角梯形SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D法一：因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0法二：如圖，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中∠ABC=45°，設點SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故選：D.3．（2022·全國·高一課時練習）在矩形ABCD中，AB=2SKIPIF1<0，AD=2，點E為線段BC的中點，點F為線段CD上的動點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．[2，14] B．[0，12]C．[0，6] D．[2，8]【答案】A如圖建立平面直角，則A(0，0)，E(2SKIPIF1<0，1)，設F(x，2)(0≤x≤2SKIPIF1<0)，所以SKIPIF1<0=(2SKIPIF1<0，1)，SKIPIF1<0=(x，2)，因此SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0x+2，設f(x)=2SKIPIF1<0x+2(0≤x≤2SKIPIF1<0)，f(x)為增函數(shù)，則f(0)=2，f(2SKIPIF1<0)=14，故2≤f(x)≤14，SKIPIF1<0的取值范圍是[2，14].故選：A4．（2021·上海市延安中學高三期中）如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓SKIPIF1<0上一個動點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為__________.【答案】SKIPIF1<0由余弦定理得SKIPIF1<0，由正弦定理得外接圓半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交圓于點SKIPIF1<0，如圖所示，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最小值為A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩邊平方，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選:B.例題3．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預測（理））已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】C因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向共線時取“=”，所以SKIPIF1<0的最大值為4.故選：C題型歸類練1．（2022·全國·高一專題練習）已知SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在平面內的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由平面向量模的三角不等式可得SKIPIF1<0.當且僅當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反時，等號成立.因此，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.2．（2022·廣東·廣州市第二中學高一階段練習）如圖，在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0的點，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若線段SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0別是邊SKIPIF1<0的點，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，左右兩邊平方得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.3．（2022·江蘇·輔仁高中高一期中）已知向量SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由題意，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，故存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時等號成立故選：D4．（2022·全國·高一專題練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足：|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|=3，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則|SKIPIF1<0－SKIPIF1<0|的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0高頻考點四：平面向量與三角函數(shù)的結合例題1．（多選）（2022·河北石家莊·高三階段練習）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．B．將函數(shù)SKIPIF1<0圖像上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼腟KIPIF1<0（縱坐標不變），再將所得圖像向左平移SKIPIF1<0個單位長度，可得函數(shù)SKIPIF1<0的圖像．C．函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)．D．函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內所有零點之和為SKIPIF1<0．【答案】AD解：因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；將SKIPIF1<0圖像上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼腟KIPIF1<0（縱坐標不變）得到SKIPIF1<0，再將SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0個單位長度得到SKIPIF1<0，故B錯誤；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正確；故選：AD例題2．（2022·河南宋基信陽實驗中學高一階段練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的值；(2)設函數(shù)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0的圖像向左平移SKIPIF1<0個單位得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的值域．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0.例題3．（2022·貴州·遵義四中高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)由題設，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(2)由（1）得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，且對應值域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.例題4．（2022·河北·張北縣第一中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)化簡函數(shù)SKIPIF1<0的解析式，并求最小正周期；(2)若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以最小正周期為SKIPIF1<0；(2)由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故實數(shù)m的取值范圍為SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0，最小正周期為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.第二部分：高考真題感悟第二部分：高考真題感悟1．（2020·海南·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范圍是SKIPIF1<0，結合向量數(shù)量積的定義式，可知SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的模與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘積，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：A.2．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，SKIPIF1<0且交AB于點E．SKIPIF1<0且交AC于點F,則SKIPIF1<0的值為____________；SKIPIF1<0的最小值為____________．【答案】

1

SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為1的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0