新教材人教b版選擇性必修第二冊第四章4 . 2 .3 二項分布與超幾何分布

4.2.3二項分布與超幾何分布

新課程標準學(xué)業(yè)要求

1.理解?次獨。:正復(fù)試驗及二項分布.（數(shù)學(xué)抽象）

1.通過具體實例.掌握二項分布.并能解決

2.理解超幾何分布及北推導(dǎo)過程.（數(shù)學(xué)抽象）

簡單的實際問題.

3.能利用二項分布及超幾何分布解決些簡單的實際問題.（數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)

2.通過具體實例.了解超幾何分布.并能解

運算）

決簡單的實際問題.

I.靈活選擇概率模邸解決實際問題.（數(shù)學(xué)建模、邏輯推理,

必備知識?自主學(xué)習(xí)

1.什么是n次伯努利試驗（n次獨立重復(fù)試驗）?什么是一項分布？

導(dǎo)思

2.什么是超幾何分布？

1.獨立重復(fù)試驗與二項分布

（l）n次獨立重復(fù)試驗

在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗，約定這n次試驗是相互獨立的,

此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.

（2）二項分布

一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-

p,且n次獨立重復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍

是{0,1,…，k,…，n},而且P（X=k）=C[pkqn-k（k=0,1,2,...,

n）,因此X的分布列如下表所示

X01???k???n

nCpiqn-knkn

Pc?P°q???CPq-??.就Pq°

由于表中的第二行中的概率值都是二項展開式（q+pF=

C2p°qn+C]pt*1」+…+心pkqn-k+...+CSpp。中對應(yīng)項的值,因

此稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作X~B(n,p).

思考？

(1)獨立重復(fù)試驗需要滿足什么條件？

提示：①每次試驗的條件相同；

②每次試驗是相互獨立的；

③每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

⑵二項分布中各個參數(shù)的意義分別是什么？

提示：n表示試驗的總次數(shù)；k表示在n次獨立重復(fù)試驗中成功的次

數(shù)；p表示試驗成功的概率；1-p表示試驗不成功的概率.

2.超幾何分布

一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<

N),從所有物品中隨機取出n件(nSN)，則這n件中所含甲類物品件

數(shù)X是一個離散型隨機變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然

數(shù)，其中$是M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n<N

-M耐取0,否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),

而且P(X=k)=-M,k=t,t+l,S,X稱為服從參數(shù)為N,

n,M的超幾何分布，記作

X~H(N,n,M).

思考2

超幾何分布概率公式有何特點?

提示：分子兩個組合數(shù)的下標之和等于分母組合數(shù)的下標，分子兩個

組合數(shù)的上標之和等于分母組合數(shù)的上標.

;基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶（對的打r"，錯的打“X”）

⑴二項分布的參數(shù)是N,n,M,超幾何分布中的參數(shù)是n,p.（）

（2）n次獨立重復(fù)試驗的結(jié)果可以有多種.（）

（3）超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成.（）

提示：（l）x.二項分布的參數(shù)是n,p,超幾何分布中的參數(shù)是N,n,

M.

（2）x.n次獨立重復(fù)試驗的結(jié)果只有兩種.

（3）4.由超幾何分布的概念可知.

2.（教材二次開發(fā)：練習(xí)改編）設(shè)8件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)從中抽

pl

取4件，則郎產(chǎn)表示（）

A.4件產(chǎn)品中有2件次品的概率

B.4件產(chǎn)品中有1件次品的概率

C.4件產(chǎn)品中有2件正品的概率

D.4件產(chǎn)品中有1件正品的概率

【解析】1表示從2件次品中任選1件，0表示從6件正品中任選3

件.

3.已知隨機變量X服從二項分布，X~B（4,（，則成功概率為

【解析】由二項分布參數(shù)的意義知，成功概率為;.

答案］

關(guān)鍵能力?合作學(xué)習(xí)

類型一n次伯努利試驗與二項分布（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算）

【角度1】n次伯努利試驗與二項分布概念的理解

【典例】下列隨機變量X不服從二項分布的是（）

A.投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點數(shù)為6出現(xiàn)的次數(shù)

B.某射手射中目標的概率為p,設(shè)每次射擊是相互獨立的，X為從

開始射擊到擊中目標所需要的射擊次數(shù)

C.實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝

的次數(shù)

D.某星期內(nèi)，每次下載某網(wǎng)站數(shù)據(jù)被病毒感染的概率為0.3,X表

示下載n次數(shù)據(jù)電腦被病毒感染的次數(shù)

【思路導(dǎo)引】先判斷是否是獨立重復(fù)試驗，再判斷試驗結(jié)果是否是只

有兩個.

【解析】選B.選項A：試驗出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個，點數(shù)為6和點數(shù)不

為6,且點數(shù)為6的概率在每一次試驗中都為上，每一次試驗都是獨

立的，故隨機變量X服從二項分布；選項B：雖然每一次試驗的結(jié)果

只有兩個，且每一次試驗都是相互獨立的，且概率不發(fā)生變化，但隨

機變量X的取值不確定，故隨機變量X不服從二項分布；選項C：

甲、乙獲勝的概率一定，且和為1,進行5次比賽，相當(dāng)于進行了5

次獨立重復(fù)試驗，故X服從二項分布；選項D：由二項分布的定義

可知，X~B（n,0.3）.

?變式探究

在本例選項A中，求P（X=2）.

【解析】由題意,

所以p（x=2）y92（|卜二盤.

【角度2]求n次伯努利試驗的概率與二項分布

【典例】I3,次1品率為:，現(xiàn)對該批電子管進行測試，設(shè)第X次首

次測到正品，則P（x=3）等于（）

2321

AC2X-BC2X-

3434

3321

cX-DX-

444

【解析】選C.X=3表示"第3次首次測到正品，而前兩次都沒有測到

正品"故其概率為2x1.

2.在一次物理考試中，第14題和第15題為選做題.規(guī)定每位考生

必須且只需在其中選做一題若4名考生選做這兩題的可能性均為;.

⑴求其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率；

⑵設(shè)這4名考生中選做第15題的學(xué)生數(shù)為已求&的分布列.

【思路導(dǎo)引】(1)利用相互獨立事件與互斥事件的概率公式解決；

(2)利用二項分布公式解決.

【解析】⑴設(shè)事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”,

則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“AB+T￥”且事件A,

B相互獨立.

所以P(AB+X5)=P(A)P(B)+P(云)P(~B)

(2)隨機變量1的可能取值為0,1,2,3,4,且1~B,,.所以P?

=k)=CT[1斗…=c^[1)4(k=0,1,2,3,4).

所以隨機變量1的分布列為

01234

11311

P

1648416

解題策略

解決二項分布問題的關(guān)注點

⑴判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是對立性,

即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗是

獨立重復(fù)地進行了n次.

⑵當(dāng)X服從二項分布時，應(yīng)弄清X~B(n,p)中的試驗次數(shù)n與成功

概率p.

⑶對于公式P(X=k)=C>pk(l-p)n-k(k=O,1,2____n)必須在滿

足“獨立重復(fù)試驗”時才能運用,否則不能應(yīng)用該公式.

題組訓(xùn)練,

1.任意拋擲三枚硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為()

331

A-B-C二D-

4834

【解析】選B.拋一枚硬幣，正面朝上的概率為g，則拋三枚硬幣，

恰有2枚正面朝上的概率為P=C1[jj2=|.

2.已知某種從太空飛船中帶回來的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都

為;，某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的發(fā)芽試驗，每

次試驗種一粒種子，如果某次沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗的.

⑴第一小組做了3次試驗，記該小組試驗成功的次數(shù)為X,求X的

分布列；

⑵第二小組進行試驗，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共

有3次失敗的概率.

【解析】(1)由題意,隨機變量X可能取值為0,1,2,3,

則X?B(3,gpP(X=0)=C3(00(1J)3二號,

P(X=1)=G@1(12=5，

1

P(X=2)=Ci@20.lj=1,

P(X=3)=Cg)31[)。=J..

所以X的分布列為

X0123

8421

P

279927

⑵第二小組第7次試驗成功，前面6次試驗中有3次失敗,3次成功，

每次試驗又是相互獨立的，

因此所求概率為P=&(1)3(1-1)3x3=熱.

【補償訓(xùn)練】

某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？?若該

電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概

率均為:，用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求隨機變

量X的分布列.

【解析】可視一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，相當(dāng)于做

了5次獨立重復(fù)試驗，故X~B（5,0,P（X=0）=C5（，°修）5=

32,P(X=1)=C；81]1|4嚼

243

2rn2⑵3so

P(X=2)=C5目同=243，

3①3⑵240

P(X=3)=C5[3J同=而，

p（x=4）Y&n）1=瑞,

P（x=5）=Ci成仔）°=會.所以x的分布列為

X012345

32808040101

P

243243243243243243

類型二超幾何分布（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模）

【角度3】對超幾何分布的理解

【典例】某高二數(shù)學(xué)興趣小組有7位同學(xué)，其中有4位同學(xué)參加過高

一數(shù)學(xué)“南方杯”競賽.若從該小組中任選3位同學(xué)參加高二數(shù)學(xué)“南

方杯”競賽，求這3位同學(xué)中參加過高一數(shù)學(xué)“南方杯”競賽的同學(xué)數(shù)匕

的分布列及P6<2）.

【思路導(dǎo)引】先寫出匕所有可能的取值，求出每一個匕所對應(yīng)的概率,

然后寫出分布列，求出概率.

「003

【解析】由題意知，W的可能取值為0,1,2,3,則PC=0)=-^-

112clC318

=35"化=1盧丁=35，P("2)=b=三，%=3)=

它6_±

色—35.

所以隨機變量1的分布列為

10123

112184

p

35353535

1I?13

P(”2)=P6=0)+P化=1)=方+方=行.

【角度4】求超幾何分布的分布列

【典例】袋中裝有標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任

取3個小球,按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分,每個小球被取出的

可能性都相等，用X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：

(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；

⑵隨機變量X的分布列.

【思路導(dǎo)引】⑴用古典概型的概率公式求解；

⑵用超幾何分布公式求解.

【解析】(1)方法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件

…cgGGG2

1己為A,貝［jP（A）==3?

方法二：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,“一

次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為B,則事件A和事

件B是對立事件.

_,C5C2c1112

因為P(B)=--=3，所以P(A)=1-3=3-

(2)由題意知，X所有可能的取值是2,3,4,5,

《c；+c；C1c；c，+c1心2

P(X=2)=一比—=30，P(X=3)=-瓦一二記,

底G+CJC3Cici+cicl8

P(X=4)=一瓦—=10，P(X=5)=-瓦一二石?

所以隨機變量X的分布列為

X2345

1238

P

3015W15

?變式探究

本例已知條件不變計算一次取球得分介于20分到40分之間的概率.

【解析廠一次取球得分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)

2313

=P(X=3)+P(X=4)=E+fo=30-

?解題策略

1.對超幾何分布的三點說明

⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣.

(2)超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n.

⑶超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同

學(xué)中的男生和女生等問題，往往由差異明顯的兩部分組成.

2.求超幾何分布的分布列應(yīng)關(guān)注的兩點

⑴超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范

圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶.

⑵超幾何分布中，只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不

同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.

題組訓(xùn)練\

1?從一批含有13只正品，2只次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，

求取得次品數(shù)為自的分布列.

【解析】設(shè)隨機變量［表示取出次品的個數(shù)，則匕服從超幾何分布,

其中N=15,M=2,n=3.它的可能取值為0,1,2,相應(yīng)的概率依

「「

03_22

1

次為P?=o)=■-L■=

5535

GC彳312C泗31

P^=1)=~CIT=35-右2)=不"=35?

所以自的分布列為

012

22121

P

353535

2.現(xiàn)有來自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率

1

為7-

⑴求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；

⑵設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為X,求X的分布列，并求所選2

名中甲班學(xué)生數(shù)不少于1名的概率.

M(M-1)

1029

【解析】(1)設(shè)甲班的學(xué)生數(shù)為M,由題意得與二3"=一前一

r

M(M-1)

7x6，整理得M2-M-6=0解得乂=3或乂=-2(舍去).

即7名學(xué)生中，甲班有3名.

(2)由題意知X服從參數(shù)N=7,M=3,n=2的超幾何分布，其中X

rk「2-k

的所有可能取值為0,1,2.P(X=k)="C2(k=0,1,2),

C?戢62

即nnP(X=O)=~^1一二五=7

C；』124C，/_1

=五二

P(X=l)=-^2—q,P(X=2)==21=7?

所以X的分布列為

X012

241

P

777

415

由分布列知P(XN1)=P(X=1)+P(X=2)=]+y=亍.即所選2名中

甲班學(xué)生數(shù)不少于1名的概率為￡.

【補償訓(xùn)練】

一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球，其中紅球有3個，

編號為1,2,3；黑球有2個，編號為1,2；白球有1個，編號為

1.現(xiàn)從袋中一次隨機抽取3個球.

⑴求取出的3個球的顏色都不相同的概率；

⑵記取得1號球的個數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的分布列.

【解析】⑴從袋中一次隨機抽取3個球，基本事件總數(shù)n=Ci=20,

取出的3個球的顏色都不相同包含的基本事件的個數(shù)為C；ClC;

=6,所以取出的3個球的顏色都不相同的概率為P=4-

（2）由題意知X=0,1,2,3.

C1c!c=9

P（X=0）二段;而，P（x=l）=p-;廂.

C：C；9ci1

P（X=2）=-cT=20，P（X=3）二百二刃.

所以X的分布列為

X0123

1991

P

20202020

類型三幾種分布問題的綜合應(yīng)用（數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算）

【典例】一個袋子中有60個大小相同的球，其中有20個黃球、40

個白球，從中隨機地摸出10個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的

個數(shù).

⑴有放回地摸球，求X的分布列；

⑵不放回地摸球，求X的分布列.

步驟內(nèi)容

條件：①袋中有20個黃球、40個白球，從中隨機地摸出

理解10個球；②用X表示樣本中黃球的個數(shù).

題意結(jié)論：⑴有放回地摸球，求X的分布列；⑵不放回地摸

球，求X的分布列.

思路對⑴，X服從二項分布，對⑵，X服從超幾何分布，分別

探求求出相應(yīng)的概率，列出分布列.

⑴對于有放回地摸球，每次摸到黃球的概率為:，且各次

試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此X~N（10,；）,X的分布

列為

pik=P（X=k）=C]｛）捫x@1?！?k=o」，2，…，10.①

書寫

⑵對于不放回地摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超

表達

幾何分布，X的分布列為

「k「10-k

Jo/

p2k-P（X-k）-io,k-0,1,2,…，10.②

^60

注意書寫的規(guī)范性：①也可以使用等式來表示分布列;②

注意概率分布模型的區(qū)分.

題后獨立重復(fù)試驗的實際原型是有放回地抽樣檢驗問題，超幾

反思何分布的實際原型是不放回地抽樣問題.

*解題策略

二項分布與超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的

分布規(guī)律.若N件產(chǎn)品中含有M件次品，當(dāng)我們從這些產(chǎn)品中每次

抽取一件，共抽取n次進行檢查時，若是有放回地抽樣，則抽到的次

品數(shù)X服從的是二項分布，若是不放回地抽樣且n<N,則抽到的次

品數(shù)X服從的是超幾何分布.對于不放回地抽樣，當(dāng)n遠遠小于N

時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二

項分布近似.

跟蹤訓(xùn)練\

盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2

個.若從中隨機依次取出2個球，則放回抽取時所取出的2個球顏色

不同的概率等于不放回抽取時所取出的2個球顏色不同的

概率等于.

【解析】若放回抽取，設(shè)取得紅球的個數(shù)為X,

則X~B(2,I)，取出2個顏色不同的球即事件“X=1”，

所以P(X=1)=Gx|x|=奈.若不放回抽取，設(shè)取得紅球的個數(shù)為

plpl

Y,則Y~H(5,2,3),所以取到的2個球顏色不同的概率P二盜片

3

5,

【拓展延伸】

兩點分布是一種特殊的二項分布，即n=1的二項分布.

【拓展訓(xùn)練】某人投彈擊中目標的概率為P=0.8.

(1)求投彈一次，命中次數(shù)X的分布列；

⑵求重復(fù)10次投彈時，擊中次數(shù)Y的分布列.

【解析】(DX服從兩點分布，其分布列為

X01

P

⑵Y服從二項分布，即Y~B(10,0.8),其分布列為P(X=k)=Gokl°

-k,k=0,1,2,,10.

課堂檢測?素養(yǎng)達標

1.某地人群中高血壓的患病率為P，由該地區(qū)隨機抽查n人，則()

A.樣本患病率服從B(n,p)

B.n人中患高血壓的人數(shù)X服從B(n,p)

C.患病人數(shù)與樣本患病率均不服從B(