圖形與變換的復習方法與策略

圖形與變換的復習方法與策略寶坻三中王和近幾年天津中考，一些題型靈活、設計新穎、富有創(chuàng)意的圖形與變換試題涌現出來，其中一類以平移、軸對稱、旋轉、相似、圖形與坐標、視圖與投影等圖形變換為解題思路的題目更是成為壓軸大戲的主角。不過這些傳說中的主角，并沒有大家想象的那么神秘，只是我們需要找出這些題目的切入點。搞好中考復習，把圖形與變換的知識點全面、細致、透徹讓學生掌握并消化、吸收，中考時解決這類問題也就不成問題了。在圖形與變換中較易試題和大部分中等試題都考察學生的基礎知識和基本技能，所以在復習中應重視基本概念、基本圖形、基本思想方法的教學和基本運算及運用等能力的培養(yǎng)。抓好雙基就要回歸課本，多以課本的例題，習題為素材深入淺出，舉一反三地加以推敲，延伸和適當變形，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，以期達到新課標的要求。同時我們還必須特別關愛對數學學習有困難的學生，通過學習興趣的培養(yǎng)和學習方法的指導，使學生達到學習的基本要求。讓不同的學生得到不同的發(fā)展。在第一輪復習中應配備適當的練習，習題難度要加以控制。主要掌握圖形與變換的定理定義和知識點，為以后打好基礎提高能力做準備。在第二輪復習中，針對熱點，抓住弱點，開展專項訓練。近年中考涌現了大批形式活躍有益，啟迪智慧的好題目，我們在復習中應加以借鑒。在第三輪中全面練習，備課組老師集體創(chuàng)新新題和改編真題來提升學生對知識的深入理解。對于圖形與變換復習，我們主要從以下幾個方面去做：一、注重雙基抓好知識點；二、針對熱點專項訓練；三、模擬訓練提升解決問題的能力。一、注重雙基抓好知識點教師就應為學生梳理知識點，圖形與變換包括平移、軸對稱、旋轉、相似、圖形與坐標、今年總復習又把視圖與投影包括進來，使圖形與變換知識更加豐富。初三復習時間緊、任務重，在較短的時間內，如何提高復習的效率和質量，是每位初三學生所關心的首要問題。1．重視課本，系統復習。初中數學基礎包括基礎知識和基本技能兩方面?，F在中考命題仍然以基礎知識題為主，有些基礎題是課本上的原題或原題改編的題，后面的大題雖是“高于教材”，但原型一般還是教材中的例題式習題，如中考25題2008年扇形的旋轉、2009年三角形翻折、2010年平移、2011年旋轉和軸對稱是教材中例題或“課題學習”中的題目的引申、變形或組合，復習時應以課本為主。我們的做法是：引領學生復習課本中的探究和典型例題，再結合與此知識點對應的中考真題及模擬題進行對比講解，使學生鞏固基礎的同時，也得到了知識的拓廣與延伸。如七年級下冊數學課本p31頁拓廣探索第七題（造橋選址問題），有A、B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）分析：本題是一個對平移知識的綜合運用問題。我們學習過“兩點之間線段最短”，平移形成平行四邊形“平行且相等”，本題也利用這些知識，不過本題還有一個條件，即修建的橋必須是與河岸垂直的。此時我們就應該想到，利用平移的知識，先將在橋上要走的路程放在開始走，然后就可以利用“兩點之間線段最短”了。造橋選址問題是書上的一道題目，通過此題，引導同學們“你們學了哪些知識呢？想知道造橋選址問題中蘊涵的數學道理嗎?”探究與反思作法：（1）測量出橋的寬度；（2）將點A沿與橋平行的方向，向下平移橋的寬度個單位到A1；（3）連接A1、B交橋的一側于N；（4）過N作河岸的垂線，交河的另一側于M；（5）連接AM、MN、NB，則此時從A到B的路徑AMNB最短。說明：在本題中，橋必須與河岸垂直是一個需要突破的問題，我們將橋先平移到AA1，然后再作出A1、B之間的最短路徑，這樣問題就得以轉化。本例充分應用了平移知識，解決了生活中的常見問題，是一個利用數學知識解決生活中的問題的很成功的事例。在復習中讓學生分組畫出設計圖形，找出相關定理。又如八年級上冊數學課本P32，探究一個小木條L垂直平分另一個小木棒AB，得到線段垂直平分線的性質定理；和P34例題做出線段AB的垂直平分線，書上給出了結論：對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應點，做出對應所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸。書上的例題就是讓學生掌握軸對稱圖形的特點，繪畫出已知圖形的軸對稱圖形，復習時應加強練習。與此相聯系的中考題——天津2009年25題就考查了這部分內容。LLMNABABL天津（2009）已知一個直角三角形紙片，其中。如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點，與邊交于點。（Ⅰ）若折疊后使點與點重合，求點的坐標；（Ⅱ）若折疊后點落在邊上的點為，設，，試寫出關于的函數解析式，并確定的取值范圍；（Ⅲ）若折疊后點落在邊上的點為，且使，求此時點的坐標．xyBOxyBOAxyBOADC圖①xyBOB′DC圖②xyBOB′DC圖③xyBOAxyBOA天津2010年中考25題“周長最短”母題就是上述例題的綜合題，講完上題后馬上投影打出這道中考題。【問題】在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點．（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；yyyBOyyyBODCAxEGFyBODCAxE第第（25）題BODCAxEBODCAx【命題意圖】它著重考查平移、軸對稱性質、圖形與坐標、圖形中線段和極值問題。本題涉及平移性質、軸對稱的概念、三角形三邊關系、矩形的性質、平行四邊形的性質、直角三角形全等與相似等初中數學中的核心內容，滲透幾何變換與數形結合的數學思想，將推理論證與計算緊密結合起來，凸現了幾何基本圖形在學習中的重要性．讓學生在原有的知識上解決新的問題。可見，現在中考命題仍然以課本基礎知識題為主，它們來源于課本，有些基礎題是課本上的原題或改造。如九年級上冊57頁的探究旋轉的性質和下面的例題的作圖是復習的重點。還有P59頁復習鞏固第一題的作圖都要帶領學生分析研究透徹。（2011年天津25題的母題就涵蓋了這兩頁的知識內容）因此，我們應精心準備這方面的練習，幫助學生了解數學問題延伸與拓寬的來龍去脈，提升學生對知識的把握與探究能力。2．夯實基礎，學會思考圖形與變換包括平移、軸對稱、旋轉、相似、圖形與坐標。如學生已把定理定義掌握熟練，這樣才能在應用基礎知識時做到熟練、正確、迅速。復習教學中，我是這樣做的：（1）訓練學生熟記定理定義，理解定理的推導過程。在復習中加強記憶非常重要，老師在講題時要適時的提問定理定義，要求學生做到準確無誤。（2）訓練學生認真閱讀題干，讀全，讀懂，讀透，讓學生在復習訓練中有意識的積累。例題：如圖所示，半圓AB平移到半圓CD的位置時所掃過的面積為．（3）訓練學生認真閱讀圖形，把圖形語言翻譯成幾何語言。平時老師應加強圖中所含定理的訓練。訓練學生根據題干和圖形追蹤定理定義的能力，從而進一步得到解題思路。如圖3用等腰直角三角板畫，并將三角板沿方向平移到如圖所示的虛線處后繞點逆時針方向旋轉，則三角板的斜邊與射線的夾角為______度。（4）訓練學生快速正確地畫出理論草圖。如學生聽課不留心，老師應很快把圖形畫完，講清楚是根據定理和定義畫的。尤其是平移、旋轉、軸對稱的圖形。如2009年天津市中考數學試卷25題，三問都要自行畫草圖，所以平時學生就要打好用定義畫圖的基礎。（5）訓練學生在考試中有科學的心理活動。考試時要清楚不同檔次的題要不同對待，例如簡單但計算復雜的題就要暗示自己放慢節(jié)奏一定要做對。從這五方面入手，讓學生學會思考問題，提高答題技能并自覺形成數學思想方法。3．重視基礎知識的理解和方法的學習基礎知識就是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。掌握基礎知識之間的聯系，要做到理清知識結構，形成整體知識，并能綜合運用。例如：中考涉及圖形與變換包括平移、軸對稱、旋轉、相似、圖形與坐標與其它章節(jié)知識的鏈接等等。（圖5）（1）旋轉與全等鏈接（圖5）如圖5，直角梯形中，，，，，，將腰以點為中心逆時針旋轉至，連結，則的面積是．考點：旋轉的性質；等腰三角形及軸對稱的性質；全等判定；梯形的性質；勾股定理等。分析：主要利用旋轉和三角形全等求解，本題要求學生有較高的數學理論知識。OyxB（2）OyxB如圖，把拋物線與直線圍成的圖形繞原點順時針旋轉后，再沿軸向右平移1個單位得到圖形則下列結論錯誤的是（）A．點的坐標是B．點的坐標是C．四邊形是矩形D．若連接則梯形的面積是3考點：旋轉的性質；圖形與坐標；二次函數的對稱性；等腰三角形及軸對稱的性質。分析：本題要求學生能抽象出等腰三角形，進一步利用等腰三角形旋轉和平移解題。此題對提煉圖形語言能力提出了較高要求。（3）軸對稱與正方形鏈接如圖，正方形OABC的邊長為6，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D(2，0)在OA上，P是OB上一動點，則PA＋PD的最小值為（

）A．2

B．

C．4

D．6考點：正方形的性質；軸對稱的性質；兩點之間線段最短；勾股定理等。分析：根據正方形的對稱性，連接CP，當點P移動到CD與OB的交點處時PA+PD最小，即求CD的長。

二、針對熱點專項訓練中考熱點問題也離不開圖形與變換要考察的知識點。給學生舉出近幾年其它城市的相關中考題，在老師的帶領下讓學生研究此類問題考察了哪些知識。例1．已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了保護圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經過的路線長是OOOOOl2．已知：正方形中，，繞點順時針旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點．當繞點旋轉到時（如圖1），易證．（1）當繞點旋轉到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．BBMBCNCNMCNM圖1圖2BBMBCNCNMCNM圖1圖2圖3AAADDD2012年將繼續(xù)考查圖形的軸對稱、圖形的平移，旋轉并按要求畫出軸對稱、平移、旋轉后的圖形是考查的重點。圖形的軸對稱，圖形的平移，旋轉性質，聯系四邊形性質和相似、三角函數、勾股定理的綜合應用是考試的難點。2011年天津市中考數學試卷第2題考察中心對稱3分，第5題考察軸對稱（翻折）3分，第7題考察三視圖3分，第18題考察平移作圖3分，第25題為綜合題考察旋轉、軸對稱、相似10分。直接考察的就22分。其它利用相似的還不算。熱點問題的解決就是深挖定理的過程，復習中應適時地加強訓練。解決中考相似熱點問題需要在思維上切入到位，準確。切入點一：構造定理所需的圖形或基本圖形在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于天津中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構造定理所需的圖形或構造一些常見的基本圖形。如圖，平等四邊行ABCD中，E是AD上一點，連接CE交BD與F。BCEADF（1）當E是BCEADF（2）當DE=AD時，=；當DE=AD時，=；（3）當DE=AD時，求出的值。此題就是構造平行，形成A或X型相似，利用轉化思想進一步解決上述問題。切入點二：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結論在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應的位置或數量關系不發(fā)生改變。如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點(不與B，C點重合)，∠ADE＝45°．(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)設BD＝x，AE＝y，求y關于x的函數關系式；(3)當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．此題緊扣不變量∠ADE＝45°，問題迎刃而解。切入點三：在題目中尋找多解的信息，圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復認真的審題。如圖所示，在平面直角坐標系xOy內已知點A和點B的坐標分別為(0，6)，(8，0)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P，Q移動的時間為t秒．(1)求直線AB的解析式；(2)當t為何值時，△APQ與△ABO相似?在題目中滿足條件的情形不止一種，尋找多解的信息，圖形在運動變化，相似的對應就不只一種，如果學生思考到這里，多解自然就被發(fā)現。總之，問題的切入點很多，考試時也不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學往往想想覺得不行就放棄了，其實絕大多數的題目只要想到上述切入點，認真做下去，問題基本都可以得到解決。我們教師應在練習時多滲透給學生，讓他們在練習中逐步消化吸收，增長其本領。三、模擬訓練提升解決問題的能力模擬訓練綜合運用知識，提高自身各種能力1．初中數學基本能力有運算能力、思維能力、空間想像能力以及體現數學與生產、生活相關學科相聯系的能力等等。提高綜合運用數學知識解題的能力，要求同學們必須做到能把各個章節(jié)中的知識聯系起來，并能綜合運用，做到觸類旁通，查漏補缺，做好知識歸納、解題方法的歸納?？v觀中考中圖形與變換能力的考查，大致可分成兩個階段：一是考查讀圖、作圖能力、空間想像能力、邏輯思維能力及解決知識鏈接能力；二是強調閱讀能力、創(chuàng)新探索能力和數學應用能力。平時做題時應做到：（1）深刻理解知識本質，平時加強自己審題能力的鍛煉，才能做到變更命題的表達形式后不慌不忙，得心應手。（2）尋求不同的解題途徑與變通思維方式，注重自己思維的廣闊性。對于同一題目，尋找