球的表面積和體積教學課件

第2課時球的表面積和體積

囪闌圖圃園圖(教師獨具內容)

課程標準：知道球的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問

題.

教學重點：球的表面積、體積公式及其應用.

教學難點：與球有關的幾何體的表面積和體積的計算.

核心素養(yǎng)：通過有關球的表面積和體積的計算問題培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學運算

素養(yǎng).

±i評價自測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)決定球的大小的因素是球的半徑.()

(2)球面被經過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.()

⑶球的體積/與球的表面積S的關系為V=^S.()

2.做一做

(1)若球的過球心的圓面圓周長是則這個球的表面積是()

/(?

A.--B.--

4兀2兀

2

C.■-D.2nc2

JI

⑵表面積為4兀的球的半徑是一.

⑶直徑為2的球的體積是—.

4Ji

(4)已知一個球的體積為丁，則此球的表面積為—.

核心素養(yǎng)形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一球的表面積與體積

例1(1)已知球的直徑為6cm,求它的表面積和體積;

(2)已知球的表面積為64況，求它的體積；

(3)已知球的體積為昆合，求它的表面積.

O

[跟蹤訓練1](1)兩個球的半徑相差1,表面積之差為28n,則它們的體

積和為.

(2)已知球的大圓周長為16況cm,求這個球的表面積.

題型二球的截面問題

例2—平面截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為明,

則此球的體積為()

A.乖況B.4，5n

C.4mnD.6小n

[跟蹤訓練2](1)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器

高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水

深為6cm,若不計容器厚度，則球的體積為()

⑵球的表面積為400n,一個截面的面積為64n,則球心到截面的距離為

題型三與球有關的切、接問題

例3(1)如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側面

積S和球的表面積$之比為()

A.4：3B.3：1

C.3：2D.9：4

（2）設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則該

球的表面積為（）

A.3na2B.6n，

C.12na2D.24兀4

[跟蹤訓練3]（1）已知某正四面體的內切球的體積是1,則該正四面體的外

接球的體積是（）

A.27B.16

C.9D.3

（2）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為a,頂點都在一個球面上,

則該球的表面積為（）

7,

A.naB.-na

o

112

C.~naD.5na2

o

座超3達標

---------------SUITANGSHUIPINGDABIAO--------------------------------------------------------------------------------

1.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為（）

4JI

A.—r-BR，叵3

JI

D

2-T

2.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則

該球的表面積為（）

81n

A.4B.16n

27n

C.9nD。4

3.三個球的半徑之比為1：2：3,那么最大球的表面積是其余兩個球的表面

積之和的（）

A.1倍B.2倍

7

喘倍D.1倍

4.一個距離球心為福的平面截球所得的圓面面積為n,則球的體積為一.

5.有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑

為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水

的深度.

精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

?學考水平合格練

一、選擇題

1.已知棱長為2的正方體的體積與球。的體積相等，則球。的半徑為（）

2.用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為n,則球的表面

積為（）

8n

T

3.一個三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且長分別為3,4,5,則它的外接球的

表面積是（）

A.20巾nB.25y/2n

C.50nD.200n

4.如圖所示，扇形的中心角為方，其所在圓的半徑為R弦力8將扇形分成

兩個部分，這兩部分各以為軸旋轉一周，若旋轉得到的幾何體體積為匕,

弓形48旋轉得到的幾何體積為％,則%：%的值為（）

H

A.1：1B.2：1

C.1：2D.1：4

5.一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積

32n

為一【，那么這個正三棱柱的體積是（）

A.96^3B.16小

C.24小D.48小

二、填空題

6.圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓

柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是一

cm.

X

7.已知的為球。的半徑，過刃的中點"且垂直于物的平面截球面得到圓

"若圓"的面積為3",則球。的表面積等于.

8.已知兩個正四棱錐有公共底面，且底面邊長為4,兩棱錐的所有頂點都在

同一個球面上，若這兩個正四棱錐的體積之比為1：2,則該球的表面積為一.

三、解答題

9.若一個底面邊長為坐側棱長為m的正六棱柱的所有頂點都在一個球面

上，求該球的體積和表面積.

10.如圖，四是半徑為A的球的直徑，C為球面上一點，且/胡C=30°,求

圖中陰影區(qū)域構成的幾何體的表面積及其體積.

,學考水平等級練

1.把一個鐵制的底面半徑為八高為力的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球，則

這個鐵球的半徑為（）

2.（多選）正四棱錐產一/6口的底面邊長為2,外接球的表面積為24人則正

四棱錐"一/紀9的高可能是（）

A.3+加B.3—乖

C.2+^/6D.y/6—2

3.已知正三棱柱的體積為3#cm）其所有頂點都在球。的球面上，則球。

的表面積的最小值為—cm2.

4.如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱組成的.已知半球

的直徑是6cm,圓柱高為2cm.

（1）這種“浮球”的體積約是多少（八比3.14,結果精確到0.1cm3）?

（2）要在2500個這種“浮球”的表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠100

g,那么共需膠約多少克（”-3.14）?

5.正三棱錐的高為1,底面邊長為2m，內有一個球與它的四個面都相切，

求:

(1)棱錐的表面積；

(2)內切球的表面積與體積.

第2課時球的表面積和體積

囪闌圖圃園國(教師獨具內容)

課程標準：知道球的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問

題.

教學重點：球的表面積、體積公式及其應用.

教學難點：與球有關的幾何體的表面積和體積的計算.

核心素養(yǎng)：通過有關球的表面積和體積的計算問題培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學運算

素養(yǎng).

超評價自測：

1.判一判(正確的打"J"，錯誤的打"X")

(1)決定球的大小的因素是球的半徑.()

⑵球面被經過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.()

D

(3)球的體積/與球的表面積S的關系為V=-S.()

O

答案⑴V(2)V(3)V

2.做一做

(1)若球的過球心的圓面圓周長是c,則這個球的表面積是()

C2C2

A.~~B.-~

4兀2冗

2

C.—D.2JIC2

JI

⑵表面積為4n的球的半徑是一.

⑶直徑為2的球的體積是.

4JT

(4)已知一個球的體積為〒，則此球的表面積為

4兀

答案(1)C(2)1(3)M(4)4n

o

核心素養(yǎng)I形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一球的表面積與體積

例1(1)已知球的直徑為6cm,求它的表面積和體積；

(2)已知球的表面積為64m，求它的體積；

(3)已知球的體積為歿一，求它的表面積.

［解］(IL.?球的直徑為6cm,.?.球的半徑A=3cm.

二球的表面積S球=4n#=36n(cm2),

4

球的體積K?=-n-=36上(cm3).

o

(2)75^=4n#=64n,.?.*=16,即仁4.

4T4a256n

V球31況X4'=".

..4.500n

(3)V^=-11#=——,.?.4=125,笈=5.

。o

球=4n#=100n.

金版點睛

求球的體積與表面積的方法

(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑不或者通過條件能求出半徑必然

后代入體積或表面積公式求解.

(2)半徑和球心是球的關鍵要素，把握住這兩點，計算球的表面積或體積的相

關題目也就易如反掌了.

［跟蹤訓練1］(1)兩個球的半徑相差1,表面積之差為28n,則它們的體積

和為.

(2)已知球的大圓周長為16兀cm,求這個球的表面積.

364JT

答案(1)F—(2)見解析

o

解析(1)設大、小兩球半徑分別為此r,則由題意可得

R—r=\,［/?=4,

<?<

4n4nr=28,［r=3.

.?.它們的體積4和為4”/=笑364一JI.

ooO

(2)設球的半徑為Acm,由題意可知2n4=16“，解得A=8,

則S球=4n#=256n(cm2).

題型二球的截面問題

例2—平面截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為貶,

則此球的體積為()

A.乖況B.4^3^

C.4季nD.6小n

［解析］如圖，設截面圓的圓心為為截面圓上任一點，則00'=y［2,

0'#=1,：.0M=7小』i=*,即球的半徑為擊，二X(m)3=4:

O

n.

［答案］B

金版點睛

球的截面的性質

(1)球的軸截面(過球心的截面)是將球的問題(立體幾何問題)轉化為平面問

題(圓的問題)的關鍵，因此在解決球的有關問題時，我們必須抓住球的軸截面，

并充分利用它來分析解決問題.

(2)用一個平面去截一個球，截面是圓面，如圖，球的截面有以下性質：①球

心和截面圓圓心的連線垂直于截面；②球心到截面的距離d與球的半徑A及截面

的半徑r滿足關系d=q?=7.

[跟蹤訓練2](1)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高

8cm,將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深

為6cm,若不計容器厚度，則球的體積為()

500兀3

A.~--cm'

O

1372n3八2048兀3

C.—o—cmD.---cm

OO

⑵球的表面積為400n,一個截面的面積為64n,則球心到截面的距離為

答案(1)A(2)6

解析(1)如圖，作出球的一個截面，則欣=8-6=2(cm),爵

4

=4(cm).設球的半徑為Acm,則*=〃/+/啰=(A—ZF+K.?.kS,二唳=鼻

3500兀/3、

兀X5'=---(cm).

C

(2)如圖，由已知條件知球的半徑/?=10,截面圓的半徑r=8,...球心到截面

的距離h=yjRT=6.

題型三與球有關的切、接問題

例3(1)如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側面

積S和球的表面積S之比為()

A.4：3B.3：1

C.3：2D.9：4

(2)設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則

該球的表面積為()

2

A.3允,B.6na

C.12na2D.24na

［解析］⑴畫出軸截面如圖所示，設球的半徑為八則加r,P0=2r,Z

PDO=90°,：./CPB=30°.

又N尸3=90°,CB=^PC=#r,PB=2季r,：.圓錐的側面積S=nX^3

o

rX2y［3r—6nr,球的表面積S=4nr,S,:￡=3:2.

(2)作出圖形的軸截面如圖所示，點。即為該球的球心，線段48即為長方體

底面的對角線，長度為,才+2a2=#a,線段比'即為長方體的高，長度為a,

線段4。即為長方體的體對角線，長度為寸才+貼az=#a,則球的半徑7?=v

乙

=乎外所以球的表面積S=4n#=6五a"

［答案］（DC（2）B

［條件探究］將本例⑵中的長方體改為棱長為a的正四面體,則球的表面積

如何求？

解如圖，過力作底面8⑦的垂線，垂足為￡,則6為48⑦的重心，連接

BE.

..林仁％.乂2_

?棱長為a,?.BE—g3乂3-32

.?.在口△/緲中，AE=yja2—|=^a.

設球心為0,半徑為凡則（/￡-心,+就=〃，

/.7?=乎a,S現(xiàn)=4nX［乎a）=號na；

I金版點睛

1.正方體的內切球

球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，此時球的半徑為力=彳

（a為正方體棱長），過在一個平面上的四個切點作截面如圖（1）.

2.長方體的外接球

長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，

長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,

過球心作長方體的對角線，則球的半徑為降=入/#+—+田如圖（2）.

3.正四面體的外接球

正四面體的棱長a與外接球的半徑斤的關系為2人坐a.

乙

［跟蹤訓練3］(1)已知某正四面體的內切球的體積是1,則該正四面體的外

接球的體積是()

(2)設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為a,頂點都在一個球面上,

則該球的表面積為()

7

A.冗aB.-na

o

C.-JiaD.5冗才

o

答案(1)A(2)B

D

解析(1)設正四面體的外接球、內切球的半徑分別為Rr,則］=3.由題意,

44.4

知可口/=1,則外接球的體積是可口川=27*可口/=27.故選A.

OOO

(2)由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為a.如圖,

P為三棱柱上底面的中心，。為球心，易知/々|x半a=^a,

OP=~a,所以球

0CtO

77

的半徑R=0A滿足必=3a,,故S球=4Ji川=3“a；

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為（）

A—R皿

A.3B.3

答案A

解析由題意知，此球是正方體的內切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑

4

與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2,所以球的半徑為1,其體積是可

,4n

XJiXi3=—

o

2.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則

該球的表面積為（）

答案A

解析如圖，設球心為0,半徑為r,則在龐■中，（4-r）2+（V2）2=/，

解得「=本???該球的表面積為4f=4n

3.三個球的半徑之比為1：2：3,那么最大球的表面積是其余兩個球的表面

積之和的（）

A.1倍B.2倍

9八

C.工倍D.

□

答案c

解析設最小球的半徑為r,則另外兩個球的半徑分別為2r,3r,其表面積分

別為4n?'16n/36n?,故最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的

9

36倍

45-

JI

4.一個距離球心為噂的平面截球所得的圓面面積為n,則球的體積為

解析設所得的圓面的半徑為r,球的半徑為則由n=得r=l,

又產十(小)2=#,.?.斤=2....勺殍

OO

5.有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑

為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水

的深度.

解由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面.

根據(jù)切線的性質知，當球在容器內時，水深〃為3r,水面的半徑ZC為十八

1l45

則容器內水的體積為v=v—r=-n?(^/3r)2?3r--JT/=-n

mI?ooo

而將球取出后，設容器內水的深度為力，則水面圓的半徑為

O

從而容器內水的體積是

『="停才?，十兄

由上/，得力=料工即容器中水的深度為料工

課后課時精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級e》學考水平合格練

一、選擇題

1.已知棱長為2的正方體的體積與球。的體積相等，則球。的半徑為（）

答案D

4J/6

解析設球。的半徑為r,則解得r=A.

2.用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為n,則球的表面

積為（）

答案C

解析設球的半徑為R,則截面圓的半徑為后口，.?.截面圓的面積為S=

n（^/#-1）2=（7?-1）n=Ji,，〃=2,工球的表面積S=4"#=8n.

3.一個三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且長分別為3,4,5,則它的外接球的

表面積是（）

A.20^/2JTB.25m11

C.50nD.200n

答案C

解析因為這個三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，所以此三棱錐可視為一個

長方體的一個角（如圖所示），而且此長方體的外接球就是此三棱錐的外接球.設

此三棱錐的外接球的半徑為r,則有（2r）2=32+42+W=50,即4/=50,故它的

外接球的表面積是5=4n/=50n.

JI

4.如圖所示，扇形的中心角為了，其所在圓的半徑為??,弦將扇形分成

兩個部分，這兩部分各以為軸旋轉一周，若旋轉得到的幾何體體積為匕,

弓形46旋轉得到的幾何體積為七，則匕：玄的值為（）

A.1：1B.2：1

C.1：2D.1：4

答案A

解析△/仍繞/。旋轉一周得到的幾何體為圓錐，體積整個扇形

O

21

繞4。旋轉一周得到的幾何體為半球，體積，=可“4，于是V2=V—^=~n/?,所

以匕:V2=l：1.

5.一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積

32n

為一〕，那么這個正三棱柱的體積是（

O

A.9673B.1673

C.24小D.48鎘

答案D

則球的半徑半a=￡~a,正三棱

解析設正三棱柱的底面邊長為a,

326

一n44nm3332n._R_^3

柱的高為弓-a又V?!=-n]^=—X-g3a——3.??a——4yl3...V柱——彳

ooo

x(4如X半X4m=48小

O

二、填空題

6.圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓

柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是一

cm.

X

X

答案4

解析設球的半徑為r,則圓柱形容器的高為6r,容積為口/義67=6口汽

4

高度為8cm的水的體積為8n產3個球的體積和為3n/=4n/,由題意6n/

—8nr=4nr,解得r=4cm.

7.已知如為球。的半徑，過。1的中點"且垂直于力的平面截球面得到圓

"若圓"的面積為3”，則球。的表面積等于—.

答案16n

解析設球。的半徑為此圓材的半徑為八由題意得二="，又球心到圓〃

的距離為《由勾股定理，得#=d+?2,R=2,則球的表面積為16n.

8.已知兩個正四棱錐有公共底面，且底面邊長為4,兩棱錐的所有頂點都在

同一個球面上，若這兩個正四棱錐的體積之比為1：2,則該球的表面積為一.

答案36n

解析?.?兩正四棱錐有公共底，且體積比為1：2,.?.它們的高之比為1：2,

設高分別為力,2力，球的半徑為/?,則方+2力=3力=2兄.M=|力，又底面邊長為4,

=（2啦）2,解得力=2,.*./?=3,球=4n#=36”.

三、解答題

9.若一個底面邊長為坐側棱長為m的正六棱柱的所有頂點都在一個球面

上，求該球的體積和表面積.

解如圖，在底面正六邊形力比頌中，連接BE,交于點。，

連接應;，觀\BE=2OE=2DE,所以施=/，

在Rt△頗中，

BE\KBE+EE=2^3，

所以2斤=2，5,則

4cL

所以球的體積/球=鼻兀"=4#兀，

O'

球的表面積S球=4n#=12n.

10.如圖，46是半徑為A的球的直徑，。為球面上一點，且N為C=30°,求

圖中陰影區(qū)域構成的幾何體的表面積及其體積.

H

解如圖所示，過點C作切于點Q,

B

由題意可得/8。=90°.

又/胡片30°,AB=2R,COdAB,

：.AC=^3R,BC=R,Coj^R,

乙

3R

AO=^R,BOy=~

t乙乙

\/3/?=|JT/?,

s球=4"",s圓錐叫惻=兀義Rx'

S腳錐叫側=JiX乎彳x/?=平兀*，

??S幾何體表=5球+S圓錐的］側+S強推明側

=4n/?+|n〃+乎nnR,

???幾何體的表面積為生乂口丸

4用3

又，球=可四川,冗cd=三兀

OOR,

1*17

/圓錐％?冗外=互兀凡

??V幾何體=P球—(yM.AO}~\~Mmno)

4.1n5.

B級,》學考水平等級練

1.把一個鐵制的底面半徑為八高為力的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球，則

這個鐵球的半徑為（）

答案C

14

解析設鐵球的半徑為4,因為鼻e/力=鼻五川，所以A=

O0

2.（多選）正四棱錐產一4四的底面邊長為2,外接球的表面積為24n,則正

四棱錐尸一/四的高可能是（）

A.3十^B.3-76

C.2+mD.m―2

答案CD

解析設四棱錐的高為h,外接球的半徑為兄由4“4=24n,得R=#.

如圖1所示，OR+HG=OC,即（力一/