高中必修四知識點試題

第一章三角函數(shù)

'正角:按逆時針方向旋轉形成的角

1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角

2、角a的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a

為第幾象限角.

第一象限角的集合為{a360。<a<h3600+90。/ez}

第二象限角的集合為{a\k-360°+90。<h360°+180°,攵ez}

第三象限角的集合為k?360°+180°<a<h360°+270°次ez}

第四象限角的集合為［a\k-360°+270°<a<k-360°+360°次GZ}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=h180°/eZ}

終邊在y軸上的角的集合為{a|a=h180。+90。,攵ez}

終邊在坐標軸上的角的集合為{a卜=人90°?eZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為{，忸=h360。+a,正Z}

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

5、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角?的弧度數(shù)的絕對值是.

r

6、弧度制與角度制的換算公式：2^=360°,1°=—,l=f—?57.3°.

180（萬J

7、若扇形的圓心角為a（a為弧度制），半徑為廣，弧長為/,周長為C,面積為S,則

I=r\a\,C=2r+l,S=^lr=^\a\r2.

8、設a是一個任意大小的角，a的終邊上任意一點P的坐標是（尤,y）,它與原點的距

離是7=J無2+y=〉0），貝（Jsina=2,cosa=—,tana=—（x^O）.

9、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正，第二象限正弦為正,

第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

10、三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

11角三角函數(shù)的基本關系：

(l)sin2ez4-cos2a=1(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2;

/c\Sina(.sina)g皿口十.

(2)------=tanasina=tanacosa,cosa=-------3)倒數(shù)關系:tanacota=1

cosa\tanaJ

12、函數(shù)的誘導公式：

(l)sin(2攵萬+a)=sina,cos(2攵4+a)=cosa,tan(2^+dr)=tan(2(Z:GZ).

(2)sin(7r+a)=-sina；cos(4+a)=-cos。,tan("+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin(乃一a)=sina,cos(zr-a)=-cosa,tan(^r-a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

71

——+a=cosa

2

cos—+cr=-sina.

(2J

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

13、①的圖象上所有點向左（右）平移網(wǎng)個單位長度，得到函數(shù),y=sin（x+夕）的圖象；

再將函數(shù)y=sin（x+°）的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的《倍（縱坐標不

變），得到函數(shù)y=sin（s+0）的圖象;再將函數(shù)y=sin?x+°）的圖象上所有點的縱坐

標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y=Asin（s+°）的圖象.

②數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標不變），得

CO

到函數(shù)

2

y=sino）x的圖象;再將函數(shù)y=sin6yx的圖象上所有點向左（右）平移必個單位長度，

CD

得到函數(shù)丁=sin（3+°）的圖象；再將函數(shù)》=sin（8+⑴的圖象上所有點的縱坐標伸

長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y=Asin（。尢+夕）的圖象.

14、函數(shù)y=Asin（s+e）（A>0,0>0）的性質：

①振幅：A;②周期：T=—；③頻率：f=-=——；④相位：cox+（p;⑤初相：（P.

CDT2萬

函數(shù)y=Asin（s;+0）+B，當了3時，取得最小值為為由；當行々時，取得最大值

11T

為Xnax,則A=Q（ymax-ymin）,B="（^max+^min）,耳=々一玉（％〈々）.

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質：

y=sinxy-cosxy-tanxy=cotx

▲▲

yy1：4

y=cotx

1:\

圖象

；；\x

Y77-n0n..it

22\

定義\xk/r+—,keZ\xx豐kjt+土，keZ

[2[2

RR

域

值域[-1』[-1』RR

當當x=2kMk￡Z）時，

“乃

X=2K7TH——Xnax=1；當既無最大值也無最小既無最大值也無最小

2

最值

x=2k7l+71

（丘z）時，B值

小eZ）時，3n=-l.

Xnax=1'當

3

X=2k7T--

2

(AeZ)時，

Nmin=T?

2/r2萬7171

周期

性

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

性

在

2k7r--,2k7r+—

_22J

在

生

[2%萬一萬,2%乃]（左GZ）

(,兀1萬、

單調伏GZ)上是增函數(shù);K7T-—,K7T+—\

上是增函數(shù)；在

性在

(ReZ)上是增函

[2%肛2左左+乃]

_.7C_.37r

2k7i-\——2k兀?---敢.

L22_?（keZ）上是減函數(shù).

(ZeZ)上是減函數(shù).

對稱中心

對稱中心荷稱中心對稱中心

對稱（左1,0）（女GZ）

（人乃+予0）（女GZ）:容。kGZ）（當,°卜eZ）

性對稱軸

又寸稱軸=上刀■（&）無對稱軸

x=k兀+/{keZ）xeZ無又寸稱5由

4

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為0的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點.

⑶三角形不等式：同一愀卜憶+形同+忖.

⑷運算性質：①交換律：a+b^b+a;

②結合律：（a+^）+c=a+（^+c）;?a+O=b+a=a.

⑸坐標運算：設。,b=（x2,y2）,則。+很=（玉+々,必+必）.

18、向量減法運算：?-^=AC-AB=BC

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.

⑵坐標運算：設。=（王,必）,b={x2,y2），貝（]萬一B=（王一必）?

設A、B兩點的坐標分別為（％],弘），（孫必），則AB=（%-々，乂一%）.

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)％與向量M的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作/IM.

①同|=|刈同；

②當；1>0時，丸）的方向與口的方向相同；當丸<0時，4）的方向與口的方向相反；當

2=0時，25=6.

5

（2）運算律：①/!（〃））=行;+=+;（?）=Aa+Ab.

⑶坐標運算：設。=（x,y），則=4（x,y）=（/bc,/ly）.

20、向量共線定理：向量用2=0）與很共線，當且僅當有唯——個實數(shù)X，使B=府.

設。=（xi，yj,b={x2,y2）其中一聲0，則當且僅當菁%-々y=0時，向量。、B倒王。）

共線.

21、平面向量基本定理：如果［、可是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面

內的任意向量之，有且只有一對實數(shù)4、4，使萬=41+4窈.（不共線的向量1、Z作

為這一平面內所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點P是線段PF?上的一點，耳、P2的坐標分別是（%，X）,（9，必），

當年=2畫時，點P的坐標是什*'*）.（當幾=1時，就為中點公式。）

I1+41+4/

23、平面向量的數(shù)量積：

⑴方防=間可3噸W0,BW6,OY"18O°）.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質股之和B都是非零向量，則①=0.②當方與B同向時，之名=|同W；

當5與B反向時，）/=—同W；無之=方2=同2或同=訴意.③卜同同.

（3）運算律：①方===;@（a+byc^a-c+b-c.

⑷坐標運算：設兩個非零向量2=（七,x）,B=（馬，必），則之?B=玉々+X必?

若。=（x,y）,則同2=x2+y2,或同=Jd+y2.設五=（百,%），很=（%，％），則

萬_LB<=>百9+%%=0?

設d、B都是非零向量，2=（4凹），b=（x2,y2）,。是。與B的夾角，則

rnqn=m■坐

.同W&；；y：d"+y；'

知識鏈接：空間向量

6

空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，

求值的應用進行總結歸納.

1、直線的方向向量和平面的法向量

(1).直線的方向向量：

若A、B是直線/上的任意兩點，則,豆為直線/的一個方向向量；與陽平行的任意非

零向量也是直線/的方向向量.

⑵.平面的法向量：

若向量3所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面打，記作3La,如果

nVa,那么向量n叫做平面a的法向量.

(3).平面的法向量的求法(待定系數(shù)法)：

①建立適當?shù)淖鴺讼?

②設平面a的法向量為n=(x,y,z).

③求出平面內兩個不共線向量的坐標Z=(%,%,&)，?=(仇/2也).

，一一

n-a=O

④根據(jù)法向量定義建立方程組一_.

n-h=0

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面a的法向量.

7

1、用向量方法判定空間中的平行關系

（I）線線平行

設直線4,4的方向向量分別是，則要證明/J4，只需證明力?不，即1=比（％€/?）.

即：兩直線平行或重合0兩直線的方向向量共線。

⑵線面平行

①（法一）設直線/的方向向量是￡,平面。的法向量是Z,則要證明/Ila,只需證明

a.Lu，即Q?〃=0.

即：直線與平面平行"直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外

②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方

向向量是共線向量即可.

（3）面面平行

若平面a的法向量為“，平面￡的法向量為u,要證anp，只需證〃Ilv，即證w=/lv.

即：兩平面平行或重合O兩平面的法向量共線。

3、用向量方法判定空間的垂直關系

⑴線線垂直

設直線4,4的方向向量分別是九否，則要證明414,只需證明々，區(qū),即=5=0.

即：兩直線垂直o兩直線的方向向量垂直。

（2）線面垂直

①（法一）設直線/的方向向量是Z,平面a的法向量是】，則要證明，只需證明］

IIu，即q=.

②（法二）設直線/的方向向量是￡,平面a內的兩個相交向量分別為百、7,若

8

,_—.

a-m=0…

__，則/_L。

a-n=0

即：直線與平面垂直o直線的方向向量與平面的法向量共線o直線的方向向量與平面

內兩條不共線直線的方向向量都垂直。

（3）面面垂直

若平面a的法向量為U，平面P的法向量為V，要證aV/3，只需證"_Lu，即證M?v=0.

即：兩平面垂直O(jiān)兩平面的法向量垂直。

4、利用向量求空間角

⑴求異面直線所成的角

已知。力為兩異面直線，A,C與B,D分別是。力上的任意兩點，a力所成的角為6,

ACBD

則cos。

⑵賽直線和平面所成的角

①定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的

角?

②求法：設直線/的方向向量為々，平面a的法向量為％,直線與平面所成的角為。，a

與Z的夾角為e,則。為/的余角或°的補角

的余角.即有:

an

sin^=|cos(p\-

（3）求二面角

①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直

線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做

二面角的面.

9

二面角的平面角是指在二面角a-/一4的棱上任取一點0,分別在兩個半平面內作

射線A01l,B0Yl，則NA03為二面角a-1-p的平面角.

②求法：設二面角a-l-p的兩個半平面的法向量分別為碗、［，再設藍、3的夾角為

(P，二面角的平面角為。，則二面角。為石、［的夾角8或其補角%一°.

根據(jù)具體圖形確定，是銳角或是鈍角：

m-n

?如果0是銳角，則cose=|cos°|==^,

nmn

m-n

BP6^=arccos;

m\\n

m-n

?如果。是鈍角，貝（Jcos9=-|cose|=zTipr

一m-一n、

即。=arccos-

5、:求空間距離

點Q到直線,距離

若Q為直線/外的一點,尸在直線/上,M為直線/的方向向量，B=而，則點Q到直線

I距離為。^^\a\\b\)2-(a-b)2

\a\

(2)點A到平面a的距離

若點夕為平面。外一點，點”為平面。內任一點,

平面a的法向量為［，貝IIP到平面a的距離就等于MP在法向量n方向上的投影的絕對值.

即4=1西cos^J叫

10

?___?n-MP

1?

M.兩

口

⑶直線q與平面色之間的距離

當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知,直線到平面

的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離,即轉化為點面距離。

\n-MP\

即d'LpjA

⑷兩平行平面%￡之間的距離

利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。

限而

即

⑸異面直線間的距離

設向量7與兩異面直線都垂直，^^。，「^"則兩異面直線兄匕間的距離^就是

MP在向量n方向上投影的絕對值。

\n-MP\

即1\一^.

6、三垂線定理及其逆定理

⑴三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直.

11

POLa,Oea

推理模式：PAna=A[=>aA.PA

aua,a_LOA

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

⑵三垂線定理的逆定理:在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也

和這條斜線的射影垂直.

POJ_a,0ea

推理模式：PAfla=A，na_LA。

aua,aJ-AP

概括為：垂直于斜線就垂直于射影.

7,三余弦定理

設AC是平面a內的任一條直線AD是a的一條斜線AB在a內的射影，且BD±AD,

垂足為D.設AB與a(AD)所成的角為我,AD與AC所成的角為02,AB與AC所成的

角為。.貝(]cos。=cos伍cos2.

8、面積射影定理

已知平面月內一個多邊形的面積為S(S?j,它在平面a內的射影圖形的面積為

S'(S射)，平面a與平面￡所成的二面角的大小為銳二面角。，則

cos^=—.

SS原

9、一個結論

12

長度為/的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為小，2、4，夾角分別為

4、％、。3,則有/=/：+/；+/；0cos26)+C0g2a+COS)4=1

222

<=>sin4+sin92+sin4=2.

(立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例).

13

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:

(i)cos(a-/)=cosacos/+sinasin〃;(2)cos(a+^)=cos6zcos^-sincrsin^;

⑶sin(a—/?)=sinacos〃一cosasin〃；@sin(a+/?)=sinacos〃+cosasin〃;

(tan。-tan〃=tan(a一夕)(1+tanatanQ));

/c、tana+tan

⑹皿…=■=>(tana+tan￡=tan(a+/7)。-tanatan尸)).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

(1)

sin2a=2sinacosa.=1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa產(chǎn)

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos21=1-2sin2a

=>升幕公式1+cosa=2cos2—,1-cos^z=2sin2—

22

cq-八32cos2a+ll-cos2cr

=>降曷公式cos-a=-------------,sin2a

22

26、萬能公式

a

2tan—1-,tan2—。

??

sma=----------------;cosa2

aa

1+tan9”一1+tan9-

22

-2tana

tan2a=------------

1-tan

27、

14

n(后兩個不用判斷符號，更加好

用)

28、合一變形n把兩個三角函數(shù)的和或差化為"一個三角函數(shù)，一個角，一次方"的

y=Asin(g+0)+3形式。Asina+Bcosa=，A?+B?sin(a+夕)，其中tan°=1.

29、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設條件，

靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能.常用的數(shù)學思想方法技巧如下：

(1)角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角

與角之間的和差，倍半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的

差異，使問題獲解，對角的變形如：

①2a是a的二倍；4a是2a的二倍；a是巴的二倍；三是胃的二倍；

224

②15。=45。-300=60"-45"=雙;問：sin—=;

212----------------

③a=(a+尸)一尸；+a=[-(￡—a)；

424

JTTT

⑤2a=(a+Z7)+(a—B)—(—Fa)—(---a);等等

44

(2)函數(shù)各稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余

弦是基礎，通常化切為弦，變異名為同名。

(3)常數(shù)代換:在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉化為三角函數(shù)值，例

如常數(shù)"1"的代換變形有：

1=sin2a+cos2a=tanacota-sin90°=tan45°

15

(4)幕的變換:降幕是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降幕處

理的方法。常用降幕公式有：；.降幕并非絕對，

有時需要升幕,如對無理式J1+cosa常用升鬲化為有理式，常用升幕公式

有：；；

(5)公式變形:三角公式是變換的依據(jù)，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。

1+tana1-tana

如：--------=__________________；-------=________________；

1-tana1+tana

tana+tan〃=;1-tancrtan(3-;

tana-tanJ3=;14-tancrtan/?=;

2tana=;1-tan2a=;

tan200+tan40"+gtan20"tan400=;

sina+cosa-=;

asina+bcosa-=;(其

中tan0=;)

1+cosa-;1-cosa-;

(6)三角函數(shù)式的化簡運算通常從：〃角、名、形、黑"四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復角化單角，異名化同名，高次化低次，無理

化有理，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin500(1+V3tan10")=;

tana-cota-(

16

I<HC課后強化作業(yè)

基礎鞏固強化

1.（文）（2011?廣州檢測）若sina<0且tana>0,則a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［答案］C

［解析］???sina<0,「.a為第三、四象限角或終邊落在y軸負半

軸上，

.tana>0,.'a為第一、三象限角，

「.a為第三象限角.

（理）（2011?綿陽二診）已知角A同時滿足siiL4>0且taiL4<0,貝lj角

A的終邊一定落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

I答案］B

［解析］由siiU>0且taiU<0可知，cos/<0,所以角力的終邊一

定落在第二象限.選B.

2.（2010?安徽省168中學聯(lián)考）已知集合/=｛（*,y）\y=sinx｝,

集合6=｛（x,j）［F=tanx｝,則/GE=（）

A.｛（0,0）｝

B.｛（7T,0）,（0,0）｝

C.｛（x,y）\K=kn,y=0,4WZ｝

D.0

借案］c

17

［解析］函數(shù)y=sinx與y=tanx圖象的交點坐標為（Am0）,k

￡Z.

3.設“=§曜，Z>=cosj,c=T，</=tanp則下列各式正確的是

o454

（）

A.a>b>d>cB.b>a>c>d

C.c>b>d>aD.c>d>b>a

I答案］D

［解析］因為“=b==,c=?>1,d=1,所以a<b<d<c.

/r4J

4.（文）（2010?河南新鄉(xiāng)市模擬）已知角a終邊上一點P（一

4?,3a）（?<0）,貝！hina的值為（）

,3^3

AqB.一耳

C.|D.4

5

【答案】B

［解析］a<0,->.r=-\l（~4a）2+（3a）2=-5a,

?*.sina=-=故選B.

r3

（理）（2010?河北正定中學模擬）已知角a終邊上一點

p（siny,cosy^）,則角a的最小正值為（）

A,6nB,6

c5

C.鏟D?于

［答案］B

18

［解析］由條件知，cosa=sin竺=sin?=坐

.2元711

sina=cos§=_cosj=~29

???角a為第四象限角，」.a=2元-*故選B.

,,..,,,?.6sina+cosa,,?

5.已知點P（l,2）在角a的終邊上，則二詁〃一工二〃的值為（）

A.3B.4v

I答案IB

［解析］由條件知tana=2,

6sina+cosa6tana+113

3sina-2cosa3tana-24"

6.(2010?廣東佛山順德區(qū)質檢)函數(shù)作)=sinx在區(qū)間燈上是

增函數(shù)，且/(a)=—1,/(〃)=1,則cos9亭=()

A.0B.申

C.-1D.1

I答案ID

定7Ta+b

［解析］由條件知，〃=一不+2〃元(A€Z),/>=y+2kn,cos-3-

=cos2^71=1.

7.（2011?北京東城區(qū)質檢）若點P（x,仍是300。角終邊上異于原點

的一點，貝吐的值為.

［答案］一審

19

［解析］依題意，知己=121>300。=-tan60°=~\［3.

8.（2011?太原調研）已知角a的頂點在原點，始邊與x軸正半軸

重合，點P（—4嗎3〃1）（〃1>0）是角a終邊上一點，貝（J2sina+cosa=

*

2

借案］5

［解析］由條件知x=-4m,y=3m,r=-\jx2+y2=5|?i|=5m,

..23x4

--sina==~,cosa=-=

r5r5

-2sina+cosa=

能力拓展提高

1.（文）（2011?深圳一調、山東濟寧一模）已知點P（sin/,cos彳）落

在角夕的終邊上，且夕￡［0,2兀），則〃的值為（）

?兀437r

A.T4B.74

八57r、77r

［答案］D

3IT

［解析］由sin-^->0,cos^y）知角夕是第四象限的角，,「tan〃

3兀

cos^-_

477r

=~=-1,夕€［0,2兀），**.0=~T.

s?ny

（理）（2011?新課標全國理，5）已知角e的頂點與原點重合，始邊

與X軸的正半軸重合，終邊在直線>=2*上，貝IJcos20=（）

20

4

A.

5

C.|D.：

I答案］B

［解析］依題意：tan"±2,;.cos”土心,

23acos2^-sin20

二?cos2〃=2cos2〃-=廠1=-耳或32〃=荷〃+-2〃=

1-tan2，1-43

1+tan26>=1+4=-f故選B.

2.（2010?青島市質檢）已知｛%｝為等差數(shù)歹（J,若用+恁+的二元,

則cosa+ag）的值為（）

A.-1B.-平

4D善

［答案］A

［解析］由條件知，元=“1+%+。9=3%，?，-?5=3,

/、?27rn1

COS(?2+48)=COS2%=COS-^-=—cos丁r故選A.

3.(2011?綿陽二診)記a=sin(cos2010°),Z>=sin(sin2010°),c=

cos(sin2010°),rf=cos(cos2010°),則a、b、c、d中最大的是()

A.aB.b

C.cD.d

［答案］C

I解析］注意至U2010°=360°X5+180。+30。，因此sin2010°=-

21

sin30°=cos2010°=-cos30°=--y<-^<0,-?<-1

]S711sA/3

<0,0<T<^-<T,co%>cos;>0,a=sin（-,）=-sin^-<0,b=sin（-

/44乙/

：）=-sin^<0,c=cos（-；）=cosj>0,d=cos（-率）=co：

因此選c.

［點評］本題“麻雀雖小，五臟俱全”考查了終邊相同的角、誘

導公式、正余弦函數(shù)的單調性等，應加強這種難度不大，對基礎知識

要求掌握熟練的小綜合訓練.

4.（文）（2010?北京西城區(qū)抽檢）設0＜回＜￡,則下列不等式中一定

成立的是（）

A.sin2a>sinaB.cos2a<cosa

C.tan2a>tanaD.cot2a<cota

借案］B

元

［解析］當-彳＜々＜0時，4C、O不成立?如a—不則2a=

n]

2<~J5tan2a=一木,tana=

r

看，cot2?=cota=一小,而一木〈一看,此時，cot2a＞cota.

（理）如圖所示的程序框圖，運行后輸出結果為（）

22

開始

A.1B.2680

C.2010D.1340

［答案］C

(nnnn.”

懈析I,「/(〃)=2sin|jy+^|+1=2cos-y+1.由S=S+H〃)及n

=〃+1知此程序框圖是計算數(shù)列%=2co號+1的前2010項的和.

7r+2c。號+1+2cos爭1

即S2。cos§+上1i++

20107T

2cos+1

3

nIn37r20107r71

=2lcosj+cos-y+cos!T+…+COS-~+2010=2X335Xcos^

2元37r47r57r

+cos5+cos-y+COS亍+COS三+cosiy+2010=2010.

5.（文）（2010?南京調研）已知角a的終邊經(jīng)過點P（x,-6）,且tana

3

1則x的值為

［答案］10

23

-63

［解析］根據(jù)題意知tana=~^j=-《，所以x=10.

（理）已知/\ABC是銳角三角形，則點P（cosE-siivi,tanB—cotQ,

在第象限.

［答案］二

|解析|???△4BC為銳角三角形，.

0<B<T,0<C<?,且4+B>T，B+O?>

7T九一c九一九一

-j?>0,5>B>5-OO,

,.j=sinx與y=tanx在0,號上都是增函數(shù)，

siivi>sinj-tanJ5>tan/-cj,

sin/Acos—tanB>cotC,在第二象限.

6.在（0,2元）內使sinx>cosx成立的x的取值范圍是.

I答案］（小苧）

［解析］由三角函數(shù)定義結合三角函數(shù)線知，在（0,2兀）內，使

sinx>cosx成立的x的取值范圍為。苧）.

［點評］要熟知單位圓中的三角函數(shù)線在三角函數(shù)值的大小中

的應用.

24

7.（文）（2010?上海嘉定區(qū)模擬）如圖所示,角a的終邊與單位圓（圓

心在原點，半徑為1的圓）交于第二象限的點［cosa,|）,則cosa一

sina=<

7

借案］-5

3

［解析］由條件知，sina=三，

4.7

cosa=-g,「?cosa-sina=一g.

（理）直線歹=2*+l和圓/+y=1交于4，6兩點，以x軸的正

方向為始邊，04為終邊（O是坐標原點）的角為a,05為終邊的角為

fi,求sin（a+/?）的值.

25

I答案］-f

［解析］將y=2x+1代入Y+/=1中得，5x2+4x=0,/.x=0

4(431

或一g,???4(0,1),5［一目,故

5Vsina=l,cosa=0,sinfi=

c4

COSjff=-g,

4

/?sin(a+0=sinacosy?+cosasin/?=-g.

8.（文）已知角a終邊經(jīng)過點P（x,一啦）（x關0）,且cosa=^-x.

求sina+忑匕；的值.

［解析］?.P（x,-啦）（xN0）,

二.點尸到原點的距離r=迎+2.

26

r近.x小

Xcosa=七x,…cosa=/,=4x.

6#+26

TxWO,；.x=；.r=2小.

當*=恒時，P點坐標為（師，一啦），

由三角函數(shù)的定義，有sina=一點，

??1_亞__6y［5+y［6

一sinatana~~6~^5~~6'

當x=-，］歷時，同理可求得sina+馬京=一

（理）已知sin。、cos。是方程d一（陋一l）x+/n=0的兩根.

（1）求m的值；

sin，cosO

Q）求彳的值.

一cot。1—tan。

［解析］（1）由韋達定理可得

sin〃+cos。=5T①

sin，,cos〃=m②

由①得1+2sin^cos0=4-2班.

將②代入得利=不-巾，滿足A=（小一1）2-4次20,

故所求m的值為|-巾.

sin。cosOsin。cos。

（2）先化簡:+~+

1-cote1-tan。_cos。_sin。

sin，cos。

sin26>cos2^co』。-si，。

+=cos"+sin”

sin。-cos。cos。-sin，cos。-sin。

=y[3-l.

27

BXTK備選題庫

1.已知關于x的方程21—(巾+l)x+/〃=O的兩根為sin，和

cos，，且夕￡(0,2兀)，

八、分sin。.cosO占人告

()求的值；

11i—cot，1~—7t-an，

(2)求加的值；

(3)求方程的兩根及此時0的值.

［解析］(1)由韋達定理可知

‘小+1

sin0+cos?=_2~①

m

②

Isin^-cos^=vL

__sin。cos。sin2^cos?。

而------+-------=---------+---------

1-cot，1-tan〃sin，-cos0cos，-sin，

V§+1

=sin。+cos。=-2~；

5

(2)由①兩邊平方得1+2sin，cos，=2?

將②代入得加=半；

(3)當陽=孚時，原方程變?yōu)?/p>

2x，-(1+小)x+*=0,解得為=乎，x2=p

28

rrjr

又'：：.或不

8￡(0,2?r),.8=UJ

2.周長為20cm的扇形面積最大時，用該扇形卷成圓錐的側面,

求此圓錐的體積.

［解析］設扇形半徑為尸，弧長為/,則/+2—20,

20-2r,

S=jr/=^(20-2r)?r=(10-r),r,

???當r=5時，