新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)08 圓錐曲線小題（易錯(cuò)點(diǎn) 九大題型）（解析版）

秘籍08圓錐曲線小題目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】圓錐曲線定義型【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型【題型三】定比分點(diǎn)【題型四】離心率綜合【題型五】雙曲線漸近線型【題型六】拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型【題型七】切線型【題型八】切點(diǎn)弦型【題型九】曲線軌跡型概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)圓錐曲線幾何原理圓錐曲線屬于高考難點(diǎn)，也是解析幾何的主要內(nèi)容，多出現(xiàn)在壓軸題的位置，考察的內(nèi)容和題型也偏多，需要學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握的基礎(chǔ)上還需要利用數(shù)形結(jié)合等的思想結(jié)合幾何和代數(shù)的方法來(lái)解決相應(yīng)問(wèn)題。需要記憶的結(jié)論很多，所以相應(yīng)的推理方法也都必須要能夠理解，這里通過(guò)梳理題型來(lái)理解其中的含義和方法。易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論1.利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．2.注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.3.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．例（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】雙曲線中，半焦距為，即，又雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：D．變式1：（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線，橢圓的離心率分別為，．若這4個(gè)焦點(diǎn)所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為，則，分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，設(shè)橢圓的上、下焦點(diǎn)為，，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，因?yàn)檫@4個(gè)焦點(diǎn)所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為，由此可得，則，所以．所以，兩邊平方后即可求得，，，故分別為，．故選：D．變式2：（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.【題型一】圓錐曲線定義型基本定義：(1)橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c為常數(shù))(2)雙曲線定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0).(3)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.拓展定義：1.A,B是橢圓C:+＝1(a>0，b>0)上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）2.A,B是雙曲線C:－＝1(a>0，b>0)上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）【例1】（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點(diǎn)，、是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于A，由題意知，O為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，又，即，則，又由，則是等腰直角三角形，故有，化簡(jiǎn)得，即，代入得，即，由所以，所以，.故選：C.【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足線段PE的中點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】設(shè)，則PE的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，可得，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l：為準(zhǔn)線的拋物線，由于，故在拋物線內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為Q，則，（拋物線的定義），故當(dāng)且僅當(dāng)M，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，最小值為點(diǎn)M到直線l的距離，所以，故選：B．【例3】（多選）（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長(zhǎng)為C．C的離心率為 D．的周長(zhǎng)為8【答案】ABD【詳解】由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對(duì)于A，焦距為，故A正確，對(duì)于B，短軸長(zhǎng)為，B正確，對(duì)于C，離心率為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，D正確，故選：ABD【變式1】（2024·貴州安順·一模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且，若，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓的離心率．【答案】【詳解】根據(jù)已知條件有，有正弦定理面積公式有：，又，所以，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，則，又，以的三邊為底，內(nèi)切圓半徑為高的三個(gè)三角形面積和等于面積，所以，解得，由正弦定理有：，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，即，所以，即，即，兩邊同除以，得，又，解得.故答案為：【變式2】（2024·上海奉賢·二模）點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體棱上一點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．【答案】【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以，又，所以點(diǎn)是以為焦距，以為長(zhǎng)半軸，以為短半軸的橢球上的一點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為，所以點(diǎn)是橢球與正方體棱的交點(diǎn)，在以為頂點(diǎn)的棱上，所以共有6個(gè)，故答案為：6.【變式3】（2023·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，線段的垂直平分線與交于兩點(diǎn)，且與的一條漸近線交于第二象限的點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為.【答案】/【詳解】記的右焦點(diǎn)為，由題意可知：雙曲線的一條漸近線為，可知點(diǎn)在的漸近線上，且，即，且，，則，可知和均為等邊三角形，則，即，所以雙曲線的方程為.不妨設(shè)A在上方，則的周長(zhǎng)為，又因?yàn)榈闹本€方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得，整理得，解得，且，可知，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：.【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型1.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，則2.若焦點(diǎn)弦的傾斜角為，則（橫放）若的傾斜角為，則（豎放）【例1】已知A，B為橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，則．【答案】【詳解】取橢圓方程為，，直線方程為（橢圓右準(zhǔn)線），橢圓上點(diǎn)，右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，則，所以，因?yàn)楸绢}橢圓離心率:，設(shè)由焦半徑公式:得:,即中點(diǎn)，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，則有，，作差化簡(jiǎn)得，則線段的垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故答案為：.【例2】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，則拋物線的方程為，設(shè)不妨設(shè)在第一象限，且有數(shù)量積的投影可知，則，由橢圓的焦半徑公式可知，由拋物線的定義，則，所以，即，解得.故選：A.【變式1】已知橢圓（）的焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)為“”點(diǎn)，則橢圓上的“”點(diǎn)有個(gè)A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)橢圓上的點(diǎn)，由焦半徑公式可知，因?yàn)?，則有，解得，因此滿足條件的有四個(gè)點(diǎn)故選：C．【變式2】（多選）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，對(duì)于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對(duì)于BCD，，又因?yàn)?，解得：，又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯(cuò)誤；從而，故D正確.故選:ABD．【變式3】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與圓相切（切點(diǎn)為）且交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的另一條（切點(diǎn)為）交軸于點(diǎn)，若，則的最小值為．【答案】【詳解】由題：設(shè)，，所以，，設(shè)，，，拋物線第一象限的函數(shù)解析式為，所以，中，由正弦定理：，令，當(dāng)時(shí)，取得等號(hào).故答案為：【題型三】定比分點(diǎn)1.過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸（橢圓是長(zhǎng)軸，雙曲線是實(shí)軸）的夾角為2.已知AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，【例1】（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，則（

）A．△ABF2的周長(zhǎng)為定值 B．AB的長(zhǎng)度最小值為1C．若AB⊥AF2，則λ=3 D．λ的取值范圍是[1，5]【答案】AC【詳解】因?yàn)?，則三點(diǎn)共線，周長(zhǎng)是定值，A對(duì)．，B錯(cuò)．∵，則，A在上、下頂點(diǎn)處，不妨設(shè)，則解得或，，，，C對(duì)．令消x可得，時(shí)，時(shí)，∴，D錯(cuò)．故選：AC.【例2】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【詳解】設(shè)，，且得：.故答案為：.【變式1】（多選）（2024·甘肅蘭州·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l且與x軸交于點(diǎn)Q，P是l上一點(diǎn)，直線PF與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】對(duì)C:拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線為，易知，則，C正確；對(duì)D,設(shè),，,，，到準(zhǔn)線的距離分別為，，由拋物線的定義可知，，于是．，則直線的傾斜角為或，斜率為，因?yàn)?，故，D錯(cuò)誤；對(duì)AB:,，直線的方程為，將，代入方程，并化簡(jiǎn)得，，于是．,故AB正確；故選：ABC．【變式2】已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)作傾斜角60°的直線交于，兩點(diǎn)（A在第一象限），則.【答案】【詳解】因?yàn)殡x心率為，所以,設(shè)直線的方程代入橢圓方程：得：，又∵點(diǎn)在第一象限，故，所以【變式3】（2022·安徽馬鞍山·三模）雙曲線C：(，)的焦點(diǎn)為、，P在雙曲線右支上，且，為C的漸近線方程，若的面積為，則雙曲線C的焦距長(zhǎng)為．【答案】【詳解】∵C的漸近線方程是，∴C為等軸雙曲線，a=b，∴．設(shè)，則2a=3m-m=2m，即m=a，則，設(shè)∠=θ，在△中，由余弦定理得，，即，化簡(jiǎn)可得，∴，∵，，，，，．故答案為：．【題型四】離心率綜合解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式．求離心率的常用方法有：（1）根據(jù)條件求得，利用或求解；（2）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程或不等式，利用將其化為關(guān)于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍．【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)A，B，C為橢圓E：上三點(diǎn)，且，，直線BC與x軸交于點(diǎn)D，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】取BC的中點(diǎn)M，設(shè)，，，，則．∵A，C在橢圓E上，∴，兩式相減，得，即，∴．∵，∴，連接OM，則，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的離心率.故選：D．【例2】（2024·廣東佛山·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A，B在C上，且滿足，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，由，得，取的中點(diǎn)M，則四邊形為平行四邊形，，于是，則，解得，，由橢圓定義知，又，，由，得，即，在和中，余弦定理得：，即，整理得，所以C的離心率為.故選：B【變式1】（2024·四川德陽(yáng)·三模）設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若則C的離心率為（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【詳解】令雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)，則，即有，，同理，而，故，因此，即，所以雙曲線C的離心率.故選：D【變式2】（2024·四川遂寧·二模）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓相切，與C在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則C的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【詳解】設(shè)圓心為，直線與圓相切于點(diǎn)，則故，由于，所以，故，因此在，由，故，即.故選：D【變式3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)作的垂線，與軸交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為．【答案】/0.5【詳解】設(shè)，，，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即，因?yàn)椋?，即，解得．故答案為：【題型五】雙曲線漸近線型（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離為b（2）定點(diǎn)到漸近線的距離為【例1】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C其中一支的焦點(diǎn)為F，另一支的頂點(diǎn)為A，其兩漸近線分別為.若點(diǎn)B在m上，且，則m與n的夾角的正切值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】記兩漸近線的交點(diǎn)為O，設(shè)，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)，焦距，由雙曲線的定義得：，其漸近線方程為：，由知，，所以，因?yàn)?，知為的平分線，記n交于點(diǎn)H，因?yàn)闈u近線的性質(zhì)，有，綜上，，則m與n的夾角的正切值為.故選:B.【例2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，直線.雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)；設(shè)直線的平行線，直曲聯(lián)立，整理得：，由直線與雙曲線相切知：，解得，由圖形可知時(shí)，雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小，代入，即，解得.故選：D.【變式1】（2024·山西晉城·二模）已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，即，雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離，由題意可知：，可得，所以該雙曲線的方程為.故選：D.【變式2】（2024·山東聊城·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，若直線與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且軸，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，依題意有，即，又右焦點(diǎn)為，且軸，所以，所以，故選：C.

【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，交雙曲線的左支于點(diǎn)M，直線交雙曲線的右支于另一點(diǎn)N，若，，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【詳解】由雙曲線的定義得，又，得．又，所以，又，所以．設(shè)，則，．由，得，即，得，因此．在中，．在中，由余弦定理得，得，所以，得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：.

【題型六】拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型是拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)，在準(zhǔn)線上的射影分別為，則：（1）；（2）；（3）若傾斜角為，則；（4）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（5）；（6）若是中點(diǎn)，則，；（7）共線，共線；（8）．【例1】（2023·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）已知直線交曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），為的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】聯(lián)立方程組，消元得，設(shè)，，解得，，易知過(guò)直線，根據(jù)拋物線的定義，可得，，所以.故選：D.【例2】（2024·北京順義·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】B【詳解】，準(zhǔn)線的方程為，過(guò)點(diǎn)左，垂足為，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，則，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)在第一象限，則，則，所以直線的方程為，令，則，即，所以.

故選：B.【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，直線與拋物線交于與不重合的兩點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由點(diǎn)在拋物線上，得，解得，所以拋物線．聯(lián)立拋物線方程與直線方程，得消去，整理得．,設(shè)，則．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．因?yàn)椋?，即，所以．又點(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以，等式兩邊同時(shí)除以，得，得，即，所以．故選：A．【變式1】（2024·四川成都·三模）已知點(diǎn)分別是拋物線和直線上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，則，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)點(diǎn)在直線及右側(cè)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)是與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)，當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)，即時(shí)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，則，，當(dāng)且僅當(dāng)是與直線的交點(diǎn)，且時(shí)取等號(hào)，而，所以的最小值為.故選：C【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，A、B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，且．則（

）A．的斜率可能不存在，且不為0B．點(diǎn)縱坐標(biāo)為C．直線的斜率D．直線過(guò)定點(diǎn)【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，故，因?yàn)?，且，解得，故橢圓方程為，故，若的斜率不存在，則重合，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立得，，則，故，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直線，聯(lián)立得，，則，故，則，因?yàn)?，所以，，若，則，，，，此時(shí)不與重合，兩者也不重合，滿足要求，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，此時(shí)，故直線與軸垂直，且過(guò)點(diǎn)；若，由于，，故，故直線方程為，令得.故直線過(guò)定點(diǎn)，綜上，直線過(guò)定點(diǎn)，D正確.故選：D【變式3】（2024·山東棗莊·一模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，為的中點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】B【詳解】設(shè)、、，由可得，由，為的中點(diǎn)，則有，即，即，故，，又，故，此時(shí)點(diǎn)在原點(diǎn).故選：B.【題型七】切線型1.橢圓：若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.2.雙曲線：若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.3.點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線方程是：；【例1】（2024·全國(guó)·一模）我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測(cè)試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測(cè)量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長(zhǎng)軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長(zhǎng)小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測(cè)量所得水滴角分別為，，則（

）附：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為.A． B．C． D．和的大小關(guān)系無(wú)法確定【答案】A【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為，如圖所示，則，解得，所以，若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為，如圖所示，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，所以橢圓的切線方程的斜率為，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，解得，所以，又因?yàn)?，所以，即，所?故選：A.【例2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)，如：點(diǎn)為橢圓（為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線平分外角.已知橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，是點(diǎn)處的切線，過(guò)左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，則為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【詳解】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入得，整理得，由于直線和橢圓相切，則，整理得，所以直線的方程為，對(duì)于橢圓，，所以，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A

【變式1】（2023·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓交點(diǎn)的軌跡為，過(guò)平面內(nèi)的點(diǎn)作軌跡的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】圓圓心，圓圓心，設(shè)兩圓交點(diǎn)為，則由題意知，，所以，又由于，所以由橢圓定義知，交點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，，則，所以軌跡的方程為，

設(shè)點(diǎn)，當(dāng)切線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)切線方程為：，聯(lián)立，消得，則，即，由于，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即．

當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)闀r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為．故選：A．【變式2】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過(guò)點(diǎn) D．恒過(guò)點(diǎn)【答案】D【詳解】設(shè)，則，，由于，故過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，即，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，過(guò)點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)，故，整理得，同理，整理得，故直線的方程為，斜率不為定值，AB錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，恒過(guò)點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D【變式3】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，，設(shè)直線，聯(lián)立，則，解得或，不妨設(shè)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，，，解得，故直線的斜率，故直線，同理可得直線的斜率，故直線，聯(lián)立，解得，即，則.故選：C.【題型八】切點(diǎn)弦型1.橢圓：若在橢圓外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.2.雙曲線：若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.3.點(diǎn)是拋物線外一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切點(diǎn)弦方程是：；【例1】已知直線與橢圓切于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最大值為A． B．2 C． D．1【答案】A【詳解】設(shè)，，，由，，可得四點(diǎn)，，，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯(lián)立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，可得過(guò)的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，，由于在橢圓上，可設(shè)，，，即有，，可得，且，，即有，，當(dāng)即或或或時(shí)，的面積取得最大值．故選．

【例2】拋物線，過(guò)作拋物線的兩條切線，分別切拋物線于、兩點(diǎn)，則線段中點(diǎn)與軸的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】設(shè)過(guò)的拋物線的切線的斜率為，故切線方程為，所以聯(lián)立方程得，所以，解得，，所以等價(jià)于，所以方程的解為所以兩條切線的斜率分別為設(shè)，，所以線段中點(diǎn)與軸的距離為.故選：C【變式1】．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，斜率為2的直線m與拋物線C切于一點(diǎn)A，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)B，則的面積為（

）A．15 B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則，，，可求切線為，則由得，切線與軸的交點(diǎn)為，故.故選：C【變式2】已知拋物線C：，點(diǎn)M為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線，與拋物線C分別切于點(diǎn)A，B，則（

）A．0 B．1 C．-1 D．0或1【答案】A【詳解】由，得，則，設(shè)，，所以，得切線的方程為，即，切線的方程為，即，又兩條切線過(guò)切點(diǎn)，有、，所以是方程即的兩實(shí)根，得，又，所以將代入上式，得.故選：A【題型九】曲線軌跡型求軌跡方程：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.【例1】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、為定點(diǎn)，，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為焦距，長(zhǎng)軸為的橢圓，將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)的軌