高中數(shù)學(xué)-知識點(diǎn)梳理

知識點(diǎn)歸納梳理

一'集合

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種,用符號且或生表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*（或N+）ZQ.R

2.集合間的基本關(guān)系

關(guān)系自然語言符號語言Venn圖

集合A中所有元素都在集合B中(即若AGB（或B

子集

xGA,貝iJxGB)

或CAWZ）

集合A是集合B的子集，且集合B中至A8（或

真子集

少有一個(gè)元素不在集合A中BA）

集合A,2中元素相同或集合A,B互為

集合相等A=3

子集

3.集合的運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

圖形儂

符號

4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論

⑴若有限集A中有“個(gè)元素，則A的子集個(gè)數(shù)為二個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為2〃一1個(gè),真子集有2〃一1

個(gè).

（2）A￡AUB=B.

二、函數(shù)及其表示

1.函數(shù)與映射

函數(shù)映射

兩集合A、

設(shè)A,B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合

B

如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力使對如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系力使對

對應(yīng)關(guān)系

于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合3于集合A中的任意一個(gè)元素龍,在集合

f：

中都有唯一確定的數(shù)兀0和它對應(yīng)B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)

稱人匕旦為從集合A到集合B的一稱對應(yīng)/：A-B為從集合A到集合B

名稱

個(gè)函數(shù)的一個(gè)映射

記法y=?(xeA)對應(yīng)/：A/3是一個(gè)映射

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xGA中，其中所有無組成的集合A稱為函數(shù)y=/U)的定義域;將所有y組成的集

合叫做函數(shù)y=*x)的值域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.

(3)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為

分段函數(shù).

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的法集，其值域等于各段函數(shù)的值域的丑集，分段函數(shù)雖

由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

4.常見函數(shù)定義域的求法

類型x滿足的條件

2幅,心*

"］。/U)W0

log瘋)(Q>0,〃W1)")>0

log/wg(x)")>0,且

g(x)>0

71

tan危)kGZ

三、函數(shù)單調(diào)性及最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)八X)的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上

定義

的任意兩個(gè)自變量的值XI，X2

當(dāng)制<%2時(shí)，都有那

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有Zfa)<"2),那么就

么就說函數(shù)人勸在區(qū)間D上是減

說函數(shù)式X)在區(qū)間D上是增函數(shù)

函數(shù)

\\

-

圖象

描述目

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)v=/U)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)尸危)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

性，區(qū)間D叫做的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=Ax)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對于任意的xG/,都有(3)對于任意的xd/,都有

條件

(2)存在比6/,使得"o)=M(4)存在xoG/,使得"o)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

四、函數(shù)奇偶性與周期性

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對于函數(shù)?x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有*—x)=/U),那

偶函數(shù)關(guān)于連|對稱

么函數(shù)式勸是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)“X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)工,都有外一X)=—/U),

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱

那么函數(shù)/(X)是奇函數(shù)

2.周期性

⑴周期函數(shù)：對于函數(shù)>=兀0,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

"+口="),那么就稱函數(shù)>=大尤)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/U)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做

兀?的最小正周期.

五、二次函數(shù)與幕函數(shù)

1.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：〃尤)=濾+bx+c(aW0).

②頂點(diǎn)式：/U)=a(x—ffl)2+w(aW0).

③零點(diǎn)式：/U)=a(x-xi)(x—X2)(a#0).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2.幕函數(shù)

(1)定義：形如y=x”(aGR)的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

⑵幕函數(shù)的圖象比較

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②累函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)；

③當(dāng)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)a<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

六'指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m

(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是標(biāo)(a>0,m，wGN*,且此1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

一21

的意義是。?=-(a>0,m,neN*,且”>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于。；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有

行

意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：aras=ar+s,(ay=a^,(abY=arbr,其中a>0,b>0,r,sGQ.

2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

產(chǎn)優(yōu)a>l0<a<l

Fiy=axy=ax\『

“中…k

圖象

o\i~~、o\i-^

定義域(DR

值域(2)(0,+8)

(3)過定點(diǎn)(0,1)

(4)當(dāng)x>0時(shí)，y>l；(5)當(dāng)尤>0時(shí)，0<y<l；

性質(zhì)當(dāng)x<0時(shí)，0<y〈l當(dāng)x<0時(shí)，y>l

(7)在(-8,+8)上是

(6)在(一8,+8)上是增函數(shù)

減函數(shù)

七'對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)的概念

如果爐=N(a>0且aWl),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log°N,其中a叫做對數(shù)的

底數(shù)，N叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

⑴對數(shù)的運(yùn)算法則

如果a>0且aWl,M>0,N>Q,那么

M

@logg(W)=logflM+logflA^;②logaR=log”"—lo&N；

幾

③logaAT=mOgaM①￡R)；④loga/T=]ogaM>n,〃￡R,且加WO).

(2)對數(shù)的性質(zhì)

①〃LOGFLN=N；②loga，=N30且aW1).

(3)對數(shù)的重要公式

①換底公式：logbN=譬。(a,b均大于零且不等于1)；②log法=1上,推廣log向ogbC,logcd=log].

lOga。lOgbG

3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y="與對數(shù)函數(shù)y=logflx互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

八'函數(shù)的圖象

1.描點(diǎn)法作圖

方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、

單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢)；(4)描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象.

2.圖象變換

(1)平移變換

(2)對稱變換

小o、關(guān)于九軸對稱

①y=/U)-----------------y=-f(x)；r

②。=於)關(guān)于淵對稱

x)；

、關(guān)于原點(diǎn)對稱

③y=/(x)--------------------y=一?—》)；

關(guān)于y=%對稱_口,

@y=ax(a>0且?y=logaX(a>。月^〃聲1)?

保留%軸上方圖象

⑤尸危)

將龍軸下方圖象翻折上去

自，、保留y軸右邊圖象，并作甚⑶|、

⑥y=/(x)關(guān)于，軸對稱的圖象

(3)伸縮變換

①y=/(x)(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，，縱坐標(biāo)不變)

a

y=f(ax).

。＞1,縱坐標(biāo)伸長為原來的。倍，橫坐標(biāo)不變

?)一=穴縱坐標(biāo)縮短為原來的&倍，橫坐春不變

y=afl,x).

九、函數(shù)與方程

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義

對于函數(shù)y=Ax)(xe。)，把使*x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)v=%c)(xer>)的零點(diǎn).

⑵幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程式龍)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=4x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/U)有零點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,6］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有數(shù))?價(jià))<0,那么，函數(shù)y=

/U)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在cd(a,b),使得*c)=0,這個(gè)也就是方程式x)=0的根.

2.二分法

對于在區(qū)間［a,0上連續(xù)不斷且施)?他)<0的函數(shù)y=*x),通過不斷地把函數(shù)五刈的零點(diǎn)所在的區(qū)間

一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

J>0/=0/<0

二次函數(shù))=辦2

-\-bx~\~c(。>0)的

圖象==E

與無軸的交點(diǎn)(X10),(X2.0)(XLQ)無交點(diǎn)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)210

十、函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.幾類函數(shù)模型及其增長差異

⑴幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix)=ax+b。為常數(shù)，

k

反比例函數(shù)模型Xx)=-+Z?(k,b為常數(shù)且k70)

二次函數(shù)模型J(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，QWO)

指數(shù)函數(shù)模型fix)=bcf+c(a,b,c為常數(shù)，b