流體流動數(shù)值模擬

流體流動現(xiàn)象普遍存在于自然界及多種工程領(lǐng)域中。所有這些流動過程都遵循質(zhì)量守

恒、動量守恒、能量守恒和組分守恒等基本物理定律；而且流動若處于湍流狀態(tài)，則該流動

系統(tǒng)還要遵守附加的湍流輸運方程。本講座將依據(jù)流體運動的特性闡述計算流體動力學的相

關(guān)基礎(chǔ)知識及任務(wù)；在流體運動所遵循的守恒定律及其數(shù)學描述的基礎(chǔ)上，介紹數(shù)值求解這

些基本方程的思想及其求解過程。

第一節(jié)計算流體動力學概述

計算流體動力學（CFD）技術(shù)用于流體機械內(nèi)部流動分析及其性能預(yù)測，具有成本低，

效率高，方便、快捷用時少等優(yōu)點。近年來隨著計算流體力學和計算流體動力學及計算機技

術(shù)的發(fā)展，CFD技術(shù)已成為解決各種流體運動和傳熱，以及場問題的強有力、有效的工具，

廣泛應(yīng)用于水利、水電，航運，海洋，冶金，化工，建筑，環(huán)境，航空航天及流體機械與流

體工程等科學領(lǐng)域。利用數(shù)值計算模擬的方法對流體機械的內(nèi)部流動進行全三維整機流場模

擬，進而進行性能預(yù)測的方法越來越廣泛地被從事流體機械及產(chǎn)品性能取決于各種場特性的

設(shè)計、科研等科技人員所使用；過去只有通過實驗才能獲得的某些結(jié)果或結(jié)論，現(xiàn)在完全可

借助CFD模擬的手段來準確地獲取。這不僅既可以節(jié)省實驗資源,還可以顯示從實驗中不能

得到的許多場特性的細節(jié)信息。

一、什么是計算流體動力學

計算流體動力學（ComputationalFluidDynamicsr簡稱CFD）是通過計算機數(shù)值計算和

圖像顯示，對包含流體流動和有熱傳導(dǎo)等相關(guān)物理現(xiàn)象的系統(tǒng)所做的分析。CFD的基本思

想可以歸結(jié)為：把原來在時間域及空間域上連續(xù)的物理場（如速度場和壓力場，以及熱力場

等），用一系列有限個離散點上變量值的集合來代替；并通過一定的原則和規(guī)律建立起關(guān)于

這些離散點上的場變量之間關(guān)系，從而組成這些場變量之間關(guān)系的代數(shù)方程組；然后求解這

種代數(shù)方程組，來獲得這些場變量的近似值山3］；這就是流動的數(shù)值計算?；蛘咧庇^地說，

通過數(shù)值計算中的各種離散方法，把描述連續(xù)流體運動的控制偏微分方程離散成代數(shù)方程

組，由此建立該流動的數(shù)值模型；再根據(jù)問題的具體情況，設(shè)定邊界條件和初始條件封閉方

程組；然后通過計算機數(shù)值計算求解這種代數(shù)方程組，從而獲得描述該流場場變量的某些運

動參數(shù)的數(shù)值解。

計算流體動力學是在經(jīng)典流體力學、數(shù)值計算理論、計算方法，以及計算機科學與技術(shù)

的基礎(chǔ)上建立和發(fā)展起來的多學科、多領(lǐng)域交叉的流體力學中的一個新分支；或可以說是一

門新學科。他將科學的理論知識與實際工程計算緊密地結(jié)合在了一起，是我們流體機械及流

體工程學科和工程領(lǐng)域中目前科學研究與工程計算、分析或設(shè)計的高質(zhì)、高效，短周期、低

費用的強有力不可或缺的重要工具。

所謂CFD,從實質(zhì)上講就是對流體運動狀態(tài)的一種分析方法；可以被看作是對在流動

基本方程（質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程、能量守恒方程）控制下的流動進行數(shù)值模擬描述的

一種方法。通過這種數(shù)值模擬，我們可以獲得復(fù)雜流場內(nèi)各個位置上的基本物理量（如速度、

壓力、溫度、濃度等）的分布及其隨時間的變化情況。據(jù)此可以描述出其流動的特征，如旋

渦分布、空化特性及脫流區(qū)等；還可以計算出其它相關(guān)的物理量，如對于旋轉(zhuǎn)流體機械的轉(zhuǎn)

矩、水力損失、效率和空蝕系數(shù)等。此外，結(jié)合CAD還可以進行結(jié)構(gòu)上的優(yōu)化和可靠性設(shè)

計等。

CFD方法與傳統(tǒng)的理論分析方法、實驗測量方法組成了研究流體運動問題的完整體系，

三者之間的互補關(guān)系如圖1所示。

圖1研究流動的三種方法互補關(guān)系示意圖

理論分析方法的優(yōu)點在于所得結(jié)果具有普遍性和一定準確性，各種影響因素清晰可見，

是指導(dǎo)實驗研究和驗證數(shù)值計算方法正確與否及其計算精確度的基礎(chǔ)。但是，它往往需要對

計算對象進行抽象和簡化，且只有對較簡單的流動問題才可能得出理論上的解析解；對于復(fù)

雜的特別是非線性的問題，很難求解。因此，對存在于自然界和實際工程中的流動問題，只

有其中的極少數(shù)才能給出解析結(jié)果。

實驗測量方法所得到的實測結(jié)果一般真實可信，它是對理論分析和數(shù)值計算結(jié)果的驗證

依據(jù)。然而，實驗往往受到試驗條件（如模型尺寸、形狀，流場擾動和測量精度等）的影響

和限制，有時也很難得到很準確的結(jié)果。此外，實驗還會遇到人力和物力的巨大耗費而受到

經(jīng)費投入及周期長等許多因素的制約。

而CFD方法恰好克服了前面兩種方法的弱點，它是在計算機上實現(xiàn)對某一流動系統(tǒng)或

某一流動現(xiàn)象的一個特定的計算。這個特定的計算，就是用數(shù)值的方法所作的近似計算，即

通過數(shù)值求解各種簡化的或非簡化的流體動力學基本方程，以獲得流動在各種條件下的狀態(tài)

參數(shù)和作用在形成流道的邊壁或繞流物上的力或力矩等數(shù)據(jù)，以及流場的分布與流動的狀態(tài)

等。這種計算就好像在計算機上做一次物理實驗。例如，機翼的繞流，通過計算并將其結(jié)果

在屏幕上顯示，就可以看到流場分布的各種細節(jié)，如激波的運動及其強度，渦的生成與傳播,

流動的分離及其表面的壓力分布、受力的大小及其隨時間的變化等。數(shù)值模擬實質(zhì)上就是在

計算機上進行的數(shù)值試驗，可以形象地再現(xiàn)流動的場景。在本質(zhì)上講，與做物理實體實驗沒

有什么區(qū)別。

與實驗方法相比，其突出的優(yōu)點是：

1、CFD方法所需要的設(shè)備與條件只是計算機和相應(yīng)的CFD軟件，因而，所需花費與

損耗小，試驗與產(chǎn)品開發(fā)周期短；

2、在計算機上可以方便地任意改變流場中固體結(jié)構(gòu)件的形狀和尺寸以及流動條件，即

可馬上進行計算，且流場不受試驗裝置與測試儀器儀表的干擾。即很容易實現(xiàn)各種條件下的

流動計算，目保持了流場的原態(tài)；

3、可定量地刻畫、詳細地描述出流動隨時間的變化以及總體流場與局部細節(jié)，并能定

量地給出各種物理量的物性參數(shù)值；同時，還可隨意進行流場的重構(gòu)和分析、診斷，等。

二、流體動力學計算的基本內(nèi)容和步驟

所有流動或流場的計算與模擬工作，首先都應(yīng)根據(jù)所要求解的物理問題及預(yù)期目標擬定

出合理、周密的技術(shù)路線與求解方案，以保證順利地實現(xiàn)意圖，達到預(yù)期的目的。為此，在

擬定流場數(shù)值模擬求解方案時，主要應(yīng)考慮如何選定以下一些必須解決的問題：

1、物理模型的流型：根據(jù)所要研究的問題，分析該流動是可壓縮流還不可壓縮流，是

有粘流動還是無粘流動，是層流還是湍流，流動是穩(wěn)態(tài)還是瞬態(tài)？由此確定該流動的流型；

2、CFD方法的模型目標：即確定要建立什么樣的CFD計算模型，并要從該模型中獲

得怎樣的模擬結(jié)果？獲取這些結(jié)果的使用目的，由此確定計算模型是按二維還是三維構(gòu)造及

需要什么樣的計算精度；

3、計算域的確定：根據(jù)確定的流型和計算模型，分析該問題的流動特征是否對稱或存

在回流與尾跡流或射流，即考慮對于該問題計算域是否需要外延，或取其一部分；

4、網(wǎng)格的類型及其劃分方式：即根據(jù)物理模型和計算域決定是采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格還是非結(jié)

構(gòu)網(wǎng)格，以及其單元體的選擇與劃分方式的確定；網(wǎng)格劃分的合適與否，即網(wǎng)格劃分的質(zhì)量

對流動計算的精度和穩(wěn)定性有重大影響。網(wǎng)格的質(zhì)量內(nèi)容包括：節(jié)點的分布情況（密集度和

聚集度）光滑型與正交性，等。而且有限體積法的突出優(yōu)點是其計算效率高，因而，目前它

在CFD領(lǐng)域中得到了廣泛地應(yīng)用，大多數(shù)CFD商用軟件，包括FLUENT在內(nèi)，都使用有

限體積法編制的。

5、計算方法與求解過程的選擇與確定：

6、湍流模型的選擇與確定：兩方程模型中有三種常用模型，即

1）、標準4模型;

2）、RNG女-￡模型（重整化群模型）；和

3）、Realizable攵-￡模型

7、離散方法與格式的選擇與確定：離散包括兩部分內(nèi)容，即計算域空間的離散和控制

方程與湍流模型在網(wǎng)格節(jié)點上的離散兩個部分；離散的方法根據(jù)因變量在節(jié)點之間分布的假

設(shè)及推導(dǎo)離散方程的方法不同而不同；有有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）、有限體積

法（FVM）,等等。

8、定解條件（邊界條件與初始條件）的確定；

9、求解器的選擇。

在考慮并確定上述的九個主要問題時，既要考慮計算資源的硬件條件實現(xiàn)的可能性，又

應(yīng)考慮計算結(jié)果精度與計算所需機時的經(jīng)濟性來綜合決定

采用CFD的方法對流體的運動進行數(shù)值模擬，通常包括以下的內(nèi)容與步驟：

1、建立反映工程或物理問題本質(zhì)的數(shù)學模型

所謂建立數(shù)學模型，具體地說就是要建立能完善、準確地反映問題各個物理量之間關(guān)系

的微分方程及其相應(yīng)的定解條件；流體運動的基本控制方程通常包括質(zhì)量守恒方程、動量守

恒方程、能量守恒方程。沒有較準確、完善的數(shù)學模型，數(shù)值模擬就毫無意義；這是數(shù)值模

擬的基本出發(fā)點與最基本的要求。

2、尋求并采用高精度、高效率的計算方法

尋求高精度、高效率的計算方法是為獲得滿意的計算結(jié)果奠定基礎(chǔ)。這里所說的計算方

法，不僅包括選用針對性較強、精度高的控制微分方程的離散化方法（如有限差分、有限元、

有限體積等方法）和求解的方法；還包括貼體坐標系的建立，邊界條件的處理等。這是CFD

模擬計算中的核心與關(guān)鍵的內(nèi)容和步驟。

3、編制程序和進行計算

這部分工作包括計算網(wǎng)格的劃分、初始條件和邊界條件、控制參數(shù)的設(shè)定以及具體的計

算等。這是整個CFD模擬計算中最繁雜、最費時的工作內(nèi)容和過程。由于Navier-Stokes方

程就是一個十分復(fù)雜的非線性方程，數(shù)值求解的方法在理論上也不是絕對完善的，所以還需

要通過實驗加以驗證。正是從這個意義上講，數(shù)值模擬又叫作數(shù)值試驗。應(yīng)該指出，這部分

工作不是輕而易舉就可以完成的，需要耐心細致地反復(fù)修改和調(diào)整的過程。

4、顯示計算結(jié)果。計算結(jié)果一般是通過各種圖形、圖表或曲線等方式顯示，這對檢查

和分析計算結(jié)果及其計算質(zhì)量具有直接的作用和重要的參考價值。

以上這些內(nèi)容與步驟構(gòu)成了CFD數(shù)值模擬的全過程；其中數(shù)學模型的建立屬于基礎(chǔ)理

論研究性的課題。

三、計算流體動力學的特點

CFD的長處是適應(yīng)性強、應(yīng)用面廣。首先，流動問題的控制方程一般是非線性的，且

自變量多，計算域的幾何形狀和邊界條件復(fù)雜，很難求得解析解；而用CFD方法則有可能

找出滿足工程需要的數(shù)值解。其次，可以利用計算機進行各種數(shù)值試驗，例如，選擇不同流

動參數(shù)進行物理方程中各項有效性和敏感性的試驗，從而進行方案比較。再者，它不受物理

模型和實驗?zāi)Ｐ偷南拗?，省錢、省時，有較大的靈活性，能給出流動的詳細而完整的資料和

信息，并能很容易地模擬特殊尺寸、高溫、有毒、易燃等真實條件和物理實驗中只能接近而

無法達到的理想條件。

但CFD也存在著一定的缺陷或局限性。首先，數(shù)值解法是一種離散的、近似的計算方

法，依賴于物理上的合理性、數(shù)學上的適用性；而且，適合于在計算機上進行離散與計算的

數(shù)學模型有限；同時，又不能提供任何連續(xù)的解析表達式形式的最終計算結(jié)果，而只能是有

限個離散點上的數(shù)值解，且有一定的計算誤差；第二，它不像物理模型實驗?zāi)菢?，一開始就

能給出流動的各種現(xiàn)象和定性地描述，往往需要由原體觀測或物理模型試驗提供某些流動參

數(shù)，并需要對建立的數(shù)學模型進行驗證；第三，程序的編制及資料的收集、整理與正確地利

用，在很大程度上要依賴于經(jīng)驗與技巧。此外，由于數(shù)值處理方法等原因，有可能導(dǎo)致計算

結(jié)果的不真實（例如產(chǎn)生數(shù)值粘性和頻散等偽物理效應(yīng)），以及由于CFD涉及巨大數(shù)量的迭

代計算過程，而需要較高的計算機軟硬件配置等。

當然，在上述的這些缺陷或局限性中，有些可采用相應(yīng)的方法加以克服或彌補。這在相

關(guān)的文獻中有相應(yīng)的介紹。

數(shù)值計算與理論分析、實驗觀測相互聯(lián)系、相互促進；但不能完全替代，三者各有各的

優(yōu)勢和適用場合。CFD方法有其自己的原理、方法和特點，在實際使用中要注意三者的有

機結(jié)合，使其優(yōu)勢、長處互補。

四、計算流體動力學的應(yīng)用領(lǐng)域

近些年來，CFD有了很大的發(fā)展，替代了經(jīng)典流體力學中的一些近似計算方法和圖解

法。過去的一些典型教學實驗，如Reynolds實驗，現(xiàn)在完全可以借助CFD手段在計算機上

實現(xiàn)。計算流體動力學的應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛，所有涉及流體的流動、熱交換、分子輸運等現(xiàn)

象的問題，幾乎都可以通過計算流體動力學的方法進行分析和模擬。目前，CFD的方法不

僅可作為一種分析、研究問題的工具，而且還可作為設(shè)計工具在熱能與動力工程、水利水電

工程、石油化工與流體輸運工程、船舶工程、海洋工程、環(huán)境工程、食品工程、土木工程以

及工業(yè)制造等領(lǐng)域中正發(fā)揮著巨大的作用。其主要的應(yīng)用領(lǐng)域及所涉及的相關(guān)工程問題包

括：

鍋爐中燃燒的計算；

換熱片的換熱計算與形狀的選取，以及換熱器整體性能的分析與預(yù)測；

水輪機、泵與風機等流體機械的內(nèi)部流動問題及其內(nèi)特性的研究；

飛機和航天飛行器等的設(shè)計；

船舶、魚雷等水中航行器的外形設(shè)計；

河、渠流中的水能計算；

洪水波及河口的潮流計算；

河流中污染物的擴散；

油、氣以及石油化工物品等的管道輸送；

電子元器件的冷卻；

室溫、室內(nèi)濕度及其空氣流通的計算與調(diào)節(jié)，以及其環(huán)境的分析；

汽車尾氣對街道環(huán)境的污染；

食品中細菌的運移；

風載荷對高層建筑物穩(wěn)定性及其結(jié)構(gòu)性能的影響；

汽車的外型的設(shè)計及其對性能影響的分析；等等。

對這些問題的分析與處理，過去主要借助于理論分析和反復(fù)大量的物理模型實驗的驗

證；而現(xiàn)在大多采用CFD的方法加以分析和解決。CFD技術(shù)現(xiàn)已發(fā)展到了完全可以對粘性

湍流及旋渦運動等復(fù)雜的流動與傳熱問題進行三維的分析與計算的程度。

五、計算流體動力學的計算方法

經(jīng)過四十多年的發(fā)展，CFD出現(xiàn)了多種數(shù)值解法。這些方法之間的主要區(qū)別在于對控

制方程的離散方式。根據(jù)離散的原理不同，CFD的計算方法大體上主要分為三種：

有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)

有限元法(FiniteElementMethod,FEM)

有限體積法(FiniteVolumeMethod,FVM)

有限差分法是應(yīng)用得最早、最經(jīng)典的CFD計算方法。它將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用

有限的網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域，然后將偏微分方程的導(dǎo)數(shù)用差商來代替，推導(dǎo)出含有離

散點(即網(wǎng)格的節(jié)點)上有限個未知數(shù)的差分方程組。求出差分方程組的解，就作為描述這個

連續(xù)求解域內(nèi)定解問題的偏微分方程的數(shù)值(近似)解。它是一種直接將微分問題變換為代

數(shù)問題的數(shù)值近似解法。這種方法發(fā)展較早，比較成熟，較多地用于求解雙曲型和拋物型問

題。在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的方法有PIC(Particle-in-CeH)法、MAC(Marker-and-Cell)法，以

及由美籍華人學者陳景仁提出的有限分析法(FiniteAnalyticMethod)等。

有限元法是20世紀80年代開始應(yīng)用的一種數(shù)值解法，它吸收了有限差分法的離散處理

思路，又采用了變分計算中選擇逼近函數(shù)對區(qū)域進行積分的方法。所以，采用有限元法，特

別是在用其求解非定常流動問題時，每一步都要解大型代數(shù)方程組，計算工作量大，其求解

速度較有限差分法和有限體積法慢，且占用計算機內(nèi)存大。因此應(yīng)用不是特別廣泛。在有限

元法的基礎(chǔ)上，英國CA.Brebbia等提出了邊界元法和混合元法等方法。

有限體積法首先是將計算區(qū)域劃分為一系列的控制體積，其離散方程的建立，是將待求

解的微分方程通過對每一個控制體的積分而得出離散方程的。用有限體積法導(dǎo)出的離散方程

可以保證流動具有守恒特性，而且離散方程中的系數(shù)物理意義明確，其計算量也相對較小。

但有限體積法的關(guān)鍵是在于其導(dǎo)出離散方程的過程，即在推導(dǎo)過程中需要先對界面上的被求

函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)的分布作出某種形式的假定。1980年，S.V.Patanker在其專著《Numerical

HeatTransferandFluidFlow^中對有限體積法作了全面的闡述。此后，該方法得到了廣泛

應(yīng)用，是目前CFD軟件中應(yīng)用得最為普遍的一種方法。當然，對這種方法的研究和擴展也

在不斷地進行著，如P.Chow提出了適用于任意多邊形非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的擴展有限體積法。

目前大多數(shù)CFD商用軟件都是采用有限體積法編制的。

第二節(jié)流體機械內(nèi)部流動數(shù)值計算概述

何為流動的數(shù)值計算？

所謂流動的數(shù)值計算，就是通過數(shù)值計算中的各種離散化的方法，把描述連續(xù)流體介質(zhì)

運動的控制方程（數(shù)學模型）離散成代數(shù)方程組，從而建立起各種數(shù)值計算的數(shù)學模型，再

根據(jù)具體問題，給定初始條件和邊界條件；然后通過計算機進行數(shù)值計算或數(shù)值試驗，得到

定量描述該流動的流場數(shù)值解。這就是流動的數(shù)值計算?；蛘咧庇^地說，就是通過各種離散

化的方法，把描述連續(xù)流體運動的偏微分控制方程離散成代數(shù)方程組，以此建立起該運動的

數(shù)值模型，并通過計算機進行數(shù)值計算，從而獲得描述流場的運動參數(shù)的定量數(shù)值解。

對流體機械內(nèi)部流動進行數(shù)值計算的目的和意義：了解和掌握所計算的工況下其內(nèi)部流

動的狀況和流態(tài)，為進一步改進設(shè)計和改善與提高其性能提供依據(jù)。

所謂CFD,從實質(zhì)上講就是對流體運動狀態(tài)的一種分析方法；可以被看作是對在流動

基本方程（質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程、能量守恒方程）控制下的流動進行數(shù)值模擬描述的

一種方法。通過這種數(shù)值模擬，我們可以獲得復(fù)雜流場內(nèi)各個位置上的基本物理量（如速度、

壓力、溫度、濃度等）的分布及其隨時間的變化情況。據(jù)此可以描述出其流動的特征，如旋

渦分布、空化特性及脫流區(qū)等；還可以計算出其它相關(guān)的物理量，如對于旋轉(zhuǎn)流體機械的轉(zhuǎn)

矩、水力損失、效率和空蝕系數(shù)等。此外，結(jié)合CAD還可以進行結(jié)構(gòu)上的優(yōu)化和可靠性設(shè)

計等。

一、流體機械內(nèi)部流動數(shù)值計算的基本出發(fā)點

由于流動的復(fù)雜性和直接求解三維流動的困難性，流體機械內(nèi)部流動數(shù)值計算的基本出

發(fā)點是：

1、將復(fù)雜和難于計算的三維流動降維

所謂降維即是將三維的問題降為二維的來計算或?qū)⒍S的問題降為一維的來計算。

如對葉（轉(zhuǎn)）輪內(nèi)部流動的數(shù)值計算，就是將其內(nèi)部復(fù)雜的三維流動化為Si（回轉(zhuǎn)）流

面和S2（子午）流面內(nèi)的兩個二維流動來求解的；由于這兩個二維流動共同描述的是同一個

復(fù)雜的三維流動，是人為地將其分解為兩個二維流動，所以這兩個流面上的二維流動是相互

關(guān)聯(lián)的。如回轉(zhuǎn)面Si的形狀、位置和流層的厚度將由子午面S2上的流動計算來確定（在子

午面上常采用勢流計算來確定S1流面的位置）；而子午面上流動計算所需的速度Wo、Wm

和液流角B等值又需要在回轉(zhuǎn)面的流動計算中來求得和提供（在回轉(zhuǎn)的Si流面上一般采用

湍流計算來確定出S2流面計算所需要的參數(shù)。）。因此，計算中須將這兩個二維流動相互迭

代計算，不斷相互修正、調(diào)整進行，才能達到收斂，得到其準三維解。如采用邊界元法，可

直接進行降維計算，這是它的最大優(yōu)點。邊界元法是將全計算域的計算化為了只在區(qū)域邊界

上的計算，這就使得計算的維數(shù)減少了一維。

2、簡化描述流動的基本控制方程；

所謂簡化流動的基本控制方程，即依據(jù)某一具體流動，從流體運動連續(xù)方程、歐拉（Euler）

運動微分方程、納維一斯托克司（Navier-Stokes）方程出發(fā)，推導(dǎo)出描述該流動的更直接、

更簡明和便于求解的實用控制方程。

二、流體機械內(nèi)部流場數(shù)值計算中常用的主要方法

目前對湍流的瞬時運動控制方程（N-S方程）的求解，有直接求解的數(shù)值模擬方法以

及非直接數(shù)值模擬法的雷諾平均法和大渦模擬法等。

所謂直接解法。就是直接求解瞬時湍流控制方程。其優(yōu)點是：無需對湍流運動作任何近

似或簡化，可以得到理論上的準確解或計算結(jié)果；但目前其只能求解一些簡單流動；對于稍

復(fù)雜的湍流流動（存在兩方面的困難）就無能為力了。

而非直接模擬，就是不直接計算湍流的脈動特性，而是設(shè)法對流動做出某種程度的近似

和簡化處理后再進行數(shù)值計算。并且依據(jù)所采用的近似和簡化方法的不同，非直接的數(shù)值模

擬又分為大渦模擬法和統(tǒng)計平均法與雷諾（Reynolds）平均法。

雷諾（Reynolds）平均法

雷諾（Reynolds）平均法的核心不是直接求解瞬時的Navier-Stokes方程，而是設(shè)法將其

瞬態(tài)的脈動量通過某種表達式（模型）在時均化的Navier-Stokes方程中表現(xiàn)出來，從而求解

時均化的Reynolds方程。這樣，不僅可以避免DNS方法的計算困難和計算工作量大的問題；

而且完全可以滿足工程實際的精度要求，并可以取得良好的效果。

在N—S方程的雷諾(Reynolds)平均解法中，脈動部分對平均運動的貢獻(影響)是

通過雷諾應(yīng)力項來?；?；依據(jù)對雷諾應(yīng)力?；绞降牟煌?，模化又分為雷諾應(yīng)力模式和渦

粘模式兩類。由于雷諾應(yīng)力模式計算量很大，受到計算條件的約束和限制，應(yīng)用范圍較窄。

因此，目前在湍流工程中得到廣泛應(yīng)用的是渦粘模式。

大渦模擬法(LES)

我們知道，湍流包含有一系列大大小小的渦團，渦的尺度范圍相當寬廣。為了模擬湍流

流動，我們總是希望計算網(wǎng)格的尺度小到足以分辨最小渦的運動；然而，就目前的計算機能

力來講，能夠采用的計算網(wǎng)格的最小尺度仍比最小渦的尺度大許多。

由于流動系統(tǒng)中的質(zhì)量、動量、能量和其它物理量的輸運，主要是由與所求解問題密切

相關(guān)的大尺度渦來實現(xiàn)的；而小尺度渦趨向于各向同性，其運動具有共性，又小尺度渦不像

大尺度渦那樣與所求解的特定問題密切相關(guān)，且?guī)缀醪皇軒缀渭斑吔鐥l件的影響；又包括脈

動在內(nèi)的湍流瞬時運動也必須遵循動量守恒的規(guī)律，即流動的描述也服從N—S方程；而N

—S方程本身本來就是封閉的，就其本身求解而言，本來就不需要補充方程或再建立什么模

型。由此產(chǎn)生一種想法，即是否可以在不引入任何湍流模型的情況下，把包括脈動運動在內(nèi)

的湍流瞬時運動通過某種濾波方法分解成大尺度渦的運動和小尺度渦運動兩部分；然后，對

大尺度渦的運動通過數(shù)值求解其運動微分方程的方法直接計算出來；對于小尺度渦的運動對

大尺度渦運動的影響將以類似于雷諾Reynolds平均法中的Reynolds應(yīng)力的應(yīng)力(稱為亞格

子尺度應(yīng)力)項在大尺度渦的瞬時運動方程中體現(xiàn)出來，并通過建立近似模型來模擬和求解。

這就是大渦模擬理論與方法的基本思想。

大渦模擬是介于直接數(shù)值模擬(DNS)與Reynolds平均法(RANS)之間的一種湍流數(shù)值模

擬的方法。但要實現(xiàn)大渦模擬，首先必須要完成兩項重要的工作環(huán)節(jié)：一是要建立一種數(shù)學

濾波函數(shù)，可從湍流瞬時運動方程中將尺度比濾波函數(shù)的尺度小的渦濾掉，從而分解出描述

大渦流場的運動方程；而這時被濾掉的小渦對大渦運動的影響，則通過在大渦流場中的瞬時

運動方程中引入附加應(yīng)力項來體現(xiàn)；二螺建立小渦影響的應(yīng)力項數(shù)學模型(這一數(shù)學模型

稱為亞格子尺度模型(SubGrid-Scalymodel),簡稱SGS微)。

大渦模擬法的優(yōu)點在于：

(1)、方程本身是精確的，計算結(jié)果的誤差只是由于采用的計算方法及數(shù)值計算本身所

帶來的誤差；

(2)、數(shù)值模擬可以提供每一瞬間流場中的全部信息，而且特別有重要意義的是能提供

很多在實驗上目前還無法測量的量，這就使得可以用直接數(shù)值模擬所得到的計算結(jié)果來檢驗

各種湍流模型的正確性和實用性，并為新的湍流模型開發(fā)提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

(3)、在數(shù)值模擬中，流動條件可以得到精確的控制，可以對各種因素單獨的或交互作

用的影響進行系統(tǒng)的研究，這在實驗中是難以做到的；

(4)、在某些情況下，，物理實驗?zāi)M非常昂貴和危險，而且有時由于實驗條件的要求

達不到，甚至是不可能實現(xiàn)對真實流動條件的完全相似，于是，直接大渦的數(shù)值模擬就成了

提供預(yù)測的唯一手段；

(5)、計算結(jié)果對建立的小渦計算模型的可靠性不敏感，即小渦影響的計算結(jié)果對總體

計算結(jié)果影響不大。

大渦模擬法的缺點在于：

計算工作量巨大，要求計算機硬件配置較高、計算速度快(但要低于DNS方法的要求);

而且目前只能進行低雷諾數(shù)和簡單幾何邊界條件的湍流直接模擬。

這是因為：湍流脈動運動中包含著大大小小不同尺度的渦運動，湍流統(tǒng)計理論已證明，

這種湍流運動中的最大渦尺度L可與平均運動特征長度相比較，而其中最小尺度的渦運動則

取決于粘性耗散速度，即為柯爾莫戈洛夫(Kolmogorov)定義的內(nèi)尺度〃=(/為/。而且

這大小尺度的比值隨著雷諾數(shù)的增高而迅速增大，即U”瞰0

由此，為了模擬湍流流動，一方面要求計算域的尺度應(yīng)達到足以包含最大尺度的渦；另

一方面又要要求計算網(wǎng)格的尺度應(yīng)小到足以分辨最小尺度的渦運動。這樣一來，計算域就得

很大，而且在計算域的范圍內(nèi)網(wǎng)格結(jié)點數(shù)至少應(yīng)為與N~R24同一量級；而且計算模擬的時

間長度又要大于大渦的時間長度〃而計算的時間步長又應(yīng)小于小渦的時間長度77/。。故

總的計算量正比于因此，就目前世界上現(xiàn)有計算速度最快的計算機計算速度水平，用

直接數(shù)值模擬的方法求解工程中的復(fù)雜湍流問題與要求的速度還差3個數(shù)量級。

總之，在一定意義上講，大渦模擬是介于直接數(shù)值模擬與采用湍流模型模擬之間的一種

折衷方法。

上述所提到的計算方法的具體計算過程與計算實例，請參見有關(guān)書籍或文章。

在非直接模擬的統(tǒng)計平均法中，由于對描述流動控制方程所采取的離散方法的不同，因

而也就出現(xiàn)了許多不同的流動數(shù)值計算方法。其中在流體機械內(nèi)部流場的數(shù)值計算中，常用

的主要方法有：

有限差分法、有限元法、邊界元法、有限分析法和有限體積法，等。

有限差分法

該方法是將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(即離散點)代替連續(xù)的求解域,

然后將控制流動的微分方程中的所有微分項均用相應(yīng)的差商來代替，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化

為代數(shù)形式的差分方程，即導(dǎo)出含有離散點上有限個未知數(shù)的差分方程組；求解這個差分方

程組，所得到的解就作為該流動問題的數(shù)值近似解，也就是得到了該流動在網(wǎng)格節(jié)點處流動

變量的數(shù)值解。它是一種直接將微分問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的近似數(shù)值解法。這種近似的數(shù)值

解法關(guān)鍵在于針對所研究的流動問題選擇合適的差商來代替微商。

優(yōu)點：①這種方法出現(xiàn)與發(fā)展的較早、成熟；適用于求解非定常流動問題（拋物型、雙

曲型問題）。

②有限差分法只須構(gòu)造偏導(dǎo)數(shù)的離散方法，這使得它比較容易推廣到高階精度；

對于多維問題也是如此。

③對于網(wǎng)格拓撲奇點，有限差分法更容易取得高的精度。

缺點：①在曲線坐標系中，有限差分法要對幾何量和物理量給出確定的組合關(guān)系才能進

行差分離散，這樣做的后果之一是有限差分法可能產(chǎn)生所謂幾何誘導(dǎo)誤差（geometryinduced

error）o

②不善于表現(xiàn)復(fù)雜的邊界；用它來求解橢圓型問題時，不如有限元法方便。

有限元法

有限元法是將一個連續(xù)的求解域任意分成適當形狀的若干個單元，并于各單元分片構(gòu)造

插值函數(shù)，然后根據(jù)極值原理（伽遼金Galerkin法），由流動問題的控制微分方程構(gòu)造積分

方程，對各單元積分得到離散了的單元有限元方程，把總體的極值作為各單元極值之和，即

將局部單元總體合成，形成嵌入了指定邊界條件的代數(shù)方程組，求解該方程組就得到各結(jié)點

上待求的函數(shù)值，從而求得該流動問題的數(shù)值解。有限元法是將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程來

求解的，其實質(zhì)是分段（或分片、分塊）逼近，即將整個求解區(qū)域劃分為有限個子區(qū)域，構(gòu)

造分區(qū)插值函數(shù)，以逼近真解。

與有限差分法相比，其

優(yōu)點：適用于求解幾何、物理條件比較復(fù)雜的流動問題，且便于程序標準化，也適于求

解橢圓型的流動問題。

缺點：由于求解非定常流動問題時，每一時步都要解大型代數(shù)方程組，故其計算工作量

大、占用計算機內(nèi)存大。

有限邊界元法

所謂有限邊界元法，是先將流體運動控制微分方程化為邊界積分方程，再用有限元的基

本思想與方法、步驟（在求解域的邊界上劃分有限單元）來處理邊界積分方程。與有限差分

法和有限元法不同，它在域內(nèi)滿足微分方程，而在邊界上近似滿足邊界條件。

優(yōu)點：它是將全域的計算化為了在區(qū)域邊界上的計算，使計算域的維數(shù)減少了一個，使

三維問題化為二維問題，二維問題化為一維問題，給計算帶來一系列的簡化和方便。由于邊

界元法的近似范圍僅在區(qū)域的邊界上，與有限元法相比，其精度較高。

缺點；由于邊界元法要采用解析函數(shù)的基本解，因而目前還只適用于線性問題以及基本

解已知的問題；對于非線性問題、半無限域問題，以及區(qū)域的角點處理等，邊界元法還不成

熟。

有限體積法

有限體積法又稱控制體積法，其理論依據(jù)是基于物理守恒原理。對于N-S方程采用有

線體積法離散，其基本思路是：首先根據(jù)高斯散度理論，將計算域劃分為一系列不重疊且不

隨時間而變的網(wǎng)格，并使每個網(wǎng)格節(jié)點周圍有一個控制體積；將待求解的微分方程對每一個

控制體積進行積分，得出一組積分形式的離散方程。其中未知數(shù)是網(wǎng)格節(jié)點的因變量。的數(shù)

值。為了求出控制體積的積分，必須先假定。值在網(wǎng)格節(jié)點之間的變化規(guī)律，即設(shè)定。值的

分段分布剖面。

優(yōu)點：①這種方法對任意一組控制體積都滿足積分守恒；當網(wǎng)格尺度有限時（粗網(wǎng)格的

情況下），它也可以比有限差分法更好地、且準確地滿足質(zhì)量、動量和能量的守恒；對擬一

維或軸對稱流動，守恒性更容易實現(xiàn)。

②在復(fù)雜區(qū)域上容易實現(xiàn)。

缺點：①對多維問題，高精度（高于二階）有限體積法的構(gòu)造和實施比較困難。

②與有限元法類似，計算工作量大。

有限分析法

有限分析法是一種改進了的有限元法。其基本思路是：離散單元上的解不再用插值函數(shù)

來表達，而是用方程局部線性化后的解析解。它首先將待求問題的總體區(qū)域劃分為許多小的

子區(qū)域，在這些子區(qū)域中求局部解析解；然后從局部解析解中導(dǎo)出一個代數(shù)方程，使子區(qū)域

上的內(nèi)結(jié)點值與相鄰的結(jié)點值聯(lián)系起來；再把所有的局部解析解匯集在一起，就得到了所要

求解問題的有限分析的數(shù)值解。

優(yōu)點：它比較好地保持了原有問題的物理特性，能準確地模擬流動的對流效應(yīng)，同時不

存在數(shù)值擴散現(xiàn)象，計算穩(wěn)定、收斂快，計算所需機時與差分法相當。

缺點：對于不同的問題子區(qū)域的劃分須依靠經(jīng)驗。

在流體機械內(nèi)部流動或流場的計算中主要采用的是有限差分法和有限體積法。兩者的異

同點在于：

有限差分法是微分類的離散方法；有限體積法是積分類的離散方法；但二者是密切相關(guān)

的。已經(jīng)證明，在幾何度量系數(shù)處理適當?shù)臈l件下，在一般曲線坐標系中的守恒型流動方程

的有限差分法等價于物理空間的有限體積法或通量和類方法。也就是說，在對幾何度量系數(shù)

的處理適當?shù)臈l件下，進行曲線坐標變換后的計算空間里的有限差分法，同不進行變換的物

理空間里的有限體積法或通量和類的方法是等價的。事實上，在矩形網(wǎng)格上，二者可以做到

完全等價。

Vinokur的研究證明：微分類的有限差分法和積分類的有限體積法由于兩類方法的不同，

導(dǎo)致了對幾何項處理上的不同；但這只會對計算精度和效率產(chǎn)生影響，而不會對計算產(chǎn)生本

質(zhì)上的影響的。也就是說，有限差分法和有限體積法的不同主要是對網(wǎng)格的幾何處理方法不

同，而兩者沒有本質(zhì)的區(qū)別。

一般來說，有限差分法和有限體積法有如下不同之處：

①有限體積法中對幾何量（度量系數(shù)）和物理量的計算式是獨立的；而有限差分法是要

對幾何量（度量系數(shù)）和物理量必須有的確定組合才能進行差分運算。所以，在有限差分法

中采用不同的差分格式，其幾何量對計算結(jié)果的影響是不同的。

②用有限差分法計算得到的是網(wǎng)格節(jié)點上的物理量，而用有限體積法計算得到的是單元

的平均值。

有限體積法的特點是：

①當網(wǎng)格尺度有限時，它可以比有限差分法更好地保證對質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守

恒定律的滿足；對擬一維或軸對稱流動，守恒性更容易實現(xiàn)。

②在復(fù)雜區(qū)域上容易實現(xiàn)。

③對多維問題，高精度（高于二階）有限體積法的構(gòu)造和實施比較困難。

有限差分法的特點是：

①有限差分法只須構(gòu)造偏導(dǎo)數(shù)的離散方法，這使得它比較容易推廣到高階精度；對于多

維問題也是如此。

②對于網(wǎng)格拓撲奇點，有限差分法更容易取得高的精度。

③在曲線坐標系中，有限差分法要對幾何量和物理量給出確定的組合關(guān)系才能進行差分

離散，這樣做的后果之一是有限差分法可能產(chǎn)生所謂幾何誘導(dǎo)誤差。

T7

例如，考慮一流動是定常的無界均勻流場，則Vi,j,上q=0。在由一般曲線坐標構(gòu)

dt

成的網(wǎng)格（求解域可以是有界的，也可以是無界的，計算邊界條件是給定的均勻流動參數(shù)）

TT

上采用有限差分方法計算此流動，可能有而采用有限體積法，則恒有Vi,j,

dt

‘""=0；這就是幾何誘導(dǎo)誤差所引起的現(xiàn)象之一。

dt

第三節(jié)轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)流動的降維計算

對于轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)流動的降維在加和52流面上的數(shù)值計算，可分為粘性和非粘性的兩

種方法計算。

一、非粘性計算

在S1流面內(nèi)的數(shù)值計算方法有：

流線曲率法、有限差分法、奇點分布法、有限元法，以及有限差分和松弛法相結(jié)合的方

法等。

采用流線曲率法計算時，由于在葉片上下游沒有固定的邊界，因而必須對葉片進出口前

后緣區(qū)域內(nèi)的流動作一些假設(shè)。這就影響了這種計算方法解的精度和可靠性，其計算精度在

某種程度上取決于計算者對邊界條件處理及前后緣處流動假定條件給定的經(jīng)驗；另外，由于

流線曲率法計算所用的坐標系在每次流線迭代時都要隨流線的不同而改變，因而使用中很不

方便，故現(xiàn)在多采用準正交曲線坐標系。再者，由于流線是由對很多離散點進行曲線擬合而

擬合出來的，因此很難保證擬合的曲線完全光滑，尤其是在流速變化較大處，流線曲率的計

算精度將急劇下降，從而導(dǎo)致計算不穩(wěn)定。

但流線曲率法具有物理概念清晰,所需數(shù)學知識及程序較簡單，計算所占計算機內(nèi)存少等

優(yōu)點。

在有限差分法中，一般采用Katsanis的在葉片前緣附近加密計算網(wǎng)格，用松弛法求解；

該方法可適用于葉（轉(zhuǎn)）輪形狀復(fù)雜的內(nèi)部流動計算。

Senoo的奇點分布法是先將S1流面保角地影射成平面環(huán)列葉柵，然后用奇點分布法求

解。由于這種方法中的奇點是分布在翼型的骨線上，所以這種方法原則上只適用于薄翼；對

于厚翼，則在平均流動中用考慮厚度排擠的方法來進行修正。

在S2流面上的數(shù)值計算方法有：

流線曲率法、有限差分法、有限元法，以及流線曲率法和松弛法相結(jié)合的方法等。

二、考慮粘性影響的粘性計算

1、死水區(qū)的非粘性計算方法

這種計算是將葉片背（負壓）面出U處的邊界層分離區(qū)定義為死水區(qū)，該部分的計算仍

然用無粘性的計算方法進行，然后用修正葉片出口部分形狀的方法來考慮粘性的影響。這種

計算方法的缺點是不能給出明確的邊界層分離點的判別標準。

2、主流一邊界層組合計算的方法

這種計算方法是把流體機械內(nèi)的液流分成四個流動區(qū)域，即主流區(qū)、頂部與底部壁面邊

界層區(qū)（離心泵的前、后蓋板，水輪機的上冠、下環(huán)）、側(cè)壁面（葉片表面）邊界層區(qū)和葉

片表面與蓋板間的轉(zhuǎn)角區(qū)。主流區(qū)采用非粘性計算，邊界層區(qū)采用Moses的條形積分法進行

旋轉(zhuǎn)邊界的三維計算。

這種計算方法的主要優(yōu)點是可以顧及到回轉(zhuǎn)流道內(nèi)的二次流對邊界層發(fā)展的影響。

3、粘性方程的直接解法

這種計算方法目前只有Moore的混合長度模型部分拋物線方程的解法和Fraser的用k-

￡模型的湍流計算法，以及Hah的用代數(shù)模型對N—S方程進行壓力修正后得到橢圓型方程

的直接求解方法。

目前在工程上較成熟和實用的粘性計算方法是主流一邊界層的組合算法（詳見《現(xiàn)代水

泵設(shè)計方法》P204~256）o

總括起來說，在流體機械內(nèi)部流動的準三維數(shù)值計算中，尤其是對旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)

部的流動計算，采用了回轉(zhuǎn)的S1流面和平均的子午面S2流面的分解，使其相互迭代求得解

的精度受到了一定影響；其計算精度不如采用前述粘性方程的三種直接計算方法。

按描述流體運動的控制方程數(shù)學性質(zhì)的不同，在流體力學中將其分為三種類型，分別為:

一種是雙曲線方程：如一維對流方程，—+a—=0,其中a為常數(shù)；

dtdx

一種是拋物形方程：如一維對流擴散方程，M嗯=嚶,其中a、4為常數(shù)；

再一種是橢圓形方程：如不可壓有勢流動的控制方程一拉普拉斯（Laplace）方程，

三、數(shù)值計算中必須注意的問題

誤差分析在數(shù)值計算中是--個既重要而又復(fù)雜的問題，因每步計算中都可能產(chǎn)生誤差，

而一個問題的解決往往要經(jīng)過成千上萬次運算，不可能（也沒必要）對每一步都加以分析。

這里只提出在數(shù)值計算中應(yīng)該注意的幾個問題，以避免某些誤差危害現(xiàn)象的產(chǎn)生。

1、要避免兩相近數(shù)值的相減

兩相近數(shù)值的相減會使有效數(shù)字嚴重損失。例如，x*=4.312,y*=4.308都具有四位有效數(shù)

字，但x*-y*=0.004,卻就只有一位有效數(shù)字了。有效數(shù)字的數(shù)目嚴重損失，減少了3位；這

說明應(yīng)盡量避免出現(xiàn)相近數(shù)值的相減。其辦法是改變計算方法。如在下面的情況中，用

如果難于改變算式的形式，也可采用增加有效數(shù)位的辦法。右端算式代替左端算式，有

效數(shù)字就不會損失。

當x〉0很大時，

Jx+1-Vx=-；——1~廣,

X+1+y/X

111

--------------,

xx+1x(x+l)

arctg(x+1)-arctgx=arctg---!----

l+x(x+l)

當w很小時，

l-cosx=2(sin92,

23

xx

ex-l=(l+x+—+-+???)-!

2!3!

112,、

—X(Z14--XH--X+,■,),

26

當x,y很接近且都為正時，

x

Inx-Iny=ln—.

y

2、要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法

在計算過程中，如計算工若0<|y|?|x|時，即用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)，會使商的數(shù)量

y

級增加，從而舍入誤差會增大，給計算結(jié)果帶來嚴重的影響或失真；故應(yīng)盡量避免。

3、要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)

為了說明這一點，下面舉個例子

例1、計算二次方程/-(1()9+l)x+1()9=0的根。

解：顯然方程的二個根為

X1—10,犬2=1。

但如果我們用求根公式

_-b+y]b2-4ac

在能將規(guī)格化的數(shù)表達到小數(shù)后八位的計算機上進行運算，則

-fe=109+l=0.1xl09+0.0000000001X1o10.

由于第二項最后兩位數(shù)“01”在機器上表示不出來，故在上機運算時(用A表示)

△

一6=0.1X10'°+0.00000000X1O10=o.lxio10=109

類似地分析有

b2-4ac?b2,yb2-4ac?網(wǎng)，

x_-bjb?-4ac上直+楊_】

故*—2a-T~

-/>-7/?2-4acM09-109,、

x,=------------=-------=0.

2a2

顯然根嚴重失真。產(chǎn)生這種錯誤的主要原因是在計算機上進行加減運算要對階，-匕的

第二項00000000001x109在第八位,計算機中表示為機器0,則小數(shù)1被大數(shù)109“吃掉”

了，結(jié)果當然就不可靠。為防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)，對于該類問題可采取的措施是利用根與

系數(shù)的關(guān)系

C

xx=—

v2a

來計算乙，這時有

C△1()9

4、要盡量簡化計算步驟以減少運算次數(shù)

對一個計算問題，如能減少運算次數(shù)，不但能節(jié)省計算所用的時間，還能使計算中的

誤差積累減小；這也是數(shù)值計算方法中應(yīng)充分要注意的問題。

1001

例如要計算和式，一」的值，如果直接逐項求和，不但其運算次數(shù)多，而且誤差

?=|+1)

積累嚴重。但若把和式簡化為

11.1(11)11

占〃(〃+1)￡nn+l100f

則整個計算就變成了只要求一次倒數(shù)和一次減法了。

又如計算多項式

n

/(x)=aax+%x"T+…+anlx+an

的值。若直接計算a/"'再逐項相加，總共需做

,八八n(n+1)

/?+(n—1)H-----1-2+1f=--—

次乘法和n次加法。但若將前n項提出x,則有

f(x)=(aox"~'+%x"2+…+a“_])x+%.

于是括號內(nèi)是nT次多項式，對它再施行同樣的手續(xù)，又有

n-2

/*)=l(aox+%x"-3+...+an2)x+an_t]x+a,,.

這樣內(nèi)層括號為一n-2次多項式，這樣每做一步，最內(nèi)層的多項式降低一次，最終可將多項

式表示為如下嵌套形式

/(%)=(???(aQx+^)x4-a2)xH---an_^x+an.

利用此式結(jié)構(gòu)上的特點從里往外一層一層地計算。設(shè)

仇=h()x+a],

b2

***9

b?=%x+4=/(x),

得遞推公式

b。=do，

hj=?+xb-i,1</<n.

{b?=f(x),

按遞推式求/(x)的值只需作n次乘法和n次加法，計算量節(jié)約了一半，且邏輯結(jié)構(gòu)簡

單。多項式求值的這種算法稱為秦九韶方法，它是我國宋代一位數(shù)學家秦九韶最先提出的。

它的特點在于通過一次式的反復(fù)計算，逐步得出高次多項式的值，這種化繁為簡的處理方法

在數(shù)值計算方法中是常見的。

例2、用秦九韶方法求多項式

/(x)=4x3+2x2-5x+7

在%=3的值。

解：把〃x)的系數(shù)按降塞排成一列，按下表計算：

a。環(huán)=魚4b0=4

%力=用+瓦以24二14

“二37

aib：=ai+xl)bi.]-5

4二U8=/⑶

%b?=a?+xQbn-i=f(xii)7

本數(shù)=左數(shù)+x0X上一數(shù)

第四節(jié)相對圓柱坐標系中流體參數(shù)及其運動的描述

我們在進行旋轉(zhuǎn)流體機械轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)的三維流動數(shù)值計算時，為了方便和簡化計算，

一般都選用相對圓柱坐標系，并II坐標軸固定在轉(zhuǎn)（葉）輪上；艇個坐標軸分別為小。（或

9）、z；轉(zhuǎn)（葉）輪轉(zhuǎn)動的角速度3由于坐標系的改變，則描述流體運動的參數(shù)、

控制方程或表達式必然要改變；所以我們在采用旋轉(zhuǎn)的相對坐標系進行轉(zhuǎn)（葉D輪中流體運

動的計算時，必須要知道描述流體在相對圓柱坐標系中的運動參數(shù)、控制方程或表達式。為

此，分別簡介于下。

一、單位質(zhì)量流體的能量

1.單位質(zhì)量流體的勢能

單位質(zhì)量流體的勢能以與表示之，它等于

，=gZ+"……（1）

P

求上式的微分，對于不可壓縮流體有：

dY=gdz+—dp...（2）

P

在流體力學中，符號▽稱為微分算于，它表示為

.d.d,d

▽w二。Flg--FI-~~

dr"d（p'dz

一個量的微分d（）可以寫成這個量的梯度▽（）與力?="公+%/9+，/2的點乘積（標量積）,

即

d（）=（三dr+鳥d。+三dz.）（）=（i,.dr+id。+i,dz）?

dro（pdz

.d.d.d

應(yīng)k+"。丁+"卞）（）=〃?▽（）

orro（pdz

于是公式(6-2)就可寫成

dr,(yY-^Vz-—V/2)=0

P

因為力?可任意給定，與小括號中所表示的向量不垂直，得

vyVp=o..⑶

p

2、單位質(zhì)量流體的能量—比能Y

vpuvu...(4)

y=gz+-+-=y?+-⑷

3、相對比能九

我們把相對運動伯努利(Bernoulli)方程中的四項之和稱之為相對比能：

J(w)2...(5)

vy=gz+—+-----3

wp22

下面推導(dǎo)相對比能?與比能y之間的關(guān)系。根據(jù)余弦定理，從葉輪的速度三角形可得到

u2-arr~+W2-2a)r(a)r-)

從上式可得

gz+4,即得

上式等號兩邊均加

p)

Yw=Y-covur...(6)

二、旋轉(zhuǎn)坐標系中與數(shù)值計算有關(guān)的流體運動表達式

1、相對運動中的隨流導(dǎo)數(shù)

我們在推導(dǎo)式(6-3)的過程中曾得到

d()=JR-V()...(7)

對于相對定常運動，我們可把上式寫成

9=坐”()

dtdt

如果取而為相對運動的流線方向，則得到

^=W?V()...(8)

dt

2、方向?qū)?shù)

公式（6-7）中的向量東可以寫成它的模歐與它的單位向量器的乘積'故得

W）=W（）

*>

3、相對圓柱坐標系中流體的運動方程

如果流體是理想流體，相對運動是定常運動，而且忽略流體的質(zhì)量力，則運動方程為:

dwr5_1dp

dtrpdr

=_1dp(10)

dtpd(p

—==--1--d-p

dtpdz.

上述這些在相對圓柱坐標系中描述流體運動的表達式，在我們進行三維流動計算中推導(dǎo)

計算公式時都將要用到。

第五節(jié)流動控制方程組的數(shù)學性質(zhì)及分類

流體力學中的流動控制方程都是擬線性偏微分方程，其時間導(dǎo)數(shù)項是線性的，而空間導(dǎo)

數(shù)項往往是非線性的；因此，在絕大多數(shù)情況下無法求得這些偏微分方程的精確解。為此，

為求得流動或流場的近似解，只有采用各種計算方法，通過CFD的手段求得滿足一定精度的

這些偏微分方程的數(shù)值解。流動的數(shù)值解法即是偏微分方程數(shù)值解法的一部分，因而，必須

清楚所要求解的控制方程的數(shù)學性質(zhì)，它是屬于哪種類型的方程。不同類型的離散方程，其

數(shù)值處理方法各異，這些相異點包括解的適定性、穩(wěn)定性、收斂性、物理性質(zhì)及差分格式的

適用性等。

那么，何為微分方程的適定性，差分方程（格式）的穩(wěn)定性和收斂性，以及差分方程與

其微分源方程的相容性呢？

微分方程的適定性是指：該微分問題的解存在，并且唯一。

差分方程的穩(wěn)定性是指：在利用推進（遞推）法數(shù)值求解差分方程的過程中，如果初始

誤差的增長有界，即這些誤差在傳播過程中逐漸減小或只控制在某一個有限的范圍內(nèi)，貝?麻

差分方程或差分格式是穩(wěn)定的；否則即使不穩(wěn)定的。差分方程或差分格式的穩(wěn)定性是適定的

線性初值問題及與它相容的差分方程收斂的充分必要條件。

差分方程（格式）的收斂性是指：當時間步長和網(wǎng)格間距4-0,AxfO時-，差分方

程的解趨近源微分方程的解，則稱差分方程（格式）是收斂的。

其定義為：設(shè)微分源方程的解為〃（X,f）淇