人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案：5 2 3 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE15.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).在根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究假設(shè)某商品的利潤(rùn)y是銷售量u的函數(shù)，銷售量u是銷售價(jià)格x的函數(shù)，且y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x，那么，不難看出，利潤(rùn)y是銷售價(jià)格x的函數(shù)，且有y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2，上式也可這樣得到f(g(x))＝60g(x)－〖g(x)〗2＝180x－9x2.問題1函數(shù)f(g(x))與f(x)和g(x)是什么關(guān)系？〖提示〗f(g(x))是f(x)與g(x)的復(fù)合函數(shù).問題2求f(u)＝60u－u2的導(dǎo)數(shù)f′(u)，u＝g(x)＝60－3x的導(dǎo)數(shù)u′＝g′(x).〖提示〗f′(u)＝60－2u＝60－2(60－3x)＝6x－60，u′＝g′(x)＝－3.問題3設(shè)y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并觀察f′(u)和u′＝g′(x)的關(guān)系.〖提示〗y(tǒng)′＝180－18x，易知y′＝f′(u)ux′.1.復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確地拆分復(fù)合函數(shù)是求導(dǎo)的前提一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.拓展深化〖微判斷〗1.函數(shù)f(x)＝ln(－2x＋1)是由y＝lnu與u＝－2x＋1復(fù)合而成的.(√)2.f(x)＝2x2－eq\f(1,x)是復(fù)合函數(shù).(×)〖提示〗f(x)不是復(fù)合函數(shù).3.設(shè)f(x)＝e－x，則f′(x)＝e－x.(×)〖提示〗f′(x)＝－e－x.〖微訓(xùn)練〗1.設(shè)f(x)＝ln(2x＋1)，則f′(x)＝()A.eq\f(1,2x＋1) B.eq\f(2,2x＋1)C.－eq\f(1,2x＋1) D.－eq\f(2,2x＋1)〖解析〗f′(x)＝〖ln(2x＋1)〗′(2x＋1)′＝eq\f(2,2x＋1).〖答案〗B2.設(shè)f(x)＝cos2x－3x，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A.－5 B.－3C.－4 D.－eq\f(3π,2)〖解析〗f′(x)＝－2sin2x－3，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－2sinπ－3＝－3.〖答案〗B3.曲線f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))處的切線的斜率是________.〖解析〗f′(x)＝－2e－2x＋3，f′(1)＝－2e，即k＝－2e.〖答案〗－2e〖微思考〗1.復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))，用中間變量y＝f(u)，u＝g(x)代換后求導(dǎo)的順序是什么？〖提示〗根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則yx′＝y(tǒng)u′·ux′，求導(dǎo)的順序是從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).2.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2x－ex))是由哪兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的？〖提示〗由y＝u－eq\f(1,2)和u＝2x－ex復(fù)合而成.題型一求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〖例1〗求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；(2)y＝log2(2x＋1)；(3)y＝e3x＋2；(4)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解(1)y＝(1－2x)－eq\f(1,2)，設(shè)y＝u－eq\f(1,2)，u＝1－2x，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(u－eq\f(1,2))′(1－2x)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)u－\f(3,2)))·(－2)＝(1－2x)－eq\f(3,2).(2)設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(log2u)′(2x＋1)′＝eq\f(1,uln2)·2＝eq\f(2,（2x＋1）ln2)即y′＝eq\f(2,（2x＋1）ln2)(3)設(shè)y＝eu，u＝3x＋2，則yx′＝y(tǒng)′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.(4)設(shè)y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(sinu)′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).規(guī)律方法(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟(2)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔.〖訓(xùn)練1〗求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；(3)y＝e－x·sin2x；(4)y＝eq\f(ln3x,ex).解(1)設(shè)y＝u4，u＝2x－1，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)設(shè)y＝10u，u＝2x＋3，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln10·2＝2·102x＋3·ln10＝102x＋3·ln100.(3)yx′＝(e－x)′sin2x＋e－x·(sin2x)′＝－e－xsin2x＋2e－xcos2x.(4)yx′＝eq\f(（ln3x）′·ex－ln3x·（ex）′,（ex）2)＝eq\f(\f(1,x)·ex－ln3x·ex,（ex）2)＝eq\f(1－xln3x,xex).題型二與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的切線問題〖例2〗求曲線y＝eq\r(3,3x2＋1)在點(diǎn)(1，eq\r(3,4))處的切線方程.解y′＝(eq\r(3,3x2＋1))′＝eq\f(1,3)(3x2＋1)－eq\f(2,3)·(3x2＋1)′＝eq\f(1,3)·eq\f(1,\r(3,（3x2＋1）2))·6x＝eq\f(2x,\r(3,（3x2＋1）2))，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝eq\f(1,\r(3,2))，∴切線的斜率為k＝eq\f(1,\r(3,2))，∴過點(diǎn)(1，eq\r(3,4))的切線方程為y－eq\r(3,4)＝eq\f(1,\r(3,2))(x－1)，即x－eq\r(3,2)y＋1＝0.規(guī)律方法解此類問題的關(guān)鍵有兩個(gè)：(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是正確解答的前提條件，要注意把復(fù)合函數(shù)逐層分解，求導(dǎo)時(shí)不要有遺漏.(2)求切線方程，注意切線所過的點(diǎn)是否為切點(diǎn).〖訓(xùn)練2〗已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線方程是________.〖解析〗設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex－1＋x.因此，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.〖答案〗2x－y＝0題型三復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合問題〖例3〗某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義.解設(shè)f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)，所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h).s′(18)表示當(dāng)t＝18h時(shí)，潮水的高度上升的速度為eq\f(π,8)m/h.規(guī)律方法將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體在某時(shí)刻的變化狀況.〖訓(xùn)練3〗已知某質(zhì)點(diǎn)的位移s與位移時(shí)間t滿足s＝tet－1，則質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為________.〖解析〗s′＝(t＋1)et－1，當(dāng)t＝1時(shí)，s′(1)＝2.〖答案〗2一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)處理好以下環(huán)節(jié)：(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；(2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次；(3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)；(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體；(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù).二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.設(shè)f(x)＝sin2x，則f′(x)＝()A.cos2x B.2cos2xC.－cos2x D.－2cos2x〖解析〗f′(x)＝(sin2x)′(2x′)＝2cos2x.〖答案〗B2.設(shè)f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，則f′(0)＝()A.1 B.eq\f(3,2)C.－1 D.－2〖解析〗f′(x)＝eq\f(3,3x＋2)－6x，故f′(0)＝eq\f(3,2)－0＝eq\f(3,2).〖答案〗B3.函數(shù)y＝eq\f(1,（3x－1）2)的導(dǎo)數(shù)y′＝________.〖解析〗y(tǒng)＝(3x－1)－2，設(shè)y＝u－2，u＝3x－1，yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(u－2)′·(3x－1)′＝－2u－3·3＝－6(3x－1)－3＝－eq\f(6,（3x－1）3).〖答案〗－eq\f(6,（3x－1）3)4.設(shè)曲線y＝eax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________.〖解析〗易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，故a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，則a＝2.〖答案〗25.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))sin3x＋cos3x，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))＝________.〖解析〗∵f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))sin3x＋cos3x，∴f′(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))·3cos3x－3sin3x，令x＝eq\f(π,9)可得f′eq\