“兩邊夾”思想在三角函數(shù)中的運用講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

“兩邊夾”思想在三角函數(shù)中的運用1.夾逼準則在高等數(shù)學(xué)中有一個夾逼定理,英文原名SandwichTheorem.也稱作夾逼準則,是函數(shù)極限的定理.準則(1)如果數(shù)列,,滿足(1)(2),,則數(shù)列的極限存在,且.準則(2)如果當(dāng)(或)時,有(1)(2),(或),則(或)在高等數(shù)學(xué)中,夾逼準則適用于求解無法直接用極限運算法則求極限的函數(shù)極限,間接通過求得和的極限來確定的極限.這個定理在高中數(shù)學(xué)雖然沒有學(xué)習(xí),但是該定理體現(xiàn)出來的夾逼思想?yún)s滲透在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中.“若,則”,這就是不等式兩邊夾的性質(zhì),又如:若恒成立,則.在解決某些數(shù)學(xué)問題時,運用這些夾逼性質(zhì)逼出某個變量的值或不等式,從而實現(xiàn)由不等向相等,由變量向常量的轉(zhuǎn)化,這是在不等中尋找相等關(guān)系的重要途徑.2.應(yīng)用例1.中,設(shè)是的面積,若,求的值.解析:由,得,化簡得.即.由于,可得,.簡析:結(jié)合余弦定理及三角形面積公式,將已知條件轉(zhuǎn)化為.等式左邊為,根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可知;右邊為,根據(jù)重要不等式可得.因此結(jié)合夾逼準則可知,從而求出.例2.中,若,求的值.解析:由已知有.即.即,則.由于,可得,.簡析:結(jié)合正弦定理化角為邊,將已知條件轉(zhuǎn)化為.等式左邊為,根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可知;右邊為,根據(jù)重要不等式可得.因此結(jié)合夾逼準則可知,從而求出.例3.已知為坐標原點,對于函數(shù),稱向量為函數(shù)的伴隨向量,同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).設(shè)函數(shù),試求的伴隨向量.記向量的伴隨函數(shù)為,求當(dāng)且時的值.由(1)中函數(shù)的圖象(縱坐標不變)橫坐標伸長為原來的2倍,再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象.已知,,問在的圖象上是否存在一點,使得.若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.解析:(1)略(2)略.(3)由已知可得,則.設(shè),則,.又,所以,即.整理得.由于,,所以當(dāng)且僅當(dāng)時,和同時等于.因此在的圖象上存在一點,使得.簡析:結(jié)合條件題目條件將向量的垂直關(guān)系,轉(zhuǎn)化為坐標運算,繼而整理得到.等式左邊為,結(jié)合余弦函數(shù)的有界性以及二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號;等式右邊為,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.因此結(jié)合夾逼準則可知在的圖象上存在一點,使得.例4.已知,且,求的值.解析:由,得,則,即,故,因此,所以,故.由,得,因此,所以,故.因此有.簡析:借助三角函數(shù)的有界性和不等式的性質(zhì)分別得到和,根據(jù)夾逼準則可知.例5.設(shè)單位向量,,對任意實數(shù)都有,則,的夾角為解析:由,兩邊同時平方得.該不等式對任意都成立,所以,解得.又,所以,即.簡析:由已知條件得到得,結(jié)合完全平方式的性質(zhì),根據(jù)夾逼準則可知.例6.已知，，且，若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則代數(shù)式解析：由已知有，令得，則，所以結(jié)合，得綜上，故。又，，且，所以，，。綜上，。簡析:結(jié)合三角函數(shù)的有界性以及夾逼準則,可知.通過上述試題不難發(fā)現(xiàn),“兩邊夾”思想在三角函數(shù)解題中有著重要的應(yīng)用.事實上,不僅在三角函數(shù)中,在涉及到不等式問題的解決中,如果能夠借助“兩邊夾”思想,往往能夠迅速尋找到解題的突破口,使得問題柳暗花明.例7.若關(guān)于的不等式在恒成立,則實數(shù)的取值范圍是解析:由已知有.由已知有夾在兩函數(shù)與之間.故有,即.簡析:將題目所給不等式巧妙地轉(zhuǎn)化成,看成是直線夾在兩曲線之間.例8.已知關(guān)于的函數(shù),與()在區(qū)間上恒有.(1)若,,,求的表達式.(2)略.(3)略.解析:由已知可得,故當(dāng)時,有,所以.由得,又,所以,,此時.簡析由于不等式對任意恒成立,故取特殊值,得到,從而夾逼出.由于,結(jié)合完全平方式的性質(zhì)可得,從而夾逼出.因此,本道試題的求解體現(xiàn)了不等