湖南省長沙市湖南師大附中教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年七下期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022?2023學(xué)年度七年級第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，請先將自己的姓名、班級、考場號、座位號填寫清楚；2．必須在答卷上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時(shí)，請考生注意各大題號后面的答題提示；4．請注意卷面，保持字體工整、筆跡清晰、卷面清潔；5．答卷上不準(zhǔn)使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本試卷時(shí)量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、是無理數(shù)，符合題意；B、是有理數(shù)，不符合題意；C、是有理數(shù)，不符合題意；D、是有理數(shù)，不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)，解答的關(guān)鍵掌握無理數(shù)與有理數(shù)的概念：有理數(shù)包含整數(shù)和分?jǐn)?shù)、無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)．2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答．【詳解】解：點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)小于0，點(diǎn)在第三象限，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號特點(diǎn)分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．3.如圖，M、N、P、Q是數(shù)軸上的點(diǎn)，那么在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)可能是（）A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q【答案】A【解析】【分析】由，再結(jié)合數(shù)軸即可求解．【詳解】解：∵，∴觀察數(shù)軸，點(diǎn)M符合要求，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，確定的范圍是解題的關(guān)鍵．4.用四根火柴棒可擺成如圖所示的象形字“口”，平移此象形字火柴棒后，變成的象形字是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，采用排除法判斷正確結(jié)果．【詳解】解：原圖形平移后，水平的火柴頭應(yīng)在左邊，豎直的火柴頭應(yīng)是一上一下．只有C符合．故選：C．【點(diǎn)睛】本題利用了平移的基本性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀、大小和方向，只改變圖形的位置．5.如果，那么x的值是（）A.4 B.3或 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平方根的定義解方程即可．【詳解】，開平方得，解得或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方根的定義解方程，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．6.如圖所示，點(diǎn)在的延長線上，下列條件中能判斷的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)兩個(gè)角之間的關(guān)系；根據(jù)平行線的判定逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、與非同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，故不能判斷直線平行，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可判斷出，故本選項(xiàng)符合題意；C、，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可判斷出，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可判斷出，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．7.如圖，，O為垂足，那么C、D、O三點(diǎn)在同一條直線上，其理由是（）A.兩點(diǎn)之間線段最短B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行C.兩點(diǎn)確定一條直線D.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【解析】【分析】由垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，即可判斷．【詳解】，O為垂足，那么C、D、O三點(diǎn)在同一條直線上，其理由是：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．8.一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，則∠DBC的度數(shù)為()A.10° B.15° C.18° D.30°【答案】B【解析】【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠ABD=45°，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．9.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要著作《九章算術(shù)》中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)?物價(jià)各幾何？據(jù)此設(shè)計(jì)一類似問題：今有人組團(tuán)購一物，如果每人出9元，則多了4元；如果每人出6元，則少了5元，問組團(tuán)人數(shù)和物價(jià)各是多少？若設(shè)x人參與組團(tuán)，物價(jià)為y元，則以下列出的方程組正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)組團(tuán)人數(shù)為x人，物價(jià)為y元，根據(jù)等量關(guān)系“每人出9元，則多了4元；每人出6元，則少了5元”列出方程組即可．【詳解】設(shè)組團(tuán)人數(shù)為x人，物價(jià)為y元，由題意可得，．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)物價(jià)得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．10.如圖，已知，，且滿足，點(diǎn)在線段上，m、n滿足，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，連接交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)E，且，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖形由，可得，，再根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解.【詳解】解：∵，，∴，，∴，，如圖,由，∴，∵，連接，作軸于M，軸于F，∵，∴，即，∴，解得：，∵，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)(完全平方數(shù)和平方根)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將圖形中的線段的長度與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來，充分利用數(shù)形結(jié)合表示三角形的面積.二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11若，則_________．【答案】【解析】【分析】直接利用立方根的定義計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)數(shù)的立方根，掌握立方根的概念正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，﹣5）到y(tǒng)軸的距離是_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)的絕對值就是點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離求解即可．【詳解】點(diǎn)P（2，﹣5）到y(tǒng)軸的距離是2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，橫坐標(biāo)的絕對值就是點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，縱坐標(biāo)的絕對值就是點(diǎn)到x軸的距離，掌握坐標(biāo)的意義是解題的關(guān)鍵．13.如圖，兩條直線相交于點(diǎn)O，若，則____________度．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對頂角相等，以及，即可求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查了對頂角相等，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵．14.若，是關(guān)于、的二元一次方程的解，則_____．【答案】【解析】【分析】把代入二元一次方程中即可求的值．【詳解】把代入二元一次方程中，，解得．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了二元一次方程的解的知識點(diǎn)，運(yùn)算準(zhǔn)確是解決此題的關(guān)鍵．15.如圖是一條長方形紙片，已知，則_________．【答案】##度【解析】【分析】由題意可知，圖形由長方形紙條折疊得到，則折痕是角平分線，長方形的上下兩條邊互相平行，據(jù)此求解即可．【詳解】如圖：∵長方形紙條經(jīng)過折疊得到，∴，上下兩邊互相平行，∵∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，熟練地掌握平行線的性質(zhì)和是解題的關(guān)鍵．16.為了從2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有獎金蛋，檢查員將這些金蛋按1﹣2018的順序進(jìn)行標(biāo)號．第一次先取出編號為單數(shù)的金蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有有獎金蛋，他將剩下的金蛋在原來的位置上又按1﹣1009編了號（即原來的2號變?yōu)?號，原來的4號變?yōu)?號……原來的2018號變?yōu)?009號），又從中取出新的編號為單數(shù)的金蛋進(jìn)行檢驗(yàn)，仍沒有發(fā)現(xiàn)有獎金蛋……如此下去，檢查到最后一枚金蛋才是有獎金蛋，問這枚有獎金蛋最初的編號是_____．【答案】1024【解析】【詳解】分析：根據(jù)題意可得每次挑選都是去掉偶數(shù)，進(jìn)而得出需要挑選的總次數(shù)進(jìn)而得出答案．詳解：∵將這些金蛋按1﹣2018的順序進(jìn)行標(biāo)號，第一次先取出編號為單數(shù)的金蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有有獎金蛋，∴剩余的數(shù)字都是偶數(shù)，是2的倍數(shù)，；∵他將剩下的金蛋在原來的位置上又按1﹣1009編了號，又從中取出新編號為單數(shù)的金蛋進(jìn)行檢驗(yàn)，仍沒有發(fā)現(xiàn)有獎金蛋，∴剩余的數(shù)字為4的倍數(shù)，以此類推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1共經(jīng)歷10次重新編號，故最后剩余的數(shù)字為：210=1024．故答案為1024．點(diǎn)睛：此題主要考查了推理與論證，正確得出挑選金蛋的規(guī)律進(jìn)而得出挑選的次數(shù)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共9小題，17，18，19每小題6分，20，21每小題8分，22，23每小題9分，24，25每小題10分，共72分）17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)乘方運(yùn)算、絕對值的意義，算術(shù)平方根的運(yùn)算化簡，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18.解方程組：．【答案】【解析】【分析】直接利用代入消元法解二元一次方程組即可．【詳解】由①式得，代入②式得，解得，將代入①式，得，得，∴原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了代入消元法解二元一次方程組，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19.已知的立方根是，的算術(shù)平方根是，是的整數(shù)部分．（1）求，，的值；（2）求平方根．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根以及估算無理數(shù)的大小即可求，，的值；（2）將，，的值代入求出結(jié)果，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行解答即可．【小問1詳解】解：∵的立方根是，的算術(shù)平方根是，∴，，∴，，∵，是的整數(shù)部分，∴，∴，，的值是：，，；【小問2詳解】∵，，，∴，∴的平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查立方根、平方根、算術(shù)平方根以及無理數(shù)的估算，求代數(shù)式的值．理解立方根、平方根、算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．20.已知：如圖，，且平分，．求證：．請完善證明過程，并在括號內(nèi)填上相應(yīng)依據(jù)．證明：∵平分（已知），∴________=________（角平分線的定義）．又∵（已知），∴（等量代換），∴________________（________________________）．∵（已知），∴________（________________________），∴（________________________），∴（垂直的定義）．【答案】；；；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；；垂直的定義；兩直線平行，同位角相等【解析】【分析】利用角平分線的意義得出，結(jié)合已知條件，繼而求出，根據(jù)平行線的判定即可證明，再根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)證明即可．【詳解】證明：∵平分（已知），∴（角平分線的定義）．又∵（已知），∴（等量代換），∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∵（已知），∴（垂直的定義）∴（兩直線平行，同位角相等）∴（垂直的定義）．故答案為：；；；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；；垂直的定義；兩直線平行，同位角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，，．（1）求證：；（2）若，平分，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，結(jié)合已知條件可得，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可證明兩直線平行；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】證明：∵，∴，又∵，∴，∴．【小問2詳解】∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的意義，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．將三角形向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，可以得到三角形，其中點(diǎn)、、分別與點(diǎn)、、對應(yīng)．（1）畫出平移后的三角形，并直接寫出、、三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求三角形的面積；（3）已知點(diǎn)在軸上，以、、為頂點(diǎn)的三角形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）圖見解析，，，（2）（3）或【解析】【分析】（1）將的三個(gè)頂點(diǎn)、、分別向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到對應(yīng)點(diǎn)、、，再首尾順次連接即可，根據(jù)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的位置寫出坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)梯形面積減去兩個(gè)三角形的面積即可求解；（3）利用三角形的面積公式并結(jié)合點(diǎn)到軸的距離求出的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：如圖所示，∵三角形向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到三角形，∴將點(diǎn)、、分別向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到對應(yīng)點(diǎn)、、，連接、、．則即為所作．根據(jù)圖形可知，，，．【小問2詳解】記，，則．【小問3詳解】∵以、、為頂點(diǎn)的三角形面積為，∴，，∵，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—平移變換，三角形的面積，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，兩點(diǎn)間的距離等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出平移后的對應(yīng)點(diǎn)．23.某中學(xué)七年級（1）班去體育用品商店買一些籃球和排球，供班上同學(xué)進(jìn)行體育鍛煉時(shí)使用，共買了2個(gè)籃球和6個(gè)排球，花元，并且每個(gè)排球比籃球便宜元．（1）求籃球和排球的單價(jià)各是多少；（2）商店里搞活動，有兩種套餐，①套餐打折：五個(gè)籃球和五個(gè)排球?yàn)橐惶撞?，套餐打八折；②滿減活動：滿減，滿減；兩種活動不重復(fù)參與，學(xué)校打算購買個(gè)籃球，個(gè)排球，請問如何安排更劃算？【答案】（1）籃球每個(gè)元，排球每個(gè)元；（2）選用套餐①購買更劃算，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)籃球單價(jià)為每個(gè)元，排球單價(jià)為每個(gè)元，根據(jù)買了2個(gè)籃球和6個(gè)排球，花元，并且每個(gè)排球比籃球便宜元，列方程組求解即可得到答案；（2）分別計(jì)算兩種活動方案費(fèi)用比較即可得到答案；【小問1詳解】解：設(shè)籃球單價(jià)為每個(gè)元，排球單價(jià)為每個(gè)元，由題意可得，解方程組得，答：籃球每個(gè)元，排球每個(gè)元；【小問2詳解】解：若按照①套餐打折購買費(fèi)用：（元），若參加②滿減活動購買費(fèi)用為：（元），又，所以（元）．而，所以選擇套餐①所花費(fèi)用比選擇套餐②所花費(fèi)用低．答：選用套餐①購買更劃算．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組解決實(shí)際應(yīng)用問題及擇優(yōu)方案問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式．24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知不同的兩點(diǎn)，，若，則稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q互為k倍點(diǎn)；（1）已知點(diǎn)，點(diǎn)C在一條平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)的直線上，它與點(diǎn)A互為倍點(diǎn)，求點(diǎn)C；（2）已知點(diǎn)，對于任意實(shí)數(shù)k，是否存在x軸上的點(diǎn)D，使得它與點(diǎn)B互為k倍點(diǎn)，若存在，請求出點(diǎn)D的個(gè)數(shù)，若不存在，請說明理由；（3）已知兩點(diǎn)，，若點(diǎn)M與點(diǎn)N互為k倍點(diǎn)，且都在x軸下方，將線段向右平移k個(gè)單位長度，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，平移后點(diǎn)H到x軸的距離為2，四邊形的面積為，求點(diǎn)M與點(diǎn)N．【答案】（1）點(diǎn)或（2）當(dāng)時(shí)，軸上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)互為倍點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，軸上不存在點(diǎn)與點(diǎn)互為倍點(diǎn)（3），【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)點(diǎn)，則有，然后問題可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，若存在點(diǎn)與點(diǎn)互為倍點(diǎn)，則，然后可分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，進(jìn)而分類求解即可；（3）由題意易得，，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)題中所給定義可進(jìn)行求解．【小問1詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，則有，即，∴或，∴點(diǎn)或．【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，若存在點(diǎn)與點(diǎn)互為倍點(diǎn)，則．當(dāng)時(shí)，上式總是成立，有為任意實(shí)數(shù)且，∴此時(shí)存