貴州省貴陽(yáng)市云巖區(qū)振華中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

貴州省貴陽(yáng)市云巖區(qū)振華中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考

試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

，(巾=(xs2x?6rxr<--i)

1.函數(shù)2的最大值為

(A)4(B)5(C)6(D)7

參考答案：

B

因?yàn)閊^?-3'堂+亍，而***LI］，所以、時(shí)，取最大值5,選B

2.已知兩個(gè)不同的平面〃和兩個(gè)不重合的直線m、n,有下列四個(gè)命題：

①若后〃從而J_a,則”一a；②若刪民則a//￡；

③若刪一a.刷〃n,〃u￡,則ale；④若府//a,ac￡=”，則刑〃〃,

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

參考答案：

D

略

3.已知集合/={力=-*-9,，=bd/=/},則"!A=()

A.{(-1,1)}B.[0,+a>)C.(-1,1)D.0

參考答案：

B

4.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在某項(xiàng)測(cè)試中的6次成績(jī)的莖葉圖如圖2所示，々，勺分別

表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，為“分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)

甲乙

-908

655413557

22

測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有田2

A.B.近=刀2,可＞$2

C.%=x幣玩=%D,入1=*2，另＜$2

參考答案:

D

由樣本中數(shù)據(jù)可知三=15,%=匕，由莖葉圖得與<%,所以選D.

5.03勺年2°3.2"這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是（）

2a03

（A）03<^<bg303⑻03<bg2O,3<2

J0302J

（C）bga03<03<2（D）loga03<2<03

參考答案：

C

6.設(shè)a,夕為兩個(gè)平面，則a〃夕的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與萬(wàn)平

行

C.a,夕平行于同一條直線D.a,夕垂直于同一平面

參考答案：

B

根據(jù)面面平行的判定定理易得答案.選B.

X.2彳

—1+V=1

7.如圖所示是用模擬方法估計(jì)橢圓4.的面積的程序框圖,則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入

ASN=---B.S=—

500500

AM

500

參考答案:

D

略

n

8.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+>)，其中中為實(shí)數(shù)，若f(x)WIf(4)|對(duì)x￡R恒

n

成立，且f(不)>0,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

nnn

A.[ku,kJI+2](kez)B.[kn—4,kn+4]

(kez)

C.[kn+4,kn+4](keZ)D.[kn-2,kn](kEZ)

參考答案:

c

略

z￡

o9

9.已知A、B分別為雙曲線a-b=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，

且AABP為等腰三角形，若雙曲線的離心率為則/ABP的度數(shù)為()

A.30°B.60°C.120°D.30°或120°

參考答案：

D

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】雙曲線的離心率為則24，雙曲線方程為d-yJd,利用AABP為等腰三角

形，分類討論，即可求出/ABP的度數(shù).

【解答】解：雙曲線的離心率為貝Ua=b,雙曲線方程為/-丫2=1,

(22_2

m-n-a

若|AB|二|BP|=2a,設(shè)P(m,n),則I(nra)2+/=4a2,

Am=2a,AZPBx=60°,AZABP=120°；

(22_2

in-n-a

若|AB|=|AP|=2a,設(shè)P(m,n),則［(/a)2+n2=4a2,

，m=-2a,/PAB=120°,：.ZABP=30°,

故選D.

10.已知關(guān)于X、A的二元一次線性方程組的增廣矩陣為%cj,記

a=⑸引力=(力禽)(=,則此線性方程組有無窮多組解的充要條件是

————

(A)a+B+c=0.(B)a兩兩平行.

(D).』1方向都相同.

(C)a//b.

參考答案:

B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.函數(shù)\j的定義域?yàn)?/p>

參考答案：

圖

1蜂國(guó)-1）20

試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域應(yīng)滿足：J，且3x-l>0,解之得

IV,故應(yīng)填圖.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的定義域；2、對(duì)數(shù)函數(shù)；

12.某種產(chǎn)品的加工需要A,B,C,D,E五道工藝，其中A必須在D的前面完成（不一定

相鄰），其它工藝的順序可以改變，但不能同時(shí)進(jìn)行，為了節(jié)省加工時(shí)間，B與C必須相

鄰，那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有種.（用數(shù)字作答）

參考答案：

24

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】應(yīng)用題；排列組合.

【分析】由題意，B與C必須相鄰，利用捆綁法，結(jié)合A必須在D的前面完成，可得結(jié)

論.

【解答】解：由題意，B與C必須相鄰，利用捆綁法，可得A；A^48種方法，

因?yàn)锳必須在D的前面完成，所以完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有48+2=24

種，

故答案為:24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

13.若函數(shù)/（X）是定義在自上的偶函數(shù)，且在區(qū)間+8）上是單調(diào)增函數(shù).如果實(shí)數(shù)，滿足

/(ln/)+/dnl)<2/(l)

f時(shí)，那么?的取值范圍是.

參考答案：

(L。)

e

略

/(x)?(a>O.b€lUc.O)“、r”、,2°

14.已知函數(shù)一(1)、0，函數(shù)期xAm[/(x)r+p(M.peR,且

〃卯VO),給出下列結(jié)論：

①存在實(shí)數(shù)r和s,使得r4/8)4$對(duì)于任意實(shí)數(shù)X恒成立；

②函數(shù)歐Q的圖像關(guān)于點(diǎn)(瓦°)對(duì)稱；

③函數(shù)式D可能不存在零點(diǎn)(注：使關(guān)于x的方程式0=°的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

式D的零點(diǎn))；

④關(guān)于x的方程式工)=°的解集可能為｛-1,1,4,5).

其中正確結(jié)論的序號(hào)為(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

參考答案：

①③

15.已知I6J5,則

參考答案：

3

5

16.

7T

函數(shù)f(x)=后sinx+sin(2+x)的最大值是.

參考答案：

_,_/(*)=V5anx+cosx=2sin(x+^)=/仁「=2

【解析】由6

答案：2

c

17.已知數(shù)列：4/滿足/-’-7,若對(duì)所有〃右獷不等式42%恒成立，則實(shí)數(shù)

C的取值范圍是O

參考答案：

6<c<12

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知函數(shù)/(?nR-X—dM.一H

(1)若L求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

2

4

一

若3

2判斷/(*)與1的大小關(guān)系并證明.

參考答案:

⑴因?yàn)椤诓稬所以。??:八。

①當(dāng)a4?時(shí)，得-“+(1-句<，解得3,所以3；

②當(dāng)2時(shí)，得““川<3,解得a>一2,所以2；

141

③當(dāng)“5時(shí)，得Q-(l-2a)<3,解得0<3,所以7a<3；

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍是''3'........5分

2

⑵/00",因?yàn)?,

所以/00=|1-工_"+|2^—1￡|?|[1_*_?1)_2_工)=|l-3a|-3a-l>l

.......10分

19.已知aWR,函數(shù)f(x)=x2-a|x-1|.

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(II)討論y=f(x)的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案：

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：(I)把絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù)，繼而求出函數(shù)的最小值；

(II)設(shè)h(x)=x?-a|x-l|-x-a|,分a>l,a=l,a<l三種情況討論，其中a>l,

和aVl時(shí)，還要繼續(xù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

X2-x+1,X)1

f(x)=?

2

解答：解(I)當(dāng)a=l時(shí)，X+x-1,X<1.,

故f(x)—f(-鄉(xiāng)=]

(II)設(shè)h(x)=x2-ax-11-Ix-a|,

x2-(a+1)x+2a,x》a

h(x)二，x2-(a-1)x,

當(dāng)a>l時(shí)，x2+(a+l)x-2a.x<l.,

_a+l/

----3

、時(shí)，對(duì)稱軸,無零點(diǎn).時(shí)，(舍去)，

1x2ah(a)=a>0,2KVaXFOx2=a

-1,

所以(i)a22時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；

=a+l<]

(ii)l<a<2時(shí)，x<l時(shí)，△=a2+10a+l>0,對(duì)稱軸2,h(1)=2-a

所以(i)a與2時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；

(ii)l<a<2時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，a>l時(shí)，h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

即y=f(x)的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點(diǎn)有2個(gè)，

2.a=l時(shí)，x=-l±?,即y=f(x)的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點(diǎn)有2個(gè)，

x2-(a+1)x+2a,x>l

2-

h(x)=ix+(a1)x,a(x<l

3.a<l時(shí)，x2+(a+l)x-2a.x<a...

=a+l<]

xel時(shí)，對(duì)稱軸"2,h（1）=a.

所以（i）aWO時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)\無零點(diǎn).時(shí)，舍去），

（ii）OVaVlaWxVlXi=0（x2=l-a,

a<l

所以（i）a、2時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；

(ii)23時(shí)，無零點(diǎn).xVa時(shí)，△=a?+10a+l,對(duì)稱軸2,h(a)=a(2a-

1)

a<-lx=-膽》a

所以(i)3時(shí)，對(duì)稱軸2k，h(a)=a(2a-1)>0,無零點(diǎn)；

---5+2-X/A

(ii)3時(shí)，△=a2+10a+l<0,無零點(diǎn)；

(iii)a=-5+2后時(shí)，x=2-Ve<a=-5+276,一個(gè)零點(diǎn)；

<Ti__a+14

(iv)-5+2粕<a<0或1時(shí)，△=a2+i0a+l>0,對(duì)稱軸、一：h(a)

=a(2a-1)>0,兩個(gè)零點(diǎn)；

(v)2時(shí)，h(a)=a(2a-1)WO,一個(gè)零點(diǎn)，

綜上，(i)a<-5+2加或a>o時(shí)、y=f(x)與y=g(x)的圖象的公共點(diǎn)有2個(gè)；

(ii)聲一5+2加或a=o時(shí)，y=f(x)與y=g(x)的圖象的公共點(diǎn)有3個(gè)；

(iii)-5+2於<a<0時(shí)，y=f(x)與y=g(x)的圖象的公共點(diǎn)有4個(gè).

點(diǎn)評(píng)：木題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)是分類討論，類中有類運(yùn)算量大，分類多，屬于

難題.

20.已知/④=xMx-axtg(x)=-？-2

(I)對(duì)一切工己(°，+8),/(x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(II)當(dāng)4=-1時(shí)，求函數(shù)在辰次+3]3>0)上的最值；

tax+i>-L_Z

(III)證明：對(duì)一切XW(0,3,都有>7嬴成立。

參考答案：

解：(I)對(duì)一切X€(O,*o)ja)2ga)恒成立，即xlnx-axN-Y-2恒成立.也就

2

是aKlnx+x+x在xe(0.+co)恒成立

2

尸lnx+x+—

令x,

,、1.2?+x-2(x+2)(x-l)

則尸XX2X3X,

在(油上F(x)<0,在(1,+8).上尸,(x)>0,因此，“0在x=l處取極小值，也是

最小值，即-")=口①=3,所以a《3

(II)當(dāng)。=-1時(shí),/(x)=xlnx+x,

1

r(x)=tax+2,由尸(x)=0得x=T

①當(dāng)。<T時(shí),在“憶3上/㈤<0,在、<皿刃上尸(勸>0

x__l_f5)-」

因此，/口)在X、戶處取得極小值，也是最小值.-a"一F.

由于/(6)<O,/(m+3)=Q?+3)[lnQ?+?)+1]>O

因此，J(x)=/O?+$=(加+$畫州+3+1]

小、J時(shí)

②當(dāng)一?"，尸㈤之。，因此湖冽，冽+3]上單調(diào)遞增，所以

f(附)=m(lnw+D,4t(x)=」(附+$=(m+?)Dn(刑+習(xí)+1]

x2

xlnx+x>---(xe(O.-KJo))

(III)證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明。,

一__1=__

由(II)知a=T時(shí)，/(x)=xlnx+x的最小值是德,當(dāng)且僅當(dāng)一/時(shí)取得,

G(x)=^--(xe(0,-H?))0,*)==

設(shè)￥e,則G。,易知

G(x)=GC)=--

e,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取到，

II,,12

―—一一,/c\lnx+l>———

但。。從而可知對(duì)一切xw。*3),都有ex成立

略

21.(本小題滿分12分)

直三棱柱切7一平￡中，&=MMC=&*C=6,乂=8,點(diǎn)D在線段AB上.

(I)若平面“確定口點(diǎn)的位置并證明;

BD1

(II)當(dāng)益一1時(shí)，求二面角勺余弦值.

參考答案:

(I)證明：當(dāng)D是AB中點(diǎn)時(shí)，K//平面監(jiān)0.

連接BG,交BC于E,連接DE.

因?yàn)槿庵鵄BC-ABG是直三棱柱，

所以側(cè)面BBCC為矩形，DE為△ABG的中位線，

所以DE//AC.........................2分

因?yàn)镈EU平面BED,AC&平面

B,CD,

所以AG〃平面BCD.............................4分

(II)由dA=10,/C=&”C=6,得AC^BC,以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系C-xyz.則B(6,0,0),A(0,8,0),At(0,8,8),B,(6,0,

8).設(shè)D(a,b,0)(a>0,i>0),.............5分

因?yàn)辄c(diǎn)D在線段AB上，且43,即3

,V8

a=4.b=-

所以3........................7分

所以科TRF尸(V。

平面BCD的法向量為=(°,，D.

設(shè)平面B.CD的法向量為112r("E,

—6x—8=0

4x+gjr=0

由—

n}=0CD0得

10

分

沒：而MS當(dāng)?shù)拇笮閐

3而

所以二面角上一8一4的余弦值為7r.....................時(shí)分

22.(16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：a'+b'=1(a>b>0)的離心率為

正

2,且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為6石.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，P為橢圓C上位于x軸上方的點(diǎn)，直線PA交y軸于點(diǎn)

M,過點(diǎn)F作MF的垂線，交y軸于點(diǎn)N.

2

(i)當(dāng)直線PA的斜率為5時(shí)，求4MFN的外接圓的方程；

(ii)設(shè)直線AN交橢圓C于另一點(diǎn)Q,求APAQ的面積的最大值.

參考答案：

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

_c返

【分析】(1)由題意可知：離心率e=W=-r,則a=Vlc,右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離

a2_

c+-T=6點(diǎn)，即可求得c和a的值，貝ljb?=a2-c2=8,即可求得橢圓方程；

1

(2)(i)設(shè)直線方程為：y=5(x+4),求得M點(diǎn)，即可求得NF的方程和N的坐標(biāo)，

則IMN1=6,則以MN為圓心(0,-1),半徑為3,即x2+(y+1)2=9；

(ii)設(shè)直線方程為：y=k(x+4),代入橢圓方程，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線PF方程，則

12

求得N點(diǎn)坐標(biāo)，則直線AN：y=-2k-7,代入橢圓方程，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，求得IAM

,APAQ的面積

3

16(4k+y)16X(4X1

IAM||yp-yQI64k?+48k-------_____________&

:------------2------------=(2k2+l)2=(2k+p)0(2V2)2.10V2.

o9

【解答】解：(1)由題意可知：橢圓C：a+b=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,

cV2

由離心率e=a=2，則a=J2,

由右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離c工=6?

解得：c=2右，則a=4,

由b2=a2-c2=8,

22

xy_

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：168一七

(2)(i)由(1)可知：橢圓的左頂點(diǎn)(-4,0),F(272,0),

設(shè)直線方程為：y=-2(x+4),即y=2x+2,

則M(2,0),

0-2返

kMF=2j^-0=-T,則kNF=Ji

直線NF：