湖南省2020年各地中考數(shù)學(xué)壓軸題（含解析）

湖南省2020年各地中考數(shù)學(xué)壓軸題匯總

>，2、264

.y——)H

岳陽(yáng)24.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線515與x軸交于點(diǎn)

A(--,0)

5和點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)c.

(D求拋物線片的表達(dá)式；

(2)如圖2,將拋物線右先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線心，若

拋物線及與拋物線工相交于點(diǎn)。，連接班)，CD,BC.

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②判斷5CD的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，拋物線B上是否存在點(diǎn)P，使得△5DP為等腰直角三角形，若存

在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5,4

【答案】(1)y=-jx-+j%+4；(2)①點(diǎn)。的坐標(biāo)。(―LD；②5CD是等腰直角三角

形，理由見解析；(3)尸(-2,-2)或尸(1,-3).

【詳解】(1)將點(diǎn)A(-■1,0)代入拋物線耳的表達(dá)式得：a(-|-|)2+y|=0

解得a=_?

3

則拋物線耳的表達(dá)式為y=-|(x-|)2+y|=-|X2+|X+4

54

故拋物線K的表達(dá)式為y=--x29+j%+4；

(2)①由二次函數(shù)的平移規(guī)律得：拋物線工的表達(dá)式為y=-g(x—|+1)2+3—3

-5/3、21952c2

BPK:y——(xH—)H---——x—2xH—

2351533

[524,

y=——x+—x+4

33rx=-l1

聯(lián)立《[0,解得＜?

—AYJ

「33

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(—LD；

?5，2、26454)

②對(duì)于y=——(x——)H---=——x2+—x+4

-351533

當(dāng)y=0時(shí)，—g(x_g)2+^|=o,解得％=2或x=—g

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為8(2,0)

54

當(dāng)％=0時(shí)，=—X02+-X0+4=4,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,4)

Y33

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：BC=7(2-0)2+(0-4)2=275

BD='(2+1)2+(0—1)2=V10

CD=7(0+1)2+(4-I)2=V10

則BD=CD,BD2+CD2=BC2

故5CD是等腰直角三角形；

531952

(3)拋物線工的表達(dá)式為y=—](x+])2+j|=—；x2—2%+§

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸O,")

由題意，分以下三種情況：

①當(dāng)/。05=9。。,P。=班)時(shí)，△5DP為等腰直角三角形

BCD是等腰直角三角形，ZBDC=9Q°,BD=CD

PD=CD

，點(diǎn)D是CP的中點(diǎn)

0+m,

2

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(—2,—2)

5,2

對(duì)于拋物線工表達(dá)式y(tǒng)=—2x+§

當(dāng)x=—2時(shí)，y=-|x(-2)2-2x(-2)+|=-2

即點(diǎn)P(-2,-2)在拋物線工上，符合題意

②當(dāng)ZPBD=90°,PB=6。時(shí)，ABDP為等腰直角三角形

ZBDC=9Q°,BD=CD

:.CD//PB,PB=CD

四邊形BCDP是平行四邊形

點(diǎn)C至點(diǎn)B的平移方式與點(diǎn)D至點(diǎn)P的平移方式相同

C(0,4),B(2,0)

???點(diǎn)C至點(diǎn)B的平移方式為先向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

D(-l,l),P(m,n)

m=-l+2=l

〃二1一4二一3

即點(diǎn)P坐標(biāo)為P。,-3)

52

對(duì)于拋物線工的表達(dá)式y(tǒng)=-§x92-2%+g

當(dāng)x=l時(shí)，y=--xl2-2xl+-=-3

33

即點(diǎn)P(l,-3)在拋物線B上，符合題意

③當(dāng)ZBP￡>=90°,尸3=尸。時(shí)，為等腰直角三角形

則點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上

設(shè)直線BD的解析式丫=履+6

\2k+b=0%=T

將點(diǎn)5(2,0),。(-1』)代入得：,,,，解得.

-k+b=l,2

，b——

[3

則直線BD的解析式丁=—+g

設(shè)BD的垂線平分線所在直線的解析式為y=3x+C

點(diǎn)6(2,0),。(一1,1)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(―,=)，BP(-,-)

1131

將點(diǎn)(5,5)代入y=3x+c得：-+c=-,解得c=—1

則BD的垂線平分線所在直線的解析式為y=3x-l

因此有37〃-1=〃，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：PB=7(m-2)2+(3m-l-0)2=J1(W-10相+5

又BD=回,ABDP為等腰直角三角形

:.PB=—BD=45

2

則710zn2-10/n+5=下

解得m=0或加=1

當(dāng)m=0時(shí)，3加一1=3x0—1=—1,即點(diǎn)P坐標(biāo)為尸(0,-1)

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，3加—1=3x1—1=2,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸(L2)

52

對(duì)于拋物線工的表達(dá)式y(tǒng)=-jx2-2x+-

522

當(dāng)x=0時(shí)，y=xO2—2X0H—=—

333

即點(diǎn)尸(0,-1)不在拋物線工上，不符合題意，舍去

當(dāng)x=］時(shí)，y=--xl2-2xl+—=-3

33

即點(diǎn)尸(1,2)不在拋物線工上，不符合題意，舍去

綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-2,-2)或P(l,-3).

9_

常德市25.如圖，己知拋物線y=aV過點(diǎn)/(-3,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知直線/過點(diǎn)/,#(-|,0)且與拋物線交于另一點(diǎn)色與y軸交于點(diǎn)C,求證：MC

(3)若點(diǎn)R2分別是拋物線與直線/上的動(dòng)點(diǎn)，以利為一邊且頂點(diǎn)為。，C,P,，的四

邊形是平行四邊形，求所有符合條件的尸點(diǎn)坐標(biāo).

解：⑴把點(diǎn)力(-3,當(dāng)代入尸ax:

4

得到?=9a,

4

._1

??Q,-------,

4

拋物線的解析式為

4

9

V=-3k+b

4

(2)設(shè)直線/的解析式為y=M+b,則有,

3

。而k+b

k=

解得《4

b4

直線，的解析式為尸得吟

令戶0,得到不,

(0,—),

4

X=1\=-3

1或＜9，

|尸1

4

如圖1中，過點(diǎn)/作比軸于4,過6作曲」X軸于友貝IJ郎〃宛〃力4,

圖1

3,

.BM-炳—MC=MO_2_2

MCMO3_3疝FA「干F

~2

?BM=MC

,,MC-MA，

即=MA。MB.

???利為一邊且頂點(diǎn)為。，C,P,，的四邊形是平行四邊形,

：.PD//OC,PD=OC,

：.D(t,-L+3),

24

(,3

|—t2(--1+—)=—,

4244

整理得：/+2-6=0或t2+2t=0,

解得-1-、々或-1=4或-2或0(舍棄)，

T3(-1-2+^^)或(-2-)或(-2,1).

常德26.已知，是RtA46C斜邊46的中點(diǎn)，N4^=90°,NABC=30°,過點(diǎn)〃作Rt△頌

使/班尸=90°,/DFE=3Q°,連接團(tuán)并延長(zhǎng)應(yīng)到R梗EP=CE,連接應(yīng)；FP,BP,設(shè)

BC與DE交于M,PB與EF交于N.

(1)如圖1,當(dāng)D,B,b共線時(shí)，求證：

①EB=EP；

②NEFP=30。；

(2)如圖2,當(dāng)D,B,廠不共線時(shí)，連接所，求證：/BF況/EFH30°.

圖1圖2

【解答】證明(1)①?.?/"%=90°,ZABC=3Q°,

：.ZA=90°-30°=60°,

同理/放心60°,

/.ZA=ZEDF=60°,

：.AC//DE,

：./DMB=NACB=90°,

,/〃是RtAABC斜邊四的中點(diǎn)，AC//DM,

.B見：BD=1

,?而詁方

即〃是理的中點(diǎn)，

,:EP=CE,即￡是用的中點(diǎn)，

：.ED//BP,

/C5QNZW=90°,

△呼是直角三角形，

：.BE=-PC=EP-,

2

②?：/ABC=NDFE=30°,

：.BC//EF,

由①知：/C即=90°,

:.BP1EF,

'：EB=EP,

必是線段分的垂直平分線，

：.PF=BF,

:./PFE=/BFE=3Q°；

(2)如圖2,延長(zhǎng)小到0,梗EQ=DE,連接切，PQ,FQ,

AD

圖2

'：EC=EP,/DEC=/QEP,

:、△QEP^XDECQSA9,

則PQ=DC=DB,

VQE=DE,/DEF=90°

???斯是〃。的垂直平分線，

???QF=DF,

,/CD=AD,

：.ZCDA=ZA=60°,

：.ZCDB=120°,

：.ZFDB=120°-/FDC=120°-(60°+ZEDC)=60°-/EDC=60°-ZEQP=ZFQPf

:.MFQP^XFDB(SAS),

：.AQFP=ABFD,

??,斯是〃。的垂直平分線，

：.ZQFE=ZEFD=30°,

:?/QFPv/EFP=3G0,

:./BFK/EFP=3G.

長(zhǎng)沙市25.如圖，半徑為4的。中，弦AB的長(zhǎng)度為4』，點(diǎn)C是劣弧A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦BC的中點(diǎn)，連接DE,OD,OE.

(1)求NAC歸的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)C沿著劣弧A3從點(diǎn)A開始，逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求AODE的外心P所經(jīng)過的

路徑的長(zhǎng)度；

(3)分別記'ODE,ACDE的面積為H,昆，當(dāng)S「—S2?=21時(shí)，求弦AC的長(zhǎng)度.

4

【答案】(1)ZAO3=120°；(2)-71-,(3)AC=VB—百或4。=厲+也.

【詳解】解：(1)如圖，過。作OH_LAB于H,

AB=473，

AH=-AB=2y[3,

2

.AH273#>

??cosz_OAH=-----=------=9

AO42

ZOAH=30°,

,/OA=OB,

；?ZOBH=NOAH=30°,

：.ZAOB=180°-30°-30°=l20°；

(2)如圖，連接OC,取OC的中點(diǎn)G,連接DG、EG,

：D是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦BC的中點(diǎn)，OA=OB=OC,

/.ODXAC,OE±BC,即/ODC=/OEC=90°,

OG=DG=GE=GC=-OC=2,

2

，O、D、C、E四點(diǎn)共圓，G為△ODE的外心,

；.G在以。為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

ZAOB=120°,

.、一一山口々4[/在1207rx24

??運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為——-一=~71；

lot)3

(3)當(dāng)點(diǎn)C靠近A點(diǎn)時(shí)，如圖，作CN〃AB交圓。于N,作CFLAB交AB于F,交DE

于P,作OMJ_CN交CN于M,交DE于Q,交AB于H,連接OC,

：D是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦BC的中點(diǎn),

DE=-AB=2^3,

2

?：ZOAH=30°,OA=4,

：.OH=2,

設(shè)OQ=4，CP=/z2,由題可知。A/=%+%,OH=幾_心,

=；義DEx%,S2=gxDExh2,

=x

Sr+S2~DEx4+；xDExH=；xDEx(九+/z2)=gxDExOM

Sx-S2ngxDEx4--^-xDEx/^=^xDEx(^hl一瓦)=；義DExOH

22

VS1-S2=(S1+S2)(S1-S2)=21,

gxDExOM|xDEx(9H=21,即gx26xOMgx2Gx2=21,

L「、后

由于A”=2百，AAF=2y/3--—，

2

+5

綜上所述，AC=JF—3或AC=JF+6.

郴州25.如圖,在等腰直角三角形ADC中,ZADC=9°，AD=4.點(diǎn)￡是a。的中點(diǎn)，以DE

為邊作正方形OE/G,連接AG,CE.將正方形OEEG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

tz(O<a<90)

(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

①判斷AAG。與ACED是否全等，并說明理由；

②當(dāng)CE=C。時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H,求GH的長(zhǎng).

(2)如圖3,延長(zhǎng)CE交直線4G于點(diǎn)尸.

①求證：AG1CP；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段尸C的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【答案】（1）①全等，證明見解析；②當(dāng)竺；（2）①證明見解析；②26+2.

15

【詳解】解：（1）①全等，理由如下：

在等腰直角三角形ADC中，AD=CD,ZADC=90，

在正方形DEEG中，GD=ED,NGDE=90，

又ZADE+ZEDC=90°,ZADE+ZADG=90°,

ZADG=ZCDE

在△AGD和中，

AD=CD

<NADG=NCDE,

GD=ED

：.aAGD=^CED(SAS)；

②如解圖2,過A點(diǎn)作AM,GO,垂足為M,交FE與N,

解圖2

:點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

/.在正方形DEFG中，DE=GD=GF=EF=2,

由①得-4G。三

/.AG=CE,

又：CE=CD,

：.AG=AD=CD=4,

'：AM±GD,

：.GM=-GD=l,

2

又；ND=NF=90。,

.??四邊形GMN尸是矩形，

MN=GF=2,

在RfUGM中，AM7AG?-GM2=收-]2=岳,

?/萬…AM后

??cosZGAM=------=-----

AG4

?；FG//AM,

ZGAM=NAGF

.FGV15

,,COSX^ACjr==-----，

GH4

“FG28V15

??cosZAGFV1515?

丁

(2)①由①得空GO三3ED,

/.ZGAD=ZECD,

又,/NECD+ZECA+ADAC=90°,

ZGAD+ZECA+ZDAC=90°,

ZAPC=90°,即：AG1CP；

②；ZAPC=90°,

PC=AP^inZPAC,

當(dāng)ZPAC最大時(shí)，PC最大，

VZDAC=45°,是定值，

丁?/GAD最大時(shí)，/PAC最大，PC最大，

VAD=4,GD=2,

???當(dāng)GOLAG,/GAO=30。最大，如解圖3,

又???AG，CP,EF_LFG,

二.尸點(diǎn)與尸點(diǎn)重合,

...CEFP四點(diǎn)共線,

CP=CE+EF=AG+EF=2G+2，

，線段尸C得最大值為：2M2.

郴州26.如圖，拋物線y=ax?+Z?x+3(aw0)與x軸交于A(-l,0),_8(3,0),與》軸交于點(diǎn)

C.已知直線了=履+”過5,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線和直線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①如圖，若點(diǎn)尸在第一象限內(nèi)，連接PA,交直線于點(diǎn)。.設(shè)APDC的面積為5,AADC

S,

的面積為S2,求心的最大值；

②如圖2,拋物線的對(duì)稱軸與1軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)Q是對(duì)稱

軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

若存在，求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2)

【詳解】(1)把A(-l,0),B(3,0)代入y=ax?+6x+3得:

a—b+3=0

9a+3b+3=0

拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,

令x=0,則y=3,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

把B(3,0),C(0,3)代入y=H+”得:

3左+72=0

〃=3

k=—1

解得：《

〃=3

.??直線BC的表達(dá)式為y=—x+3；

(2)①：PA交直線BC于點(diǎn)

，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(加，-m+3),

設(shè)直線PA的表達(dá)式為y=klx+bl,

—kx+1=0

?<，

mk1+4=—m+3

-m+3

&=

解得：《m+1

—m+3

瓦=

m+1

..,?—TYI+3—in+3

**?直線PA的表達(dá)式為y=------x-\--------

m+1m+1

.-m+3-m+3-

??------xH------------=—x2+2x+3o,

m+1m+1

4m

整理得:x------(x+1)=0,

m+1

4m

解得：再=——,々=—1(不合題意，舍去)，

m+1

4H7

???點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為加，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為——

m+1

分別過點(diǎn)D、P作x軸的垂線，垂足分別為M、N,如圖:

???DM〃PN,OM=m,ON=-------OA=1,

m+1

4m

S,_SPDCPDMN

S2SqcDAAMm+1

_-m2+3m

(m+1)2

(m+1)2

V-l<0,

???當(dāng)加二彳3時(shí)，分子取得最大值，即含Si有最大值，最大值為《9；

②存在，理由如下：

作/GL4B于G,如圖,

AOE=1,

VB(3,0),C(0,3)

VOC=OB=3,ZOCB=90,

???AOCB是等腰直角三角形,

,/ZEFB=90,BE=0B-0E=2,

???△OCB是等腰直角三角形，

；.EG=GB=EG=1,

點(diǎn)/的坐標(biāo)為(2,),

當(dāng)EF為邊時(shí)，

：EFPQ為平行四邊形，

；.QE=PF,QE〃PF〃y軸，

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)同為2,

當(dāng)x=2時(shí)，J=-22+2X2+3=3,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),

.*.QE=PF=3-1=2,

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,2)；

當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，如圖，

；PEQF為平行四邊形，

/.QE=PF,QE〃PF〃》軸，

同理求得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),

/.QE=PF=3-1=2,

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2)；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2)；

衡陽(yáng)市25.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，關(guān)于龍的二次函數(shù)y=/+px+q的圖象過點(diǎn)(-1,0),

(2,0).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)求當(dāng)-時(shí)，y的最大值與最小值的差;

(3)一次函數(shù))=(2-m)%+2-根的圖象與二次函數(shù)y=12+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分

別是〃和且4V3V/?,求相的取值范圍.

解：(1)由二次函數(shù)y=x2+p%+q的圖象經(jīng)過(-1,0)和(2,0)兩點(diǎn)，

.-J1-p+q=0,解得尸1,

l4+2p+q=0lq=-2

，此二次函數(shù)的表達(dá)式-2；

(2),拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=/I

在-范圍內(nèi)，當(dāng)％=-2,函數(shù)有最大值為：y=4+2-2=4;當(dāng)是函數(shù)有最

小值：y=-...--2=--,

424

的最大值與最小值的差為：4-(-且)=”；

44

(3)*/y=(2-m)%+2-相與二次函數(shù)y=N-x-2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。和/?,

.*.x2-x-2=(2-m)x+2-m,整理得

x2+(m-3)x+m-4=0

,：a<3<b

??a豐b

.*.△=(m-3)2-4X(m-4)=(m-5)2>0

:?m豐5

*：a<3<b

當(dāng)x=3時(shí)，(2-m)x+2-m>x2-x-2,

把x=3代入(2-m)x+2-m>x2-x-2,解得mVI,

:.m的取值范圍為m<1.

衡陽(yáng)26.如圖1,平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，等腰△A8C的底邊8C在x軸上，3c=8,頂點(diǎn)A

在y的正半軸上，0A=2,一動(dòng)點(diǎn)E從（3,0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向左運(yùn)

動(dòng)，到達(dá)08的中點(diǎn)停止.另一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)

點(diǎn)0停止.已知點(diǎn)E、尸同時(shí)出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH,使正方形EFGH和△ABC

在的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒（720）.

（1）當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求f的值；

D1

（2）設(shè)正方形EPG8與△ABC重疊面積為S,請(qǐng)問是否存在/值，使得5=匹？若存在，

36

求出r值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2,取AC的中點(diǎn)。，連結(jié)0。，當(dāng)點(diǎn)E、廠開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)，以

每秒2遙個(gè)單位的速度沿OD-DC-CD-DO運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)0停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)問在點(diǎn)E的整

個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M可能在正方形EFG8內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)M在正方

形EFGH內(nèi)（含邊界）的時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說明理由.

解：（1）如圖1-1中,

由題意，0A=2,0B=0C=4,EF=EH=FG=HG=1,

當(dāng)點(diǎn)H落在AC上時(shí)，'：EH//OA,

.CE=EH

?0―證

.CE=2

'"T-T

：.CE=2,

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為1,

時(shí)，點(diǎn)E落在AC上.

(2)由題意，在E,尸的運(yùn)動(dòng)過程中，開始正方形EFGH的邊長(zhǎng)為1,

:正方形EFGH與八ABC重疊面積為S,5=里，

36

???此時(shí)點(diǎn)廠與。重合，已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)，如圖1-2中，重疊部分是五邊形OEK/G.

由題意：(f-3)2-—?3t7J.(3L13),

2236

整理得45F_486/+1288=0,

解得/=學(xué)或坐(舍棄)，

315

滿足條件的r的值為」國(guó).

3

Q

（3）如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)M第一次落在上時(shí)，4什/=3,t=—

5

...點(diǎn)M第一次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時(shí)長(zhǎng)=里-3=工（s）,

555

.-4.

當(dāng)點(diǎn)M第二次洛在/G上時(shí)，書-/=4,t=—,

3

當(dāng)點(diǎn)M第二次落在由上時(shí)，書-（什1）=4,t=—,

3

點(diǎn)M第二次落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的時(shí)長(zhǎng)=$-里=工，

333

...點(diǎn)M落在正方形內(nèi)部（包括邊界）的總時(shí)長(zhǎng)=人工=且（s）.

5315

懷化24.如圖所示，拋物線/二%2-2x-3與x軸相交于A、8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)M

為拋物線的頂點(diǎn).

（1）求點(diǎn)C及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BN、CN求aBCN面積的最大值及

此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)。是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)2、C、D、

G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

（4）直線CM交x軸于點(diǎn)E,若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、E、0

為頂點(diǎn)的三角形與△A2C相似.若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

故。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),

又?.,y=N-21-3=(x-1)2-4,

???拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-4)；

(2)過N點(diǎn)作x軸的垂線交直線于。點(diǎn)，連接3N,CN,如圖1所示:

令y=x2-2x-3=0,

解得：x=3或％=-1,

：.B(3,0),A(-1,0),

設(shè)直線3C的解析式為：y=ax^b,

f-3=b

代入C(0,-3),8(3,0)得：\,

I0=3a+b

解得卜=1,

lb=-3

直線8c的解析式為：y=x-3,

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(孔，-3),故。點(diǎn)坐標(biāo)為(明幾-3),其中0V〃V3,

貝USABCN=SANQC+SANQB卷'QN，(XQ-xc)4,QN?(xR-飛)=

=_P

(XQ-XC+XB-XQ)-QN*(xB-xc),(其中XQ,xc,分別表示。，C,B

三點(diǎn)的橫坐標(biāo)),且。N=(n-3)-(層-2〃-3)=-/+3〃，物-％c=3,

故SABCNj.(_n2+3n).3=4n2+1Ti=-|"(n-|")2亳，其中0<〃<3,

乙乙乙乙乙0

當(dāng)■時(shí)，SABCN有最大值為

28

此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,—),

24

(3)設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,f),G點(diǎn)坐標(biāo)為6”,源-2m-3),且8(3,0),C(0,-3)

分情況討論：

①當(dāng)。G為對(duì)角線時(shí)，則另一對(duì)角線是BC,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:

2

線段DG的中點(diǎn)坐標(biāo)為I'D+XG也即（上也，t+m-2m-3

（22J〈22

線段小勺中點(diǎn)坐標(biāo)為空產(chǎn)，號(hào)1）,即（等，野）,

此時(shí)QG的中點(diǎn)與5C的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，

'3

22（m=2

9，解得《，

t+m'-2m-331t=0

I22

經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)四邊形。CG2為平行四邊形，此時(shí)G坐標(biāo)為（2,-3）;

②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則另一對(duì)角線是GC,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：

線段。2的中點(diǎn)坐標(biāo)為（空，空），即（詈*

線段GC的中點(diǎn)坐標(biāo)為小+XcYG+VC),即盧2,,m2-2m-3-3

122)22

此時(shí)。3的中點(diǎn)與GC的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，

1+3_m+0

22（m=4

；?2，解得1

t+0_m-2irr3-3[t=2

區(qū)"2

經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)四邊形。CBG為平行四邊形，此時(shí)G坐標(biāo)為（4,5）；

③當(dāng)。C為對(duì)角線時(shí)，則另一對(duì)角線是GB,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:

線段”的中點(diǎn)坐標(biāo)為空，空）’即號(hào)，掾）,

線段GB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（"G+XB*二生），即（型S,m2-2m-3+0

（22J〈22

此時(shí)的中點(diǎn)與GC的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，

T+0=m+3

22（m=_2

，9，解得4°，

t-3_m-ZirrS+C）[t=g

區(qū)"2

經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)四邊形。GC8為平行四邊形，此時(shí)G坐標(biāo)為（-2,1）；

綜上所述，G點(diǎn)坐標(biāo)存在，為（2,-3）或（4,5）或（-2,1）；

（4）連接AC,OP,如圖2所示：

設(shè)的解析式為：y=kx+m,

代入C(0,-3),M(1,-4)得「3-m,

l-4=k+iR

解得

lm=-3

二?MC的解析式為：y=-x-3,令y=0,貝］%=-3,

???E點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),

：?OE=OB=3,且OCLBE,

：.CE=CB,

：.NB=NE,

設(shè)P(x,-x-3),

又TP點(diǎn)在線段EC上，

???-3<x<0,

則EP=V(x+3)2+(-X-3)2=V2(x+3)，BC=V32+32=3V2?

由題意知：△2￡1(?相似△ABC,

分情況討論：

①△PEOSMBA,

.EO.EP

,,威武，

.3&(x+3)

?丁訴’

q2q

解得x=1—，滿足-3<xV0,此時(shí)P的坐標(biāo)為(--,—)；

444

②△PEOsxmc,

.E0EP

??而F，

.3V2(x+3)

??邙二

解得x=-1,滿足-3VxV0,此時(shí)尸的坐標(biāo)為(-1,-2).

綜上所述，尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(一得)或(-1,-2).

婁底25.如圖，點(diǎn)C在以A3為直徑的°上，BD平分NABC交。于點(diǎn)。，過。作的

垂線，垂足為E.

(1)求證：DE與。相切;

(2)若AB=5,5E=4,求的長(zhǎng);

（3）請(qǐng)用線段A3、BE表示CE長(zhǎng)，并說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）275;（3）CE=AB—BE,理由詳見解析

【詳解】解：（1）連OD,據(jù)題意得03=00,

ZODB=ZOBD,

平分NABC,

；?/CBD=N0BD,

：.ZCBD=ZODB,

：.OD//BC,

又DE上BC,

：.DEVOD,

:?DE與。相切.

/

4-——V—

（2）AB為。直徑可得：ZADB^90°,

據(jù)（1）NCBD=N0BD且ZDEB=90°,

」在DBE和△ABD中，

ZEBD=ZABD,ZDEB二ZADB,

*e?DBEsABD，

?*-BD2=ABBE>

又,/AB=5,BE=4,

；?BD=回=2#>.

（3）CE=AB-BE.

由/EBD=/ARD得CD=AD,

?/ZADB=90°,ZCED=90°,

/.CD2=AD2=AB2-BD2,

DE2=BD2-BE2>

CE2=CD2-DE2=AB2+BE2-2BD2=(AB-BE#,

由加DBE,RtABD得AB>BD>BE，

CE=AB~BE.

26.如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)4-3,0)、8(1,0)、C(0,3).

(1)求拋物線解析式；

(2)點(diǎn)P(見外是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)—3(加<0時(shí)，試確定相的值，使得B4c的面積

最大；

(3)拋物線上是否存在不同于點(diǎn)2的點(diǎn)。，滿足。/42—。02=6,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)_y=—%2—2%+3；(2)w=——；(3)。(―2,3)

【詳解】解：(1)據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),

將點(diǎn)C(0,3)代入，可得a=—1

；?拋物線的解析式為y=-爐-2x+3；

(2)設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,

0=-3k+b

將A(—3,0)、C(0,3)代入得.;,

3=o

解得k伏=1d

二直線AC的解析式：y=x+3,

當(dāng)—3<m<0時(shí)，點(diǎn)P(wi，M在直線AC上方,

過點(diǎn)尸作X軸的垂線與線段AC相交于點(diǎn)Q,

將x=m分另1J代入丁=—/一2尤+3和丁=X+3得尸一2m+3),Q(m,m+3),

PQ--m1-2m+3-(m+3)

=—m2—3m

(3丫9

=-m+—+—

I2)4

—3<m<0,

3

當(dāng)且僅當(dāng)a=—-時(shí)，PQ取得最大值，

2

13

此時(shí)SPAC=-PQxAO=-PQ最大，

._3

..m=—；

2

(3)由A(—3,0)、8(1,0)、C(0,3)得AB=4,O3=1,CO=3,

"C-0，ZCAO=45°.

-BC1=6,

連接BC,過B作AC的垂線交拋物線于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)H,

則ZAHB=90°,ZDBA=ZCAO=45°,

DA2-DC2=H^-HC2=BA2—BC?=6,

ZCAO=ZDBA,

/.3。與AC關(guān)于AB的垂直平分線對(duì)稱，即關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-l對(duì)稱,

，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，

又???C（0,3）,

.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2,3）.

邵陽(yáng)25.已知：如圖①，將一塊45。角的直角三角板。跖與正方形A3CD的一角重合，連接

AF，CE,點(diǎn)”是CE的中點(diǎn)，連接。暇.

（1）請(qǐng)你猜想AF與DM的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖②，把正方形ABCD繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)e角（0。＜。＜90°）.

①AE與DM的數(shù)量關(guān)系是否仍成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（溫馨提示:

延長(zhǎng)DM到點(diǎn)N,梗MN=DM,連接CN）

②求證：AF±DM；

③若旋轉(zhuǎn)角1=45°,旦/EDM=2ZMDC,求處的值.（可不寫過程，直接寫出結(jié)果）

ED

【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由見解析②見解析③#+屈

2

【詳解】（1）猜想AF與DM的數(shù)量關(guān)系是AF=2DM,

故答案為：AF=2DM；

(2)①AF=2DM仍然成立，

理由如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)N,使MN=DM,連接QV,

???M是CE中點(diǎn)，

.\CM=EM

又NCMN=NEMD,

.*.△MNC^AMDE

JCN二DE=DF,ZMNC=ZMDE

???CN〃DE,

又AD〃BC

JNNCB二NEDA

.,.△ADF^ADCN

???AF=DN

AAF=2DM

@VAADF^ADCN

:.ZNDC=ZFAD,

???ZCDA=90°,

???ZNDC+ZNDA=90°

???ZFAD+ZNDA=90°

AAFXDM

③???a=45。,

???ZEDC=90°-45°=45°

9：ZEDM=2ZMDC,

2

：.ZEDM=-ZEDC=30°,

3

ZAFD=30°

過A點(diǎn)作AG±FD的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，ZADG=90°-45°=45°

...AADG是等腰直角三角形，

設(shè)AG=k，則DG=k,AD=AG^sin45°=V2k,

FG=AG+tan30°=6k,

；.FD=ED=Gk-k

邵陽(yáng)26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊6C與無軸、y軸的交點(diǎn)分別為

C(8,0),B(0,6),CD=5,拋物線y=—/1+”。/0)過g,c兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。

開始以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DTbTBfC的方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)

N從點(diǎn)。以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿0。方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)后，立即返回，向CO方向

運(yùn)動(dòng)，到達(dá)。點(diǎn)后，又立即返回，依此在線段OC上反復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也

停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為九

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以點(diǎn)D,C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B,O,N為頂點(diǎn)

的三角形相似，求f的值;

(4)過點(diǎn)。與x軸平行的直線，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,將線段8A沿過點(diǎn)B的直線翻折,

點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為4,求A'Q+QN+DN的最小值.

【答案】(1)y=-x2-—x+6；(2)D(ll,4)；(3)"逅或"里；⑷V29+5.

"8425

【詳解】⑴將C(8,0),3(0,6)代入y=?x+c得

f15f3

64〃—--x8+c=0a=-

<4,解得彳8

c=61c=6

315

；?拋物線的解析式為：y=-x92-—x+6

84

(2)作。石，x于點(diǎn)E

?/C(8,0),5(0,6)

/.OC=8,OB=6

BC=10

,/ZBOC=ZBCD=/DEC

：.ABOCACED

,BCBOOC

''CD~CE~DE

：.CE=3,DE=4

：.OE=OC+CE=11

：.￡>(11,4)

(3)若點(diǎn)M在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DM=5t,ON=4t

當(dāng)ABON△COM,則也=色竺，即9=史不成立，舍去

CDDM55t

當(dāng)△物秘DC，則器噢,艮吟亭,解得一手

若點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CM=25-5t

當(dāng)ABONAMCD,貝|「絲="，即6ON

MCCD25-5t

6

ON=

5^7

當(dāng)3</W4時(shí)，ON=16-4t

??.《7=3