新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第05講 空間向量及其應(yīng)用練（教師版）

第05講空間向量及其應(yīng)用(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是空間一個基底，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一定可以與向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成空間另一個基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合向量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）+（SKIPIF1<0）＝2SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是共面向量，同理SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是共面向量，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不能與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0構(gòu)成空間的一個基底；又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共面，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0構(gòu)成空間的一個基底．故選：C．2．（2022·重慶南開中學(xué)高一期末）如圖，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，M為BC的中點(diǎn)，N為SKIPIF1<0靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0故選：A3．（2022·湖南益陽·高二期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故選：D4．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：D.5．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知存在非零實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由題意，存在非零實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，因?yàn)镾KIPIF1<0，根據(jù)向量的共面定量，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A.6．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末（理））如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線SKIPIF1<0的是（

）A． B．C． D．【答案】B在正方體中，對各選項(xiàng)建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，令正方體棱長為2，點(diǎn)SKIPIF1<0，對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，A不是；對于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B是；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，C不是；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，D不是.故選：B7．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為6，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為底面SKIPIF1<0上的動點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0的點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為面SKIPIF1<0上的直線：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即圖中的線段SKIPIF1<0，由圖知：SKIPIF1<0，故選：B.8．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是棱長為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體表面上運(yùn)動，則SKIPIF1<0的最大值為(

)A．4 B．12 C．8 D．6【答案】C設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體表面上運(yùn)動，∴當(dāng)SKIPIF1<0為正方體頂點(diǎn)時，SKIPIF1<0最大，且最大值為正方體體對角線的一半，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C.二、多選題9．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有（

）A．SKIPIF1<0B．向量SKIPIF1<0共面C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則該平行六面體的高為SKIPIF1<0【答案】ACD在平行六面體SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因點(diǎn)M，N分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不共面，則有SKIPIF1<0，顯然不成立，B不正確；由SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故C正確.連接SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，即四面體SKIPIF1<0是正四面體，因此，平行六面體的高等于點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，即正四面體SKIPIF1<0的高h(yuǎn)，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，由選項(xiàng)A知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以平行六面體的高為SKIPIF1<0，D正確.故選：ACD10．（2022·全國·高一）在所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)A是三棱柱的頂點(diǎn)，M，N、Q是所在棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中直線AQ與直線MN垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】AC所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)A是三棱柱的頂點(diǎn)，M，N、Q是所在棱的中點(diǎn),故可設(shè)棱長為2，在正三棱柱中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：對于A，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確；對于B，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不垂直，故B不正確；對于C，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C正確；對于D，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不垂直，故D不正確；故選：AC三、填空題11．（2022·廣東·清遠(yuǎn)市博愛學(xué)校高一階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為60°且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量是______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向投影向量SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12．（2022·浙江嘉興·高一期末）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0于點(diǎn)E，M是AC的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．【答案】SKIPIF1<0##-0.125連接SKIPIF1<0，如圖，因SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAB，則SKIPIF1<0平面PAB，又SKIPIF1<0平面PAB，即有SKIPIF1<0，因M是AC的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0取“=”，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0四、解答題13．（2022·湖北恩施·高二期末）在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點(diǎn)，P是C1C的中點(diǎn).(1)證明：平面A1BC⊥平面POB；【答案】(1)證明見解析證明：連接A1O設(shè)A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，AC=SKIPIF1<0，A1C1=SKIPIF1<0因?yàn)镃1C⊥平面ABC，O為AC的中點(diǎn)，所以A1O⊥平面ABC,因?yàn)锳B=BC，所以BO⊥AC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－SKIPIF1<0，則A(0，－SKIPIF1<0，0)，B(SKIPIF1<0，0，0)，C(0，SKIPIF1<0，0)，SKIPIF1<0(0，0，2)，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2)，SKIPIF1<0(0，SKIPIF1<0，2)，P(0，SKIPIF1<0，1).因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以A1C⊥平面POB..因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB.14．（2022·廣西南寧·高二期末（理））已知在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)，G分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行；【答案】(1)證明見解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行．B能力提升1．（多選）（2022·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0共線的必要條件C．SKIPIF1<0三點(diǎn)不共線，對空間任一點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0四點(diǎn)共面D．若SKIPIF1<0為空間四點(diǎn)，且有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不共線），則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0三點(diǎn)共線的充要條件【答案】ACD對于A,由SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則一定有SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，故A正確；對于B，由SKIPIF1<0反向共線，可得SKIPIF1<0，故B不正確；對于C，由SKIPIF1<0三點(diǎn)不共線，對空間任一點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，故C正確；對于D,若SKIPIF1<0為空間四點(diǎn)，且有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不共線），當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，反之也成立，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0三點(diǎn)共線的充要條件，故D正確.故選：ACD.2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.取BC的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作SKIPIF1<0于點(diǎn)Q，則（

）A．SKIPIF1<0 B．四棱錐SKIPIF1<0的體積為40C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故A正確；因?yàn)橹苯翘菪蜸KIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0面BCE四棱錐高SKIPIF1<0，所以四棱錐體積SKIPIF1<0，故B不正確；SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故C正確；SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為2的正四面體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的位置關(guān)系是______；當(dāng)SKIPIF1<0最小且SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0______．【答案】

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0解：由四點(diǎn)共面定理及三點(diǎn)共線定理可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最小且SKIPIF1<0最小時，則SKIPIF1<0是等邊SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊中點(diǎn).所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0邊中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<04．（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二期末）如圖所示的平行六面體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為__；若SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為__．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0利用平行線的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：①SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．②連接SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0點(diǎn)為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0點(diǎn)為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．延長SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．C綜合素養(yǎng)1．（2022·福建廈門·高二期末）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．(1)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不垂直；【答案】(1)證明見解析證明：以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，所以SKIPIF