上海市黃浦區(qū)2023-2024學(xué)年高一年級下冊冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

上海市黃浦區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.已知i是虛數(shù)單位，則“a=i”是“/=T”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)定義，（土i）2=-l求得命題邏輯關(guān)系.

【詳解】i是虛數(shù)單位，則i2=—1，"。=廣是"/=_1，，的充分條件；

由/=—1，得a=±i,故"a=i”是“/=—1”的不必要條件；

故“a=i”是“/=_1”的充分不必要條件,

故選：A

2.a,夕是兩個平面，加，〃是兩條直線，有下列四個命題，其中錯誤的是

A.若加m±a,n//p,則

B.若n//a,則加

C.箱a〃B,mca,則加〃0

D.若加〃"，a//ft,則加與a所成的角和〃與力所成的角相等

【正確答案】A

【分析】

依據(jù)空間中位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐個判斷各選項中命題的真假后可得正確的選項.

【詳解】對于A,平面可能平行，故A錯；

對于B,存在平面廠使得〃u尸且0口夕=/,因為〃〃a,平面尸，故〃〃/,

因為加_La,Iua,故加所以加_1_〃，故B正確；

對于C,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知加〃P，故C正確；

對于D,根據(jù)線面角定義可知機與a所成的角和〃與p所成的角相等.

故選：A.

本題考查空間中與線面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，這類問題需根據(jù)位置關(guān)系的定義、判定定理、

性質(zhì)定理等來判斷真假，必要時還要動態(tài)地考慮它們的位置關(guān)系，本題屬于中檔題.

3,復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z-1-i|的最大值為（）

A.V2-1B.1

C.V2D.V2+1

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,其對應(yīng)的點是以原點為圓心，1為半徑的圓上的點,

復(fù)數(shù)|z-1-z1幾何意義是復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點到點8（1,1）的距離，

所以|z-l-i|的最大值為|。創(chuàng)+1=血+1，

故選：D.

4.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽

弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”

中，已知孤=3萬，刀=口益=3，貝U荔=（）

3一4一

D.-aH—b

55

【正確答案】A

【分析】利用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可.

【詳解】由題意

__3______?3__?__?3__?3__?3__?Q__?

AE=-AF=-(AB+BF)=-(AB+-ED)=-AB+—ED

4444416

3—?9—?—?3—?9—?9—?

=—45+——(AD-AE)=-AB+—AD——AE,

41641616

25—■3—■9—■3-9-

即一/￡=—48+—4D=—a+—6,

16416416

—?12-9-

所以/E=—a+—6

2525

故選：A.

5.我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大

小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題，不確定大小的圓柱形木材，部分

埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深CD=2—鋸道4B=2,則圖中石

A.工一把B.--V3C.工—且D.工—也

2233233

【正確答案】B

【分析】設(shè)圓的半徑為廠，利用勾股定理求出廠，再根據(jù)扇形的面積及三角形面積公式計算可得;

【詳解】解：設(shè)圓的半徑為廠，則=r—CD=r—（2—G）,AD=^AB=1,

由勾股定理可得Oh+m=32,即”（2—@,+1=/,

解得r=2,所以04=08=2,AB=2,

所以=因此s可形=S扇形MS—SMBBULX工x22_3x22=2-百.

3弓形扇形^MBD2343

故選：B

6.已知等邊A48C的邊長為2,M為5c的中點，若向7彳/22,則實數(shù)/的取值范圍為（）

A.[L2]B.[0,2]C.(-o>,0]U[2,+oo)D.

（-oo,-l]o[2,+oo）

【正確答案】C

【分析】

直接利用向量的模的運算法則列出不等式解得即可.

uuur1/UUTUUIT

【詳解】在A48c中，M為8C的中點，則=+=AB-AC=2>

所以萬一而=方_；(方+=方

所以國-/四\\--t\AB--tAC

I2)2

由同一刀個2,得[―5]與一5%之2,

即411—一2(1—整理得2/20,

解得此2或fWO,

所以實數(shù)/的取值范圍為(-8,0]U[2,+S).

故選：C.

本題考查兩個向量的加減法的法則、其幾何意義、兩個向量的數(shù)量積的定義以及向量的數(shù)量積的定義,

屬于基礎(chǔ)題.

7.《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底

4

面的四棱錐.如圖，在塹堵45C-451G中，AC1BC,44=2,當(dāng)陽馬5—/CG4的體積為1

時，塹堵45C-44G的外接球的體積的最小值為()

32

C.---71D.工

33

【正確答案】B

【分析】設(shè)NC=x,BC=y,由陽馬5—ZCG4的體積為8求得9=2,把塹堵45。-44cl補

形為長方體，求其對角線長的最小值，可得塹堵as。-44G的外接球的半徑的最小值，代入球的體

積公式即得答案.

【詳解】根據(jù)題意，把塹堵48。-45cl補形為長方體，則長方體的對角線即為塹堵ABC-45cl的

外接球的直徑，

14

設(shè)NC=x,BC=y,則陽馬5—ZCG4體積憶=§X2硬=],

.?.9=2,把塹堵45。-451G補形為長方體，

則長方體的對角線長L=yjx2+y2+4＞J2k+4=2收，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4i時上式取“=”.

即塹堵45c-44G的外接球的半徑的最小值為行，

二塹堵45c-44G的外接球的體積的最小值為s=gjrx（亞）=gjLr,

故選：B.

8.在銳角中，BC=2,sin5+sinC=3siM,點。是5c邊的中點，則/。的長度的取值范

圍是（）

A.[8,9）B.120,3）C.8。）D.2叵

【正確答案】D

Q1Q

【分析】根據(jù)題意由正弦定理可得力+。=6,結(jié)合銳角三角形解得一＜6＜一,再根據(jù)

33

而=；（礪+就）結(jié)合向量的運算律、余弦定理整理得隴.9-3）2+8,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)運算求

解即可.

【詳解】設(shè)角4民。所對的邊分別為“則a=8C=2,

VsinS+sinC=3sirk4,由正弦定理可得b+c=3a=6,即c=6-b,

b2+c2-a2=ZJ2+(6-Z?)2-4>0

Q1A

22222

若為銳角三角形，則《a+c-b=4+(6-b)-b>0,解得<b<一,

33

=4+〃_(6叫2〉o

又?.?點。是8C邊的中點，則赤=；（方+就）

uun2i/Uuruu叫2i/uur2uuruunuuir,

可得/Q=z(/5+/C)+2AB-AC+AC+c2+2bccos，)

4

=—Ib2+c2+2bcx+2(6叫

4

=Z>2-6Z>+17=(&-3)2+8,

注意到/(b)=(b-3)2+8開口向上，對稱軸6=3,且/⑶=8,/73

~9

uun273、F歷、

可得40G8,—,即4。的長度的取值范圍是2桓、

9)3,

故選：D.

二、多項選擇題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中不止一項符

合題目要求.全選對得5分，沒選全得2分，選錯得0分)

9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中(其中i為虛數(shù)單位)，正確的是()

A.i9=iB.復(fù)數(shù)z=3-2i的虛部為2i

2

C.對任意復(fù)數(shù)Z都有忖2=zD.復(fù)數(shù)Z為實數(shù)的充要條件是Z三

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方判斷A,根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)的平方運算和復(fù)數(shù)模的計算判斷C,

根據(jù)充要條件的定義判斷D.

【詳解】對于A：i9=i2*4+i=3故A正確；

對于B：復(fù)數(shù)z=3-2i的虛部為-2,故B錯誤；

對于C：設(shè)z=l—i,則z2=(1—ip=/—2i+i2=—2i,

則H=/+(—[J=2,所以c錯誤;

對于D：若復(fù)數(shù)z為實數(shù)，則z=N,

設(shè)2=。+歷，(a,6eR),若2=亍，即a+6i=a-6i,所以6=0,則復(fù)數(shù)z為實數(shù)，

故復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是z=亍，故D正確；

故選：AD.

10.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形

ABCDEFGH,其中|。4卜2,則下列結(jié)論正確的是()

FE

圖1

A.OA-OD=-2y/2+OH=-2OE

C.初―珂=2,2+正D.無在麗上的投影向量為-也無

2

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義、向量的線性運算法則，向量模的定義以及投影向量的概念計算判斷各選

項.

【詳解】04-00=|a4||o5|cosZ^(9r)=2x2xcos^=-2V2,A正確;

由向量加法的平行四邊形法則知歷+而是以。氏為鄰邊的平行四邊形的對角線對應(yīng)的向量，起

點是0,易知該平行四邊形的對角線長不等于CU的二倍，即礪+而力2次，而況=-無，因

此B錯誤;

—"■—*37r/-

OEOB=2x2xcos——二一2J2，

4

OE-OB—2^2rrI—>|

礪在礪上的投影為=_<2,又忸0=2,

，。豆在麗上的投影向量為-正‘礪=-9礪，D正確.

22

故選：ACD.

11.在一BC中，角/,2,C所對的邊分別為a,6,c,且a:b:c=2:3:4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sin4:sin3:sinC=2:3:4

B.&4BC是銳角三角形

C.若c=8,則AASC內(nèi)切圓半徑為

3

D.若c=8,則△48C外接圓半徑為犯叵

15

【正確答案】AC

【分析】利用正弦定理判定選項A正確；利用邊角關(guān)系和余弦定理判定選項B錯誤；利用三角形的面

積公式進而求出內(nèi)切圓半徑判定選項C正確；利用2火進行求解判定選項D錯誤.

sinC

【詳解】因為。：力：。=2:3:4,

所以設(shè),b=3t,c=4t且，〉0,

對于A：由正弦定理，WsinA:sinB:sinC=a:b:c=2:3:4,

即選項A正確；

對于選項B：因為a:6:c=2:3:4,所以角。最大，

「a1+b2-c24t2+9『—16t21

貝mi!l1cosC=--------------=------------------=——，

lab2x2zx3/4

即。為鈍角，即。是鈍角三角形，

即選項B錯誤；

對于C：若c=8,則。=4,b=6,

因為cosC=—，所以sinC=IX,

44

則SAABC=；absinC=1x4x6x^=3715,

設(shè)AASC的內(nèi)切圓半徑為r,

則，x(4+6+8)r=3詬，解得廠=巫，

23

即選項C正確；

對于D：若c=8,由正弦定理，得

2R=^—=^^-,即R=比叵，

sinC1515

即選項D錯誤.

故選：AC.

12.如圖，在棱長為2的正方體48CD—481cl。中，M,N,P分別是CCX,的中點，Q

是線段R4上的動點，則（）

A.存在點。，使3,N,P,。四點共面B.存在點0,使00〃平面

19TT

C.三棱錐PV2N的體積為一D.經(jīng)過C,M,B,N四點的球的表面積為一

32

【正確答案】ABC

【分析】對于A,連接48,CD,,可證得45〃PN,從而可得結(jié)論，對于B,連接尸Q,4G，

當(dāng)。是24的中點時，由線面平行的判定可證得，對于C,利用

嚏棱觸-MBN=G棱=匕棱錐D「PBN=七棱錐求解，對于D,分別取881,八。的中點E,F,

構(gòu)造長方體M4ORMCN,其體對角線就是外接球的直徑，求出體對角線的長，可求出球的表面積

【詳解】如圖，在正方體48C?！?4GA中，連接45，CR,

因為N,P分別是CG,的中點，所以CDJ/PN,

又因為CR〃4B，所以&B〃PN,

所以4,B,N,尸四點共面，即當(dāng)。與4重合時，B,N,P,0四點共面，故選項A正確；

連接尸0,4G，當(dāng)°是04的中點時，因為PQ〃4G，〃MN,所以

因為尸。仁平面aWN,"Nu平面3MM所以尸0〃平面故選項B正確；

連接RM,DXN,DXB,

因為//BN,

所以G棱黜-MBN=嚏棱腳/-PBN=/三棱啊-PBN=嚏棱蒯-。沖=-X—xlxlx2=

故選項C正確；

分別取B81,￡>￡>］的中點E,F,構(gòu)造長方體M4。廣E2CN,

則經(jīng)過C,M,B,N四點的球即為長方體M4Z）廣E2CN的外接球，

設(shè)所求外接球的直徑為2尺，

則長方體MADF-EBCN的體對角線即為所求的球的直徑，

即（2R『=AB'+BC2+CN2=^+A+\=9,

所以經(jīng)過C,M,B,N四點的球的表面積為4萬火2=9%,故選項D錯誤.

故選：ABC

三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）

ry

13.已知向量B滿足口=1,忖=2,￡%=-1，貝U=

【正確答案】布

【分析】直接平方進行運算即可得到答案.

rr2rr2r2rr.re

【詳解】a-b=\za-b\X=a-2a-b+^\=I2-2x(-1)+22=7,

則卜_目=77,

故答案為.4i

14.己知復(fù)數(shù)zi=-1+23Z2=1—z,Z3=3-23它們所對應(yīng)的點分別為/,B,。為坐標(biāo)原點，若

OC=xOA+yOB,則x+y的值是.

【正確答案】5

【分析】由題可知/(一1,2),B(l,-1),C(3,一2),利用向量關(guān)系可求出x,y.

【詳解】由已知得4(-1,2),5(1,-1),C(3,-2),

OC=xOA+yOB>

(3,-2)=x(—l,2)+y(l，—1)=(~x+y,2x—y),

—x+y=3

??.〈cc，解得x=l,y=4,

2x-y=-2

故x+y=5.

故5.

本題考查向量的運算，以及復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知AASC的內(nèi)角4B,C所對邊的長分別為a,b,c,已知AA8C的面積S滿足

(b+c『=(4G+8)S+〃，則角/的值為.

TT

【正確答案】一

6

【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式化簡已知條件，得cos/+l=(、回+2)sin/

求解cos/可得角/的值.

【詳解】由已知得力2+/一〃+26。=(4省+8)S,

根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，

得2bccosA+2bc=(A/3+2)-2bcsinA,

化簡為cosZ+1=（百+2）sin力，

由于46（0,兀），所以COS4+1=（V^+2）J1—COS24，

化簡得（4+2道卜os?4+cos4-（3+2月）=0,

即］（4+2G）cos4-（3+2百）（cos/+1）=0,

n

解得cos4=—，或cos4=—1（舍），

2

由于/e（0,兀），所以/=二.

6

,,兀

故一

6

16.已知等邊AABC的邊長為2,將其繞著BC邊旋轉(zhuǎn)角度6,使點A旋轉(zhuǎn)到A位置.記四面體AABC

的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為尺，當(dāng)四面體44BC的表面積最大時，A'A=

R

【正確答案】①.272②.2-。##—6+2

【分析】先判斷出當(dāng)氏4=T時四面體448c的表面積最大，即可求得/勿=2血；先求出表

面積，再得到/Z的中點。為四面體H4BC的外接球球心，即可求得R,再求出四面體的體積，由

「=；?4+26)/即可求得廠，即可求解.

77

易得的面積為定值，又顯然當(dāng)N?氏4=—時，此時△4R4'Q/C4'

2

面積最大，

即四面體448c的表面積最大，此時4/=2j1；

當(dāng)四面體H/8C的表面積最大時，易知四面體H48c的表面積最大值為

-x22x—x2+-x2x2x2=4+273，設(shè)/Z的中點為。，

222

易知OB=OC=；AA',；.OB=OC=OA=OA'=亞，即。為四面體Z'ZBC的外接球球心，，

四面體A'ABC的外接球半徑及=血，

,：OB=OC=e，且BC=2,：.BC2=OB2+OC2，，/BOC=%,由OC,08,0C,ZZ',

2

。民44七平面//8,

OB^AA'=O,可得。C，平面H48,，四面體H4BC的體積為「=Ls….。。=漢1

34AAD3

.4+2732

V立

=-jSD-ABC'r+-SD-A'BC'r+-jSD-AA'B-r+D-AA'C'V=~+，:-----------r=-----

33

解得r=----^-/=，

2+V3

4=冊=2一6

故2/；2-V3.

四、解答題(本大題共6個小題，第17題10分，其余各題12分，共70分)

cos<Aa

17.已知A48c中角4B、C所對的邊分別為“c滿足-----=-------.

cosC2b+c

(1)求角A；

(2)若a=7,c=3,求角A的平分線的長.

27r

【正確答案】(1)y

⑵”

8

【分析】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到2cos/sinB=-sinB,求得

cosA=--,即可求解；

2

(2)根據(jù)余弦定理列出方程求得6=5,結(jié)合5“明=3“.+邑0〃，即可求得角A的平分線的長.

【小問1詳解】

ecosAa,「、一EpCos/sin/

解：因為-----二--------，由正弦定理得------二---------------，

cosc2b+ccosC2sin5+smC

整理得2cos/sin3+cos/sinC=-sin/cosC,

即2cosAsinB=-sinAcosC-cosAsinC

又由sin/cosC+cos/sinC=sin(/+C)=sin(乃-5)=sin5,

所以2cosZsinB=-sin5，

又因為(0,乃)，可得sinB>0,所以cos4=—工，

2

又由/w(0/),所以4二——

3

【小問2詳解】

A=幺^且

解：由（1）知,a=7,c=3,

3

根據(jù)余弦定理得/=〃+°2—26ccos/，可得49=A?+9+3b，

即/+3/?-40=0，解得6=5或6=-8（舍去）,

設(shè)角/的平分線的長為x,

、1.27r171171

因為S^ABC=S4ABM敏，即~bcsin--=—cxsin—+—/?xsin—,

232323

日n1uc61cG1「G的由15

BP—x5x3x—=—x3xx----F—x5xx—，解得x=——,

2222228

即角/的平分線ZM的長為”.

8

18.如圖，保定市某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理”做成宣傳牌（CD）,放置在教學(xué)樓

的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳/處測得宣傳牌底部。的仰角為60。，沿該中

學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°.已知山坡的坡度為

z=1:3,AB=2V10m,AE=8m.

（2）求宣傳牌CA的高度.（結(jié)果保留根號）

【正確答案】⑴2m（2）（16-8⑹m

【分析】（1）根據(jù)坡度比以及勾股定理即可求解，

（2）根據(jù)銳角三角形的邊角關(guān)系即可結(jié)合圖形關(guān)系進行求解.

【小問1詳解】

由于7=1:3,所以8〃：2笈=1:3,

設(shè)BH=a,.'.AH=3a,則4B=+(3a)~=yJlQa=2>/10=>a=2，

所以88=2m,

【小問2詳解】

過點8作BE±CE,垂足為F,^BH=EF=2,BF=AH+AE=6+8=14,

在VADE中，DE=AE-tan60°=8^/3,

又BF=CF=14,:.CD=CF+EF-DE=14+2-8C=T6-86,

故宣傳牌CD的高度為(16-86)m,

19.如圖，在四棱錐尸—48C￡＞中，底面/BCD為直角梯形，其中4D〃8C,ADYBA，AD=3,

AB=BC=2,尸2,平面48CD,且PN=3,點M在棱尸。上（不包括端點），點N為8c中點.

（1）若DM=2應(yīng)？，求證：直線“N//平面

PM1

（2）已知點〃滿足——=-,求異面直線與4D所成角.

PD3

【正確答案】（1）證明見解析

（2）90°.

【分析】（1）取為的一個靠近點尸的三等分點。，連接QB,由題意可證得兒加〃8。，再由線

面平行的判定定理即可證明;

(2)過點M作"K//R4,交/。于K,連接KN,由線面垂直的判定定理證明40_L面MAK,即可

得出W140,即可得出答案.

【小問1詳解】

取我的一個靠近點P的三等分點。，連接QB,

因為DM=2赤，所以且QM=1，

又因為ADHBC,且8c=2,點N為8c中點，

所以BN//MQnBN=MQ,則四邊形MQBN為平行四邊形，

所以MNHBQ,JWU平面/MB,QBu平面

所以直線平面PAB.

【小問2詳解】

過點M作"K//PZ,交4。于K,連接KN,

可知"K上面/BCD,因為4Du面A8CZ),所以

PM1.,,MK2DK

又因為所cr以——

PD3PA3~DA

；PA=AD=3；.AK=1,：.AKI/BN,AK=BN,

所以四邊形AKNB為平行四邊形，KN//AB,

又因為所以KN，40,

又MKcNK=K,401.面跖\敢，因為"Nu面

MN1AD,

所以異面直線與40成角為90°.

20.如圖，已知三棱柱/BC/bSCi的底面是正三角形，側(cè)面831GC是矩形，M,N分別為3C,SiCi

的中點，P為上一點，過21cl和P的平面交于E,交/C于尸.

(1)證明：AAx/ZMN,且平面尸；

(2)設(shè)。為△/山Ci的中心，若/?！ㄆ矫姘鄆CiF,且/。=48,求直線3E與平面/14WN所成角的

正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)叵.

10

【分析】(1)由M,N分別為BC,4G的中點，跖W/CG,根據(jù)條件可得AAJ/BB、,可證跖V〃/4,

要證平面￡4G廠，平面4/MN，只需證明EE1平面即可；

(2)連接NP,先求證四邊形ONPZ是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得EP,在4G截取4Q=￡P(guān),

由(1)8C人平面4/AW,可得N0PN為耳￡與平面4/MN所成角，即可求得答案.

【詳解】(1),；M,N分別為BC,2G的中點，

MNHBBX,

又AA\UBB\,

MNHAAX,

在AASC中，M為8C中點，貝i]2C_L/M,

又???側(cè)面54G。為矩形，

BC±BB[,

MN1BC,

由MNcAM=M,u平面//JW,

BCJ.平面AXAMN,

又?：B[CJ/BC,且與G<Z平面48C,BCu平面45C,

.?.AG〃平面45C,

又；AGu平面EBCF,且平面上4。/c平面ABC=EF

:.B{CJIEF,

EFHBC,

又3C_L平面4蜀四，

EF1平面AXAMN,

,：EFu平面EB[C[F,

：.平面EBgF1平面A1AMN.

(2)[方法一]:幾何法

如圖，過。作用G的平行線分別交44,4G于點耳，耳，聯(lián)結(jié)/耳,/。,/月,八丁，

由于Z0//平面￡4G尸，4片//平面E4G廠，AOC\EXFX=0,

2。€=平面/耳片，耳片u平面/耳片，所以平面N耳耳//平面E4G廠.

又因平面/耳片n平面AA{B[B=AElt平面EB￡Fn平面AA^B=￡耳，所以EB{//AE-

因為耳GJ_&N,B[CJMN,&NCMN=N,所以與。]，面/&TW.

又因片月〃5iG，所以￡出，面441加0,

所以/￡1與平面AAXNM所成的角為/￡/(?.

22

令48=2,則A?i=l,由于。為△4AG的中心，故OE\=—NB、=—.

2

在中，AO=AB=2QE、=—,

3

由勾股定理得AE{=JACP+OE；=3回.

EQ屈

所以sin/￡/O=拓一記

由于￡用〃AEX,直線與￡與平面4旬四所成角的正弦值也為吟.

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

因為z。//平面斯G4，平面斯G4n平面蜀必同=人/尸，所以/O〃NP.

因為ON〃/尸，所以四邊形。4PN為平行四邊形.

由（I）知所工平面聞勿\M，則所為平面4m4］的垂線.

所以B.E在平面AMNA,的射影為NP.

從而B{E與NP所成角的正弦值即為所求.

在梯形￡尸。1月中，設(shè)EE=1,過￡作￡3,4。1，垂足為G,則尸N=EG=3.

在直角三角形4EG中，5吊/耳￡3=*=*.

［方法三］:向量法

由（I）知，4G，平面4/^w,則與總為平面4蜀河的法向量.

因為40〃平面￡片。/，ZOq平面4/AW,且平面4/4WC平面￡5］GE=PN,

所以ZO〃PN.

由（I）知AAJ/MN,A&=MN,即四邊形4PN0為平行四邊形，則力O=NP=/3.

因為。為正△44G的中心，故AP=ON=±AM.

由面面平行的性質(zhì)得防〃;用G，EE=；81G,所以四邊形MG4為等腰梯形.

由尸，N為等腰梯形兩底的中點，得尸N_L4G，則

PN-B^Cl=O,EBl=EP+PN+NBl=-B^Cl+PN--B[Cl=PN--B^Cl.

EB、-B[C[Vio

設(shè)直線與￡與平面Z/MV所成角為氏AB=a,貝Ijsine=To--

所以直線與￡與平面4/AW所成角的正弦值巫.

10

［方法四］:基底法

不妨設(shè)40=48=/C=2,

以向量數(shù)，篇,K為基底，

從而（京，君”〈后,衣），（森，就）=q.

______,__?__?2__?__?

EB^EA+AA.+A^B^-AB+AA,,BC=AC-AB

則阿卜胃匹麻|=2.

所以函.就=［赤+可.阮_函=:否就_：萬=_；

由（I）知8cl平面4/AW,所以向量工為平面4/4W的法向量.

設(shè)直線BE與平面44〃乂所成角6,則sin*cos（印,5。）二T一

X\\BC\

故直線B}E與平面Z/MN所成角的正弦值為sin。=巫

10

［方法五］:坐標(biāo)法

過。過底面/2C的垂線，垂足為0,以0為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)Z.OAM=3，AO=AB=2,

(Ji}

則用1,—,2sin(9,A(0,-2cos(9,0),5(1,73-2cos(9,0),

I3J

一1一百)

所以=-,^-,0,E-2cos，,0,

3133yli33?

所以B]E=[——,—2cos0,—2sin0],

易得：=(1,0,0)為平面44W的一個法向量,

VTo

則直線BiE與平面出/VN所成角的正弦值為To-

【整體點評】（2）方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關(guān)系進行等價轉(zhuǎn)化是解決問

題的關(guān)鍵；

方法二：等價轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；

方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；

方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的

法向量和直線的方向向量.

方法五：空間坐標(biāo)系法是立體幾何的重要方法，它是平面向量的延伸，其關(guān)鍵之處在于利用空間坐標(biāo)

系確定位置，找到平面的法向量和直線的方向向量.

21.在A/BC中，b=2^/3>從條件①GccosB=bsinC；條件②2a-c=2bcosC,兩個條件中，

選出一個作為已知，解答下面問題.

（1）若a=2,求△48C的面積；

（2）若A4BC為銳角三角形，求a+c的取值范圍.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【正確答案】（1）面積為2G

（2）（6,473]

7T

【分析】（1）由所選條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)及三角恒等變換求得2=3,再應(yīng)用正

弦定理求角A,最后求出三角形的面積；

（2）由題設(shè)及（1）得a+c=4[sin/+sin（g—/）],應(yīng)用三角恒等變換化簡，注意求A的范圍，根

據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.

【小問1詳解】

選①：V3sinCcos5=sinSsinC，又sinC>0，則tan5二百，

由臺￡（0,兀），故8=；,

a_b_2A/3_4]

根據(jù)sin/sin5^/3，而。=2,故sinZ=Q,AG（0,71）,

TTSjr

所以/二一或/二一（舍），

66

綜上，C=-,則的面積為工必=2百；

22

選②：2sin/—sinC=2sin（5+C）—sinC=2sinBcosC,

所以2sin5cosC+2cos5sinC-sinC=2sin5cosC,則2cos3sinC=sinC，

1兀

由sinC>0,則cos3二一，（0,7i）,可得5=7,

23

a_b_2A/3_41

根據(jù)sin/sinB->^3，而a=2,故sinZu^,AG（0,7t）,

T

jrSjr

所以/=—或/=一（舍），

66

綜上，C=~,則人48。的面積為工。6=2百；

22

【小問2詳解】

acb2>/3.。

------------------4../.7T

由(1)，sinZsinCsin56，貝!Ja=4sinZ,c=4sinC，且/+C=-^-，

T

所以

a+c=4(sinA+sinC)=4[sinA+sin(^-4)]=4A/3X(^-sin4+gcosA)=4Gxsin(4+,

c/兀

0</<一0

又為銳角三角形，J°之，則故z+'e（工里），

八2兀,兀62633

0<-----A<—

[32

所以sin（/+'）e（且,1],則a+ce（6,4V可.

62

22.如圖，圓柱。。的軸截面48CD為正方形，48=2,￡尸是圓柱上異于NO,的母線，P,0分

別為線段8R上的點.

（1）若P,。分別為3R即的中點，證明：P。//平面CDG

BPDQCF-_,

（2）若"三=7/=*7^W1,求圖中所示多面體FD0PC的體積廠的最大值.

PFQEDF

【正確答案】（1）證明見解析

（2）最大值十.

【分析】（1）連接CE,根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得四邊形8EFC為平行四邊形，即可得到

P為CE的中點，從而得到產(chǎn)?！–D,即可得證；

'兀

⑵設(shè)NCDF=￡,6>e0,—,即可得到CP=2sin。，DF=2cos0,再根據(jù)比例關(guān)系，表示

I4」

出ZDB，SAPCF，表示出三棱錐CRD與三棱錐。的高，根據(jù)錐體的體積公式得到

2(tan。]、

VCDFPQ=VQ-CFD+VQ-DCF=+A[+/+A[、2'令X=tan&0<X<1,貝lj

3(tand+1(tan0+1)J

4X+-+1

^CDFPQX,再令1/=工+工+1>3,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；

3

x+lx+—+2x

XX

【小問i詳解】

證明：如圖連接CE,

根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得8C〃EE且8C=EE,所以四邊形BEFC為平行四邊形,

因為P為AF的中點，所以尸為CE的中點，又。為￡￡)的中點，所以。?！–D,

因為平面CDE,CDu平面CDE,

所以P?！ㄆ矫鍯DE,

【小問2詳解】

JI

解：RtACDF中,設(shè)NCDF=e,6>e0,—,則CR=2sin。，DF=2cos0,

\4

BPDQCF2sin。

所以=---=----=-------=tan。W1

PFQEDF2cos8

所以邑℃尸=—CF-DF=2sin0cos0=sin20,