考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷1（共134題）

考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷1（共4套）（共134題）考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第1套一、解答題(本題共34題，每題1.0分，共34分。)1、己知是f(x)的一個原函數(shù)，求∫x3f′(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：按題意：f(x)=∫x3f′(x)dx∫x3df(x)=x3f(x)－3∫x2f(x)dx=x2cosx－xsinx－3∫(xcosx－sinx)dx=x2cosx一xsinx一3∫xdsinx一3cosx=x2cosx—xsinx一(3xsinx+3cosx)一3cosx+C=x2cosx一4xsinx一6cosx+C．知識點解析：暫無解析2、求dx標(biāo)準(zhǔn)答案：注意分解1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1一x2+x4)．知識點解析：暫無解析3、求標(biāo)準(zhǔn)答案：先作恒等變形，然后湊微分即得知識點解析：暫無解析4、求標(biāo)準(zhǔn)答案：記sgnx=則知識點解析：暫無解析5、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=asint(｜t｜＜)，則知識點解析：暫無解析6、求dx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析7、求標(biāo)準(zhǔn)答案：利用定積分的分段積分法與推廣的牛頓一萊布尼茲公式得知識點解析：先用湊微分法求或用變量替換．令t=tanx，則x=arctant，dx=于是現(xiàn)用牛頓．萊布尼茨公式即得注意所得的積分值為負(fù)，無疑是錯誤的，但錯在哪里呢?這是因為由函數(shù)∈[0，]上的原函數(shù)，它在積分區(qū)間[0，]上也不連續(xù)，故不符合牛頓-萊布尼茨公式及其推廣的條件．用換元法．令t=tanx，則a=tan0=0，β=tan=－1．于是這當(dāng)然也是錯的，錯在哪里呢?因為當(dāng)t∈[一1，0]時，x=arctant之值不落在原積分區(qū)間[0，]上．8、求(x+1)ln2(x+1)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析9、求定積分：(Ⅰ)J=min{2，x2}dx；(Ⅱ)J=(1－｜t｜)dt，x≥－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)min{2，x2}=于是(Ⅱ)當(dāng)一1≤x≤0時，J=(1+x)2．當(dāng)x＞0時，J=(1一x)2．知識點解析：暫無解析10、設(shè)n為正整數(shù)，利用已知公式，In=，其中求下列積分：(Ⅰ)Jn=sinnxcosnxdx；(Ⅱ)Jn=(x2)ndx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)Jn=2－nsinnudu，而(Ⅱ)知識點解析：暫無解析11、求無窮積分J=dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此知識點解析：暫無解析12、設(shè)求f(x)的原函數(shù)F(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜0時，f(x)=∫sin2xdx=cos2x+C1；當(dāng)x＞0時，f(x)=∫ln(2x+1)dx=xln(2x+1)一dx=xln(2x+1)一∫dx+=xln(2x+1)一x+ln(2x+1)+C2，為了保證F(x)在x=0點連續(xù)，必須C2=－+C1(*)特別，若取C1=0，C2=就是f(x)的一個原函數(shù)．若C1任意取值，C2滿足(*)，即就是f(x)的不定積分．知識點解析：本題的被積函數(shù)是分段定義的連續(xù)函數(shù)，則f(x)存在原函數(shù)，相應(yīng)的原函數(shù)也應(yīng)該分段定義．然而按照原函數(shù)的定義，F(xiàn)′(x)=f(x)，即F(x)必須是可導(dǎo)的，而且導(dǎo)數(shù)是f(x)．這樣，F(xiàn)(x)首先就應(yīng)該連續(xù)，下面就是按照這一要求，利用連續(xù)拼接法把分段定義的原函數(shù)粘合在一起，構(gòu)成一個整體的原函數(shù)．13、設(shè)f′(x)=arcsin(x－1)2，f(0)=0，求f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)a＞0，f(x)在(－∞，+∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求極限[f(t+a)－f(t－a)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：記I(a)=[f(t+a)一f(t一a)]dt，由積分中值定理可得I(a)=[f(ξ+a)－f(ξ—a)].2a=[f(ξ+a)一f(ξ—a)]，一a＜ξ＜a．因為f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用拉格朗日中值定理可得I(a)=f′(η).2a=f′(η)，ξ－a＜η＜ξ+a．于是f′(η)=f′(0)．知識點解析：暫無解析15、求[φ(x)－t]f(t)dt，其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù)，φ(x)為已知的可微函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，在點x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，令(Ⅰ)試求A的值，使F(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)；(Ⅱ)求F′(x)并討論其連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由變上限積分性質(zhì)知F(x)在x≠0時連續(xù)．為使其在x=0處連續(xù)，只要F(x)=A．而故令A(yù)=0即可．(Ⅱ)當(dāng)x≠0時F′(x)=tf(t)dt．在x=0處，由導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則可得(*)所以又(**)故F′(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)．知識點解析：暫無解析17、設(shè)x∈[0，a]時f(x)連續(xù)且f(x)＞0(x∈(0，a])，又滿足f(x)=，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(x)=dt，(*)由f(x)連續(xù)及x2可導(dǎo)知f2(x)可導(dǎo)，又f(x)＞0，從而f(x)可導(dǎo)，[f2(x)]′=2f(x)f′(x)，故將上式兩邊對x求導(dǎo)，得2f(x)f′(x)=f(x).2xf′(x)=x．在(*)式中令x=0可得f(0)=0．于是(*)式兩邊積分得知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)f(x)=dt在區(qū)間[e，e2]上的最大值·標(biāo)準(zhǔn)答案：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點處的函數(shù)值，再求出f(a)與f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)單調(diào)，則最大(小)值必在端點處取得．由可知f(x)在[e，e2]上單調(diào)增加，故知識點解析：暫無解析19、求星形線L：(a＞0)所圍區(qū)域的面積A．標(biāo)準(zhǔn)答案：圖形關(guān)于x，y軸均對稱，第一象限部分：0≤x≤a，0≤y≤知識點解析：暫無解析20、求下列旋轉(zhuǎn)體的體積V：(Ⅰ)由曲線y=x2，x=y2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體；(Ⅱ)由曲線x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)，y=0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)如圖3．2，交點(0，0)，(1，1)，則所求體積為(Ⅱ)如圖3．3，所求體積為知識點解析：暫無解析21、求雙組線r2=a2cos2θ(a＞0)繞極軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)面的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：雙紐線如圖3．4所示．由對稱性，只需考察θ∈[0，]．面積S=2.2πdθ．由r2=a2cos2θ知識點解析：暫無解析22、求功：(Ⅰ)設(shè)半徑為1的球正好有一半沉入水中，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，問要做多少功?(Ⅱ)半徑為R的半球形水池，其中充滿了水，要把池內(nèi)的水全部取盡需做多少功?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(微元法)．以球心為原點，x軸垂直向上，建立坐標(biāo)系(如圖3．5)．取下半球中的微元薄片，即取小區(qū)間[x，x+dx][一1，0]，相應(yīng)的球體小薄片，其重量(即體積)為π(1一x2)dx，在水中浮力與重力相符，當(dāng)球從水中移出時，此薄片移動距離為(1+x)，故需做功dw1=(1+x)π(1一x2)dx．因此，對下半球做的功w1=π(1+x)(1一x2)dx．取上半球中的微元薄片，即取小區(qū)間[x，x+dx][0，1]，相應(yīng)的小薄片，其重量為π(1一x2)dx，當(dāng)球從水中移出時，此薄片移動距離為1．所受力為重力，故需做功dw2=π(1一x2)dx．因此，對上半球做的功w2=π(1一x2)dx．于是，對整個球做的功為(Ⅱ)建立坐標(biāo)系如圖3．6．取x為積分變量，x∈[0，R]．[x，x+dx]相應(yīng)的水薄層，看成圓柱體，其體積為π(R2－x2)dx，又比重ρ=1，于是把這層水抽出需做功dw=πx(R2一x2)dx．因此，所求的功知識點解析：暫無解析23、求引力：(Ⅰ)在x軸上有一線密度為常數(shù)μ，長度為l的細(xì)桿，在桿的延長線上離桿右端為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點P，求證：質(zhì)點與桿間的引力為F=(M為桿的質(zhì)量)．(Ⅱ)設(shè)有以O(shè)為心，r為半徑，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)，垂直圓面，=b，質(zhì)點P的質(zhì)量為m，試導(dǎo)出圓環(huán)對P點的引力公式F=k．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)如圖3．7建立坐標(biāo)系，取桿的右端為原點，x軸正向指向質(zhì)點P．任取桿的一段[x，x+dx]，它對質(zhì)點P的引力為因此，桿與質(zhì)點P間的引力大小為其中M是桿的質(zhì)量．(Ⅱ)如圖3．8，由對稱性，引力沿方向．取環(huán)上某點為計算弧長的起點，任取弧長為s到s+ds的一段微元與方向的分力為dF=k，于是整個圓環(huán)對P點的引力為知識點解析：暫無解析24、過曲線y=x2(x≥0)上某點A作一切線，使之與曲線及x軸圍成圖形面積為，求：(Ⅰ)切點A的坐標(biāo)：(Ⅱ)過切點A的切線方程；(Ⅲ)由上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．9．(Ⅰ)設(shè)點A(x0，)，點A處的切線方程令y=0．按題意解得x0=1A(1，1)．(Ⅱ)過A點的切線y=2x一1．(Ⅲ)旋轉(zhuǎn)體體積V=知識點解析：暫無解析25、設(shè)常數(shù)a≤α＜β≤b，曲線Г：y=(x∈[α，β])的弧長為l．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求定積分J=標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)Г：y2=(x一a)(b一x)=－x2+(a+b)x一ab，兩邊對x求導(dǎo)得(Ⅱ)曲線Г：y=，0)為圓心，半徑為的半圓周．由題(Ⅰ)：α=a，β=，則對應(yīng)的Г長l=圓周長的知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)f(x－t)dt=sin4x,求f(x)在[0，]上的平均值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x—t=u，則f(u)du．于是兩邊積分故f(x)在[0，知識點解析：暫無解析27、設(shè)a＞0，f(x)在(0，+∞)連續(xù)，求證：(Ⅰ)dx；(Ⅱ)又設(shè)f()=f(x)(x＞0)，則dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按要證的等式，將等式左端改寫可得(Ⅱ)按題設(shè)，對左端作變換t=知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，f(x)≥0且f(x)dx=0，求證：在[a，b]上f(x)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由定積分的性質(zhì)知識點解析：暫無解析29、證明In，其中n為自然數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用被積函數(shù)的結(jié)合性，原式改寫成In=cosn－1xcosxsinnxdx，兩式相加得現(xiàn)得遞推公式2In=+2n－1Jn－1．令Jn=2nJn，得Jn=+Jn－1．由此進(jìn)一步得注意J0=0知識點解析：暫無解析30、證明定積分I=sinx2dx＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作變量替換t=x2(x=dt．被積函數(shù)在[0，2π]上變號，t∈(0，π)時取正值，t∈(π，2π)時取負(fù)值，于是把后一積分轉(zhuǎn)化為[0，π]上積分，然后比較被積函數(shù)，即被積函數(shù)，若補充定義f(0)=0，則f(t)在[0，π]連續(xù)，且f(t)＞0(t∈(0，π])．知識點解析：暫無解析31、證明：(Ⅰ)lnsinxdx=lncosxdx；(Ⅱ)lnsin2xdx=lnsinxdx；(Ⅲ)lnsinxdx=ln2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)J=lncostdt．(Ⅱ)(Ⅲ)由題(Ⅱ)與題(Ⅰ)得知識點解析：暫無解析32、證明其中p＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：要將積分作恒等變形，可供考慮的方法是分部積分法．33、證明dx=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：使用換元積分法．令x=+t，則這是由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間是對稱的．知識點解析：暫無解析34、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且對任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜，M為正的常數(shù)，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：將分別表成代入不等式左端，然后利用定積分性質(zhì)與已知條件得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，I=tf(tx)dx，其中t＞0，s＞0，則I的值A(chǔ)、依賴于s和t．B、依賴于s，t，x．C、依賴于t，x，不依賴于s．D、依賴于s，不依賴于t．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：I=f(u)du，選(D)．2、下列函數(shù)中在[－1，2]上定積分不存在的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：顯然，(A)，(B)，(C)中的f(x)在[一1，2]均有界，至多有一個或兩個間斷點，因而f(x)在[一1，2]均可積，即f(x)dx．選(D)．3、下列函數(shù)中在[－2，3]不存在原函數(shù)的是A、B、f(x)=max｛｜x｜，1｝C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：先考察f(x)的連續(xù)性．關(guān)于(A)：f(x)在[一2，3]連續(xù)，存在原函數(shù)．(B)中f(x)如圖3．1所示，顯然處處連續(xù)，在[一2，3]存在原函數(shù)．顯然，(D)中g(shù)(x)在[一2，3]可積，f(x)=g(t)dt在[一2，3]連續(xù)f(x)在[一2，3]存在原函數(shù)．選(C)．4、積分cosxln(2+cosx)dx的值A(chǔ)、與a有關(guān)．B、是與a無關(guān)的負(fù)數(shù)．C、是與a無關(guān)的正數(shù)．D、為零．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于被積函數(shù)ln(2+cosx).cosx是以2π為周期的偶函數(shù)，因此又因為在[0，π]上，2+cosx＞0，sin2x＞0，因此該積分是與a無關(guān)的正數(shù)．故選(C)．5、設(shè)常數(shù)α＞0，I1=dx，則A、I1＞I2．B、I1＜I2．C、I1=I2．D、I1與I2的大小與α的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：當(dāng)0＜x＜，所以I1一I2＞0．故選(A)．6、下列反常積分中發(fā)散的是A、(k＞1)．B、xe－x2dx．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：對于(A)：由于當(dāng)K＞1時故dx收斂．對于(B)：是收斂的．對于(C)：=π也是收斂的．由排除法可知，應(yīng)選(D)．7、設(shè)f(t)=dx，則f(t)在t=0處A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：f(0)==－1．因f(t)=－1=f(0)，故函數(shù)f(t)在t=0處連續(xù)．又故f(x)在t=0處不可導(dǎo)．選(C)．二、填空題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)8、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xlnlnx+C知識點解析：原式=∫(lnlnx+x.)dx=∫lnlnxdx+xd(lnlnx)=∫d(xlnlnx)=xlnlnx+C．11、∫ex+excosx(cosx－sinx)dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：eexcosx+C知識點解析：∫ex+excosx(cosx－sinx)dx=∫eexcosx(cosx－sinx)dex=∫excosxd(excosx)=∫d(eexcosx)=eexcosx+C．12、設(shè)f″(x)連續(xù)，f(x)≠0，則dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：原式=dx．而于是13、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：原式=dx=2．14、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2+2知識點解析：=4e2一2e2+2=2e2+2．15、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：原式=16、xarcsinxdx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：其中單位圓的面積即17、dx(n≠0)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：原式=(xn一ln｜1+xn｜)+C．18、sinnxcosmxdx(自然數(shù)n或m為奇數(shù))=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得當(dāng)n為奇數(shù)時，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故In，m=0．當(dāng)m為奇數(shù)(設(shè)m=2k+1，k=0，1，2，…)時In，m=sinnx(1一sin2x)kdsinx=R(sinx)=0，其中R(u)為u的某個多項式(不含常數(shù)項)．因此，In，m=0．19、dx(a＞0)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：利用分部積分法．20、設(shè)y=f(x)滿足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，則f(x)dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由題設(shè)可知，從而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定積分幾何意義得21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且f2(x)dx=1，則xf(x)f′(x)dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因=f(x)f′(x)，所以22、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且F(x)=(x2－t2)f′(t)dt，若當(dāng)x→0時F′(x)與x2為等價無窮小，則f′(0)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于所以又依題設(shè)，當(dāng)x→0時F′(x)與x2為等價無窮小，從而23、已知f(x)=e－t2dt，則xf(x)dx=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：用分部積分法．由于f′(x)=e－x4(x2)′=2xe－x4，故24、x7e－x2dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點解析：令x2=t，則25、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：26、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因(xex)′=ex(x+1)，令xex=t，則dt=ex(x+1)dx，于是27、曲線x=a(cost+tsint)，y=a(sint－tcost)(0≤t≤2π)的長度L=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2π2a知識點解析：曲線由參數(shù)方程表出，直接套弧長公式得28、曲線y2=2x在任意點處的曲率為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：K=知識點解析：用曲率計算公式K=三、解答題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)29、設(shè)有一半徑為R長度為l的圓柱體，平放在深度為2R的水池中(圓柱體的側(cè)面與水面相切)．設(shè)圓柱體的比重為ρ(ρ＞1)，現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面，問需做多少功?標(biāo)準(zhǔn)答案：任取小區(qū)間[x，x+dx][－R，R]相應(yīng)的柱體薄片，其體積為2yldx=2ldx．移至水面時薄片移動的距離為R－x，所受的力(重力與浮力之差)為(ρ－1)2ldx，因而移至水面時做的功為(ρ－1)2l(R－x)dx．整個移出水面時，此薄片離水面距離為R+x，將薄片從水面移到此距離時所做的功為ρ(R+x)2l.dx，于是對薄片做的功為dW=2l[(ρ－1)(R－x)+ρ(R+x)]dx=2l[(2ρ－1)R+x]dx．因此，所求的功W=dx+0=2l(2ρ－1)R.R2=l(2ρ－1)πR3．知識點解析：首先建立坐標(biāo)系，取x軸垂直水平面并過球心，方向向上，原點為球心，如圖3．32所示．然后用微元法，考察微元上的作用力．注意，在水里時受重力與浮力的作用，在水面上時只受重力的作用．30、求星形線的質(zhì)心，其中a＞0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求ds．ds=dt=3a｜sintcost｜dt．再求總長度l=a．積分于是．故星形線的質(zhì)心為知識點解析：暫無解析31、求由曲線x2=ay與y2=ax(a＞0)所圍平面圖形的質(zhì)心(形心)(如圖3．33)．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩曲線的交點是(0，0)，(a，a)．設(shè)該平面圖形的質(zhì)心(形心)為()，則由質(zhì)心(形心)公式有同樣計算或由對稱性可知知識點解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且f(x)sinxdx=0，f(x)cosxdx=0．證明：在(0，π)內(nèi)．f(x)至少有兩個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法．如果f(x)在(0，π)內(nèi)無零點(或有一個零點，但f(x)不變號，證法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)內(nèi)，亦有sinx＞0，因此，必有f(x)sinxdx＞0(或＜0)．這與假設(shè)相矛盾．如果f(x)在(0，π)內(nèi)有一個零點，而且改變一次符號，設(shè)其零點為a∈(0，π)，于是在(0，a)與(a，π)內(nèi)f(x)sin(x－a)同號，因此f(x)sin(x－a)dx≠0．但是，另一方面f(x)sin(x－a)dx=f(x)(sinxcosa－cosxsina)dx=cosaf(x)cosxdx=0．這個矛盾說明f(x)也不能在(0，π)內(nèi)只有一個零點，因此它至少有兩個零點．知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，以T為周期，令F(x)=f(t)dt，求證：(Ⅰ)F(x)一定能表成：F(x)=kx+φ(x)，其中k為某常數(shù)，φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)；(Ⅱ)f(x)dx；(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(－∞，+∞))，n為自然數(shù)，則當(dāng)nT≤x＜(n+1)T時，有nf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)即確定常數(shù)k，使得φ(x)=F(x)－kx以T為周期．由于φ(x+T)=F(x+T)－k(x+T)=f(t)dt－kT=φ(x)+f(t)dt－kT，因此，取k=f(t)dt，φ(x)=F(x)－kx，則φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)．此時F(x)=[f(t)dt]x+φ(x)．(Ⅱ)不能用洛必達(dá)測．因為f(x)不存在．但f(t)dt可表成f(t)dt+φ(x)．φ(x)在(－∞，+∞)連續(xù)且以T為周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(－∞，+∞)也有界．因此f(t)dt．(Ⅲ)因f(x)≥0，所以當(dāng)nT≤x＜(n+1)T時，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、函數(shù)F(x)=f(t)dt，其中f(t)=esin2t(1+sin2t)cos2t，則F(x)A、為正數(shù)．B、為負(fù)數(shù)．C、恒為零．D、不是常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于被積函數(shù)連續(xù)且以π為周期(2π也是周期)，故(x)=F(0)=f(t)dt=2f(t)dt，即F(x)為常數(shù)．由于被積函數(shù)是變號的，為確定積分值的符號，可通過分部積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)定號的情形，即2－sin22tesin2t(2+sin2t)dt＜0，故應(yīng)選(B)．2、設(shè)F(x)=f(t)dt，f(x)連續(xù)，則F′(x)=A、B、f(lnx)+f()．C、D、f(lnx)－f()．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：這是上、下限均為已知函數(shù)的變限積分，直接由變限積分求導(dǎo)法得F′(x)=f(lnx)(lnx)′－故應(yīng)選(A)．3、設(shè)f(x)為(－∞，+∞)上的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，F(xiàn)(x)=(2t－x)f(x－t)dt，則F(x)是A、單調(diào)增加的奇函數(shù)．B、單調(diào)增加的偶函數(shù)．C、單調(diào)減小的奇函數(shù)．D、單調(diào)減小的偶函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對被積函數(shù)作變量替換u=x－t，就有F(x)=uf(u)du．由于f(x)為奇函數(shù)，故f(u)du為偶函數(shù)，于是xf(u)du為奇函數(shù)，又因uf(u)為偶函數(shù)，從而uf(u)du為奇函數(shù)，所以F(x)為奇函數(shù)．又F′(x)=f(u)du+xf(x)－2xf(x)=f(u)du－xf(x)，由積分中值定理知在0與x之間存在ξ使得f(u)du=xf(ξ)．從而F′(x)=x[f(ξ)－f(x)]，無論x＞0，還是x＜0，由f(x)單調(diào)增加，都有F′(x)＜0，從而應(yīng)選(C)．其實，由F′(x)=f(u)du－xf(x)=[f(u)－f(x)]dx及f(x)單調(diào)增加也可得F′(x)＜0．4、下列可表示由雙紐線(x2+y2)2=x2－y2)圍成平面區(qū)域的面積的是A、2cos2θdθ．B、4cos2θdθ．C、2dθ．D、(cos2θ)2dθ標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：雙紐線的極坐標(biāo)方程是：r4=r2(cos2θ－sin2θ)即r2=cos2θ．當(dāng)θ∈[－π，π]時，僅當(dāng)｜θ｜≤時才有r≥0(圖3．24)．由于曲線關(guān)于極軸與y軸均對稱，如圖3．24，只需考慮θ∈[0，]部分．由對稱性及廣義扇形面積計算公式得S=4.cos2θdθ．故應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)5、由曲線x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(擺線)及x軸圍成平面圖形的面積S=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3πa2知識點解析：當(dāng)t∈[0，2π]時，曲線與x軸的交點是x=0，2πa(相應(yīng)于t=0，2π)，曲線在x軸上方，見圖3．25．于是圖形的面積三、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)6、證明下列不等式：(Ⅰ)dx＜π；(Ⅱ)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)f(x)=，則f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且可見函數(shù)f(x)在點x=處取得它在區(qū)間[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，從而注意于是有(Ⅱ)注意0＜x＜時，0＜x＜tanx＜1，則知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)在(a，b)上有定義，c∈(a，b)，又f(x)在(a，b)＼｜c｜連續(xù)，c為f(x)的第一類間斷點．問f(x)在(a，b)是否存在原函數(shù)?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)是f(x)在(a，b)的原函數(shù)．考察于是F′+(c)=f(x)，F(xiàn)′－=f(x)，由于x=c是f(x)的第一類間斷點，故存在，但不相等，即F′+(c)≠F′－(c)．或f(x)≠f(c)，即F′(c)≠f(c)．這都與F(x)是f(x)在(a，b)的原函數(shù)相矛盾．因此f(x)在(a，b)不存在原函數(shù)．知識點解析：f(x)在(a，c)與(c，b)上連續(xù)，分別存在原函數(shù)，于是關(guān)鍵是看x=c處的情況．8、設(shè)f(x)定義在(a，b)上，c∈(a，b)，又設(shè)H(x)，G(x)分別在(a，c]，[c，b)連續(xù)，且分別在(a，c)與(c，b)是f(x)的原函數(shù)．令其中選常數(shù)C0，使得F(x)在x=c處連續(xù)．就下列情形回答F(x)是否是f(x)在(a，b)的原函數(shù)．(Ⅰ)f(x)在點x=c處連續(xù)；(Ⅱ)點x=c是f(x)的第一類間斷點；(Ⅲ)點x=c是f(x)的第二類間斷點．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)F′(c)=f(x)=f(c)，因此，F(xiàn)(x)是f(x)在(a，b)的原函數(shù)．(Ⅱ)F(x)不是f(x)在(a，b)的原函數(shù)，因為在這種情形下f(x)在(a，b)不存在原函數(shù)．(Ⅲ)在這種情形下結(jié)論與f(x)的表達(dá)式有關(guān)，需要對問題作具體分析．知識點解析：關(guān)鍵就看是否有F′(c)=f(c)．9、已知在(－∞，+∞)存在原函數(shù)，求常數(shù)A以及f(x)的原函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：易求得僅當(dāng)A=0時f(x)在x=0連續(xù)．于是f(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，從而存在原函數(shù)．當(dāng)A≠0時x=0是f(x)的第一類間斷點，從而f(x)在(－∞，+∞)不存在原函數(shù)．因此求得A=0．下求f(x)的原函數(shù)．被積函數(shù)是分段定義的連續(xù)函數(shù)，它存在原函數(shù)，也是分段定義的．由于原函數(shù)必是連續(xù)的，我們先分段求出原函數(shù)，然后把它們連續(xù)地粘合在一起，就構(gòu)成一個整體的原函數(shù)．當(dāng)x＜0時，當(dāng)x＞0時，取C1=0，隨之取C2=1，于是當(dāng)X→0－時與x→0+時∫f(x)dx的極限同為1，這樣就得到f(x)的一個原函數(shù)因此∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析10、計算下列不定積分：(Ⅰ)dx；(Ⅱ)dx；(Ⅲ)(a≠b)；(Ⅳ)dx(a2+b2≠0)；(Ⅴ)dx；(Ⅵ)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)采用湊微分法，并將被積函數(shù)變形，則有(Ⅱ)如果令t=，計算將較為復(fù)雜，而將分子有理化則較簡便．于是(Ⅲ)(Ⅳ)對此三角有理式，如果分子是asinx+bcosx與(asinx+bcosx)′=acosx－bsinx的線性組合，就很容易求其原函數(shù)，故設(shè)a1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx－bsinx)．為此應(yīng)有解得．故(Ⅴ)記原式為J，先分項：J=j1+j2．易湊微分得J2=∫arcsinxdarcsinx=arcsin2x+C．下求J1．(Ⅵ)記原積分為J．知識點解析：暫無解析11、計算下列定積分：(Ⅰ)dx；(Ⅱ)；(Ⅲ)dx；(Ⅳ)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是一個含根式的積分，首先應(yīng)該通過變量替換去掉根式．令dt．于是(Ⅱ)萬能代換．令t=tan故(Ⅲ)由于，故被積函數(shù)為分段函數(shù)，其分界點為．于是．(Ⅳ)作冪函數(shù)替換后再分部積分，則有知識點解析：暫無解析12、求下列積分：(Ⅰ)設(shè)f(x)=e－y2dy，求x2f(x)dx；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]連續(xù)且f(x)dx=A，求f(x)f(y)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)令Ф(x)=f(y)dy，則Ф′(x)=－f(x)，于是知識點解析：該例中的兩個小題均是求形如g(y)dy]dx的積分，它可看作區(qū)域D=｜(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤x}上一個二重積分的累次積分，有時通過交換積分次序而求得它的值．作為定積分，若f(x)的原函數(shù)易求得F′(x)=f(x)，則可由分部積分法得若右端易求，則可求得左端的值．13、設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)滿足f(x)=f(x－π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，求f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于題目只給出了f(x)在區(qū)間[0，π)上的具體表達(dá)式，為計算在[π，3π]上的積分值，就應(yīng)該通過換元法使其積分區(qū)間換到[0，π]上．另外，也可以通過f(x)=f(x－π)+sinx及f(x)在[0，π)上的表達(dá)式，求出f(x)在[π，3π)上的表達(dá)式，然后再求積分值．這里所采用的是第一種方法，讀者可采用第二種方法計算．14、計算下列反常積分：(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)dx；(Ⅳ)dx(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是一個無窮區(qū)間上的反常積分，可以通過求原函數(shù)的方法計算．(Ⅱ)這是一個有理函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，可以通過求原函數(shù)的方法計算．因為，且x≥1，于是有原函數(shù)從而(Ⅲ)(Ⅳ)這是一個無界函數(shù)的反常積分，其瑕點為a，由于被積函數(shù)中含有根式，應(yīng)通過變量替換將根式去掉，注意被積函數(shù)可改寫成為，因而可令x－sint，即x=(1+sint)，代入即得知識點解析：暫無解析15、假定所涉及的反常積分(廣義積分)收斂，證明：f(x)dx．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=x－，則當(dāng)x→+∞時，t→+∞，x→0+時，t→－∞；x→0－時，t→+∞；x→－∞時，t→－∞，故應(yīng)以0為分界點將(*)式左端分成兩部分，即而且將x與t的關(guān)系反解出來，即得x=．同時，當(dāng)x＞0時，x=，dx=dt；當(dāng)x＜0時，x=dt．因此即(*)式成立．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證：(b－a)[f(a)+f(b)]+f″(x)(x－a)(x－b)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)利用分部積分有f(x)dx=f(x)d(x－b)=f(a)(b－a)－f′(x)(x－b)d(x－a)=f(a)(b－a)+(x－a)d[f′(x)(x－b)]=f(a)(b－a)+f″(x)(x－a)(x－b)dx=f(a)(b－a)+f(b)(b－a)－f″(x)(x－a)(x－b)dx，移項后得(b－a)[f(a)+f(b)]+f″(x)(x－a)(x－b)dx．知識點解析：很自然的想法是用分部積分法，但要注意“小技巧”：f(x)d(x－a)，這樣改寫后分部積分的首項簡單．這一點考生應(yīng)熟練掌握．17、設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，證明：g2(x)dx．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：此不等式通常的證明方法是引入?yún)?shù)，即考慮[f(x)+tg(x)]2．由于[f(x)+tg(x)]2dx=g2(x)dx≥0，因此，其判別式△=[2g2(x)dx≤0，即(*)式成立．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)與g(x)在[a，b]上連續(xù)，且同為單調(diào)不減(或同單調(diào)不增)函數(shù)，證明：(b－a)g(x)dx．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)f(x)與g(x)同為增(或同為減)函數(shù)的假定，則無論x與y的大與小，定有[f(x)－f(y)][g(x)－g(y)]≥0．兩邊對x與y同時求積分，則有[f(x)g(x)－f(y)g(x)－f(x)g(y)+f(y)g(y)]dx)dy≥0，即因此(*)式成立．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，M=｜f″(x)｜，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：分部積分兩次得于是知識點解析：用分部積分法導(dǎo)出J與f″(x)的有關(guān)積分的關(guān)系．或由泰勒公式導(dǎo)出f()，f(x)，f′(x)及其二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，然后再積分．20、設(shè)f(x)在[a，b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：可設(shè)｜f(x)｜=｜f(x0)｜，即證(b－a)｜f(x0)｜≤｜f′(x)｜dx，即證注意故得證．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=etx－t2dt，求f′(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：這里被積函數(shù)也含參變量x，要設(shè)法轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)不含參變量x的情形．注意相對于積分變量t來說x是常量．先將被積函數(shù)恒等變形，作配方tx－t2=－(t－)2+，于是被積函數(shù)中含變量戈的因子可分離出來提到積分號外，最后再作變量替換s=t－．22、設(shè)f(x)與g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，f(0)=g(0)≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是求型未定式的極限，需用洛必達(dá)法則，但分子分母都需先作變量替換，使被積函數(shù)中的與g(xt)不含x才可以求導(dǎo)．令原式=由積分中值定理，在0與x之間存在ξ，使g(u)du=xg(ξ)，于是有知識點解析：暫無解析23、求I=標(biāo)準(zhǔn)答案：這是求型的極限．用洛必達(dá)法則時就要求變限積分的導(dǎo)數(shù)．這里被積函數(shù)f(x)=dt還是變限積分．注意到這一點就容易求得知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]可積，求證：Ф(x)=f(u)du在[a，b]上連續(xù)，其中x0∈[a，b]．標(biāo)準(zhǔn)答案：x，x+△x∈[a，b]，考察Ф(x+△x)－Ф(x)=f(u)du，由f(x)在[a，b]可積f(x)在[a，b]有界．設(shè)｜f(x)｜≤M(x∈[a，b])，則｜Ф(x+△x)－Ф(x)｜≤｜｜f(u)｜du｜≤M｜△x｜．因此，x，x+△x∈[a，b]，有[Ф(x+△x)－Ф(x)]=0，即Ф(x)在[a，b]上連續(xù)．知識點解析：暫無解析25、設(shè)F(x)=e－t2dt，試求：(Ⅰ)F(x)的極值；(Ⅱ)曲線y=F(x)的拐點的橫坐標(biāo)；(Ⅲ)x2F′(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由F′(x)=2xe－x4，即知F(x)在x=0處取極小值0，且無其他極值．(Ⅱ)F″(x)=2(1－4x4)e－x4，注意到僅當(dāng)x=±時F″(x)=0，且在x=±兩側(cè)F″(x)變號，即知x=±為曲線y=F(x)的拐點的橫坐標(biāo)．(Ⅲ)注意到x2F′(x)為奇函數(shù)，因此知識點解析：暫無解析26、求曲線r=asin3的全長．標(biāo)準(zhǔn)答案：r=asin3以6π為周期，θ∈[0，3π]∈[0，π]，r≥0；θ∈(3π，6π)∈(π，2π)，r＜0．只需考慮θ∈[0，3π]．知識點解析：暫無解析27、求曲線r=a(1+cosθ)的曲率．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線的參數(shù)方程為x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ，y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ，x′=－asinθ(1+2cosθ)=－a(sinθ+sin2θ)，y′=a(cosθ+cos2θ)．x′2+y′2=a22(1+cosθ)=2ar，x″=－a(cosθ+2cos2θ)，y″=－a(sinθ+2sin2θ)，x′y″－x″y′)=a2[(sinθ+sin2θ)(sinθ+2sin2θ)+(cosθ+cos2θ)(cosθ+2cos2θ)]=3a2(1+cosθ)=3ar．因此，曲率K=知識點解析：暫無解析28、已知一條拋物線通過x軸上兩點A(1，0)，B(3，0)，求證：兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍成的面積等于x軸與該拋物線所圍成的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)寫出拋物線方程Y=a(x－1)(x－3)(a＞0或a＜0為常數(shù))，如圖3．26所示．2)求兩坐標(biāo)軸與拋物線所圍面積S1，即3)求x軸與該拋物線所圍面積S2，即4)因此，S1=S2．知識點解析：暫無解析29、求下列旋轉(zhuǎn)體的體積V：(Ⅰ)由曲線x2+y2≤2x與y≥x確定的平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體；(Ⅱ)由曲線y=3－｜x2－1｜與x軸圍成封閉圖形繞直線y=3旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)對該平面圖形，我們可以作垂直分割也可作水平分割．作水平分割．該平面圖形如圖3．27．上半圓方程寫成x=1－(0≤y≤1)．任取y軸上[0，1]區(qū)間內(nèi)的小區(qū)間[y，y+dy]，相應(yīng)的微元繞x=2旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為dV={π[2－(1－]2－π(2－y)2}dy，于是(Ⅱ)曲線y=3－｜x2－1｜與x軸的交點是(－2，0)，(2，0)．曲線y=f(x)=3－｜x2－1｜與x軸圍成的平面圖形，如圖3．28所示．顯然作垂直分割方便．任取[x，x+dx][－2，2]，相應(yīng)的小豎條繞y=3旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為dV=π[32－(3－f(x))2]dx=π(9－｜x2－1｜2)dx，于是知識點解析：暫無解析30、求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取底圓所在平面為Oxy平面，圓心O為原點，并使x軸與劈錐的頂平行，底圓方程為x2+y2=R2．過x軸上的點x(－R≤x≤R)作垂直于x軸的瓶面，截正劈錐體得等腰三角形，底邊長即2，高為h，該截面的面積為S(x)=于是V=πR2h．(由定積分的幾何意義直接寫出dx=以半徑為尺的半圓的面積=πR2．)知識點解析：首先要建立坐標(biāo)系(如圖3．29)，然后求平行截面面積，最后將立體體積表為截面面積的定積分．31、設(shè)兩點A(1，0，0)與B(0，1，1)的連線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)面為S，求曲面S與z=0，z=1圍成的立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線方程：上任意點(x，y，z)與z軸的距離的平方為：x2+y2=(1－t)2+t2=z2+(1－z)2，則S(t)=π[z2+(1－z)2]，從而v=π．知識點解析：這是截面積已知的立體．與z軸垂直的平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面即此平面與的交點繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的圓，其面積記為S(z)，則V=S(z)dz．關(guān)鍵求上點與z軸的距離．32、求曲線x=acos3t，y=asin3t繞直線y=x旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．30，曲線關(guān)于y=±x對稱，只需考察t∈一段曲線．現(xiàn)在沒有現(xiàn)成的公式可用．用微元法導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)面的面積公式．任取曲線的小微元，端點坐標(biāo)為(x(t)，y(t))=(acos3t，asin3t)，它到直線y=x的距離為l(t)=曲線微元的弧長ds=dt=3a｜sintcost｜dt，它繞y=x旋轉(zhuǎn)所得曲面微元的面積為ds=2πl(wèi)(t)ds=2π.3a｜sintcost｜dt，因此整個旋轉(zhuǎn)面的面積為知識點解析：暫無解析33、邊長為a和b的矩形薄板與液面成α角斜沉于液體內(nèi)，長邊平行于液面位于深h處，設(shè)a＞b，液體的比重為γ，求薄板受的液體壓力．標(biāo)準(zhǔn)答案：建立坐標(biāo)系如圖3．31所示，x軸鉛直向下．一長邊的深度為h，另一長邊的深度為h+bsinα，在[h，h+bsinα]中任取[x，x+dx]，相應(yīng)的薄板上一小橫條，長a，寬，于是所受的壓力為dP=γxa．整塊板受的壓力為P=bsinα．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)M=sin(sinx)dx，N=cos(cosx)dx，則有A、M＜1＜N．B、M＜N＜1．C、N＜M＜1．D、1＜M＜N．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在[0，]上連續(xù)，由sinx≤xsin(sinx)sinx(x∈[0，])，sinxdx=1，即M＜1．又costdt=1，即N＞1．因此選(A)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)2、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)的原函數(shù)是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一sinx+C1x+C2知識點解析：f(x))的導(dǎo)函數(shù)是sinx，那么f(x)應(yīng)具有形式－cosx+C1，所以f(x)的原函數(shù)應(yīng)為－sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)．3、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，f(｜cosx｜)dx=A，則I=f(｜cosx｜)dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4A知識點解析：由于f(｜cosx｜)在(－∞，+∞)連續(xù)，以π為周期，且為偶函數(shù)，則根據(jù)周期函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)得I=2f(｜cosx｜)dx=4A．4、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，并滿足∫f(x)sinxdx=cos2x+C；又F(x)是f(x)的原函數(shù)，且滿足F(0)=0，則F(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2sinx知識點解析：由題設(shè)及原函數(shù)存在定理可知，F(xiàn)(x)=f(t)dt．為求f(x)，將題設(shè)等式求導(dǎo)得f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]′=cos2x+C)′=－2sinxcosx，從而f(x)=－2cosx，于是F(x)=－2costdt=－2sinx．5、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)=x+xf(x)dx，則f(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+知識點解析：定積分是積分和的極限，當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)間確定后，它就是一個確定的數(shù)．從而由題設(shè)知可令xf(x)dx=A，只要求得常數(shù)A就可得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式．為此將題設(shè)等式兩邊同乘x并從0到1求定積分，就有A=故f(x)=x+．三、解答題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)6、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)dx=f(b)．求證：在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f′(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，由積分中值定理可知，在(a，b)內(nèi)至少存在一點c使得這就說明f(c)=f(b)．根據(jù)假設(shè)可得f(x)在[c，b]上連續(xù)，在(c，b)內(nèi)可導(dǎo)，故由羅爾定理知，在(c，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f′(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)(a，b)．知識點解析：暫無解析7、求下列變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中f(x)連續(xù)．(Ⅰ)F(x)=，求F′(x)；(Ⅱ)F(x)=，求F″(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意到積分的上、下限都是x的復(fù)合函數(shù)，由變限積分求導(dǎo)公式可得(Ⅱ)令g(t)=f(u)du，注意g(t)是t的可導(dǎo)函數(shù)，則F(x)=g(t)dt，F(xiàn)′(x)=g(x)，F(xiàn)″(x)=g′(x)=知識點解析：暫無解析8、以下計算是否正確?為什么?=arctan1－arctan(－1)=標(biāo)準(zhǔn)答案：利用牛頓一萊布尼茲公式計算定積分f(x)dx必須滿足兩個條件：其一是f(x)在[a，b]上連續(xù)，另一個是F(x)是f(x)在[a，b]上的一個原函數(shù)．由(x≠0)，可知積分應(yīng)是負(fù)值．事實上由此可見，本題的題目中所給出的計算是錯誤的．原因在于arctan在x=0不連續(xù)，且x=0不是arctan的可去間斷點，從而arctan在區(qū)間[－1，1]上的一個原函數(shù)，故不能直接在[－1，1]上應(yīng)用牛頓一萊布尼茲公式．這時正確的作法是把[－1，1]分為[－1，0]與[0，1]兩個小區(qū)間，然后用分段積分法進(jìn)行如下計算：=arctan知識點解析：暫無解析9、n為自然數(shù)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，知識點解析：暫無解析10、求下列不定積分：(Ⅰ)dx；(Ⅱ)dx；(Ⅲ)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用三角函數(shù)的倍角公式：1+cos2x=2cos2x進(jìn)行分項得(Ⅱ)利用加減同一項進(jìn)行拆項得(Ⅲ)將被積函數(shù)的分母有理化后得再將第二項拆項得知識點解析：暫無解析11、計算下列定積分：(Ⅰ)，cosx｝dx；(Ⅱ)f(x－1)dx，其中f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于min｛，cosx｝為偶函數(shù)，在［0，］上的分界點為，所以(Ⅱ)由于分段函數(shù)f(x)的分界點為0，所以，令t=x－1后，有知識點解析：暫無解析12、計算定積分I=(a＞0，b＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：在區(qū)間[0，π]上按如下方式用牛頓．萊布尼茲公式是錯誤的．即因為arctan(tanx)在x=無定義，它只是分別在[0，的原函數(shù)，因而不能在[0，π]上對積分I應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式．但可按如下方法計算：這就是分段積分后用了推廣的牛頓-萊布尼茲公式．知識點解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x)=并記F(x)=f(t)dt(0≤x≤2)，試求F(x)及∫f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式，當(dāng)0≤x≤1時，有當(dāng)1＜x≤2時，∫f(x)dx=F(x)+C．知識點解析：暫無解析14、求下列不定積分：(Ⅰ)∫secxdx；(Ⅱ)(Ⅲ)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知識點解析：暫無解析15、求下列不定積分：(Ⅰ)dx；(Ⅱ)(a＞0)；(Ⅲ)∫x(1－dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令x=(0≤t≤π，t≠)，于是dx=，則dx=∫sin2tcostdt.sgnx=∫sin2tdsint.sgnx=sin3t.sgnx+C，其中sgnx=再用上面的三角形示意圖(sint=)，則得(Ⅱ)令x=atant()，于是dx=asec2tdt，=asect，則dt=∫sectdt=ln｜sect+tant｜+C，再利用上面的三角形示意圖，則有其中C1=C－lna．(Ⅲ)由于dx2，故可令x2=sint，于是知識點解析：暫無解析16、求不定積分dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令ex=t，則分別令=v，則分別有于是原式=+C．知識點解析：暫無解析17、求下列積分：(Ⅰ)(Ⅱ)(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)知識點解析：暫無解析18、求下列不定積分：(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；(Ⅱ)∫x2sin2xdx；(Ⅲ)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按照上表第二欄所講的方法，有∫arcsinx.arccosxdxxarcsinx.arccosx－∫x()dx=xarcsinx.arccosx+∫(arccosx－arcsinx)d=xarcsinx.arccosx+(arccosx－arcsinx)+2x+C．(Ⅱ)由于sin2x=(1－cos2x)，所以∫x2sin2xdx=∫x2dsin2x．連續(xù)使用分部積分法得(Ⅲ)其中已求出，注意到等式右端也包含積分dx，因而得到關(guān)于dx的方程，解得知識點解析：暫無解析19、求In=sinnxdx和Jn=cosnxdx，n=0，1，2，3，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)n≥2時In=sinn－2xcosx2xdx=(n－1)sinn－2x(1－sin2x)dx=(n－1)In－2－(n－1)In，解出In，于是當(dāng)n≥2時得遞推公式In=In－2．由于I0=，I1=1，應(yīng)用這一遞推公式，對于n為偶數(shù)時，則有對于n為奇數(shù)時，則有其中(Ⅱ)由于cosx=sin(－x)，所以，令t=－x，則有Jn=sinnxdx=In．這說明Jn與In有相同公式．知識點解析：暫無解析20、計算不定積分dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：本題屬于有理函數(shù)的不定積分，按照上面所敘述的方法，應(yīng)該先將被積函數(shù)分解為(*)式，確定A，B，C，D后即可求其不定積分，然而這樣做比較麻煩，下面所使用的湊微分法要簡捷得多．21、求下列不定積分：(Ⅰ)(Ⅱ)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)被積函數(shù)中含有兩個根式，為了能夠同時消去這兩個根式，令x=t6．則(Ⅱ)盡管被積函數(shù)中所含根式的形式與上面所介紹的有所不同，然而也應(yīng)該通過變量替換將根式去掉．令=t，即x=ln(1+t2)，從而知識點解析：暫無解析22、求下列不定積分：(Ⅰ)J=dx；(Ⅱ)J=dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：作恒等變形后湊微分．(Ⅰ)(Ⅱ)知識點解析：暫無解析23、求下列定積分：(Ⅰ)I=dx；(Ⅱ)J=dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于，故(Ⅱ)由于，故作平移變換：x－=t，，并記c=，則其中知識點解