2011年版人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊教材介紹

《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊簡介《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊包括二次根式，勾股定理，平行四邊形，一次函數(shù)，數(shù)據(jù)的分析等五章內(nèi)容，學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及到了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”全部四個領(lǐng)域。其中對于“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的內(nèi)容，本冊書在第十九章、第二十章分別安排了一個課題學(xué)習(xí)，并在每一章的最后安排了兩個數(shù)學(xué)活動，通過這些課題學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動落實(shí)“綜合與實(shí)踐”的要求。本書供義務(wù)教育八年級下學(xué)期使用，全書共需約62課時，具體分配如下：第十六章二次根式約9課時第十七章勾股定理約9課時第十八章平行四邊形約15課時第十九章一次函數(shù)約17課時第二十章數(shù)據(jù)的分析約12課時一、教科書內(nèi)容概述第16章“二次根式”主要討論如何對數(shù)和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生將建立起比較完善的代數(shù)式及其運(yùn)算的知識結(jié)構(gòu)，并為勾股定理、一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。第16.1節(jié)研究二次根式的概念和性質(zhì)。教材通過幾個具體問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識寫出結(jié)果，并概括它們的共同特點(diǎn)，引出二次根式的概念。接著，教科書采用從具體到抽象的方法，歸納出二次根式的性質(zhì)和。實(shí)際上，可以根據(jù)算術(shù)平方根的定義的出這兩條性質(zhì)。二次根式的運(yùn)算中，乘除運(yùn)算比加減運(yùn)算更容易，并且是加減運(yùn)算的基礎(chǔ)，因此教材先安排二次根式的乘除。顯然，運(yùn)算法則是運(yùn)算的依據(jù)，因此教材通過“探究”欄目，引導(dǎo)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)，從具體數(shù)字的運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而歸納得出二次根式的乘法法則、除法法則。最簡二次根式的概念是加減運(yùn)算的基礎(chǔ)，實(shí)際上也是對二次根式運(yùn)算結(jié)果的一種要求，同時也為二次根式的運(yùn)算明確了方向。第16.3節(jié)是二次根式的加減運(yùn)算。將二次根式化為最簡二次根式后，二次根式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是對被開方數(shù)相同的二次根式作“合并同類項(xiàng)”。由于“在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立”，因此二次根式的加減運(yùn)算實(shí)際上是利用了分配律。教科書按照這樣的思路，采用歸納的方法，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生概括了二次根式加減運(yùn)算法則，并通過幾個二次根式混合運(yùn)算的例題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識二次根式的性質(zhì)、運(yùn)算法則與整式的性質(zhì)、運(yùn)算法則之間的一致性。第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它們的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用。第17．1節(jié)“勾股定理”，教科書安排了對于勾股定理的觀察、計(jì)算、猜想、證明及簡單應(yīng)用的過程。教科書從畢達(dá)哥拉斯觀察地面發(fā)現(xiàn)勾股定理的傳說談起，讓學(xué)生通過觀察計(jì)算一些以直角三角形兩條直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理，這時教科書以命題1的形式呈現(xiàn)了勾股定理。關(guān)于勾股定理的證明方法有很多，教科書正文中介紹了我國古人趙爽的證法。之后，教科書相應(yīng)安排了兩個例題和一個“探究”欄目，讓學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題和解決數(shù)學(xué)問題（畫出長度是無理數(shù)的線段等）問題，并運(yùn)用定理證明了斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。第17．2節(jié)“勾股定理的逆定理”，教科書首先讓學(xué)生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形都是直角三角形，從而作出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。教科書借助于勾股定理和判定全等三角形的定理(SSS)證明了這個猜想，得到了勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理是判定一個三角形是直角三角形的一種重要依據(jù)。教科書安排了兩個例題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)會運(yùn)用這個定理。本節(jié)結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立。第18章“平行四邊形”主要研究一般平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定，還研究了矩形、菱形和正方形等幾種特殊的平行四邊形。第18.1節(jié)主要研究一般平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定。教科書從實(shí)際生活中的圖形出發(fā)，抽象概括出平行四邊形的概念，通過一系列的探究活動，得出平行四邊形的性質(zhì)和判定方法，并對所得結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评碜C明。作為平行四邊形性質(zhì)定理的應(yīng)用，教科書介紹了兩條平行線間距離的概念；作為平行四邊形判定定理的應(yīng)用，教科書探究并證明了三角形中位線定理。第18．2節(jié)主要研究矩形、菱形、正方形的概念、性質(zhì)和判定，本節(jié)是在前一節(jié)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究這幾種特殊的平行四邊形。教科書首先研究了矩形和菱形，它們都是有一個特殊條件的平行四邊形，矩形是有一個角是直角的平行四邊形，菱形是有一組鄰邊相等的特殊的平行四邊形。在此基礎(chǔ)上，教科書研究了同時具有兩個特殊條件的平行四邊形，即正方形，它是有一個角是直角的特殊菱形，又是有一組鄰邊相等的特殊矩形。第19章是“一次函數(shù)”，其主要內(nèi)容包括：常量與變量的意義，函數(shù)的概念，函數(shù)的三種表示法，一次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用舉例，一次函數(shù)與二元一次方程等內(nèi)容的關(guān)系，以及以建立一次函數(shù)模型來選擇最優(yōu)方案為素材的課題學(xué)習(xí)。19．1節(jié)是全章的基礎(chǔ)部分，內(nèi)含2個小節(jié)。19.1.1小節(jié)“變量與函數(shù)”結(jié)合簡單的實(shí)際問題，對事物的運(yùn)動變化進(jìn)行數(shù)量化討論，先引出常量和變量的意義，再從描述變量之間對應(yīng)關(guān)系的角度刻畫了一般函數(shù)的基本特征，從而初步建立函數(shù)的概念，并給出函數(shù)的解析式的意義。19.1.2小節(jié)“函數(shù)的圖象”在本章之前已有直角坐標(biāo)系內(nèi)容的基礎(chǔ)上，以具體函數(shù)為例，介紹能形象化地表示函數(shù)的重要工具——函數(shù)的圖象，并歸納表示函數(shù)的三種方法（解析式法、列表法和圖象法），為今后繼續(xù)研究各類具體的函數(shù)進(jìn)行必要的準(zhǔn)備。19.2節(jié)是全章的重點(diǎn)內(nèi)容，內(nèi)含3個小節(jié)。19.2.1小節(jié)“正比例函數(shù)”以火車運(yùn)行中“路程=平均速度×?xí)r間”為問題情境，引出正比例函數(shù)的概念、圖象和增減變化規(guī)律。19.2.2小節(jié)“一次函數(shù)”以登山中氣溫隨海拔而變化為問題情境，引出一次函數(shù)的概念，并對比正比例函數(shù)，研究一次函數(shù)的圖象和增減變化規(guī)律。一次函數(shù)是一種最基本的初等函數(shù)，對它的討論中函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化能發(fā)揮重要作用。這是“數(shù)形結(jié)合”的思想方法的體現(xiàn)，它對今后進(jìn)一步研究其他類型的函數(shù)具有啟示作用。19.2.3小節(jié)“一次函數(shù)與方程、不等式”從一次函數(shù)的角度，對一次方程和不等式進(jìn)行再認(rèn)識，揭示函數(shù)與以前學(xué)習(xí)的方程等內(nèi)容之間的聯(lián)系。19.3節(jié)是全章的拓展提高部分，作為探究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容，它以課題學(xué)習(xí)的形式呈現(xiàn)，通過對“怎樣選取上網(wǎng)收費(fèi)方式”和“怎樣租車”兩個典型問題的討論，探求解決實(shí)際問題的最優(yōu)方案，展示函數(shù)的應(yīng)用價值，突出建立數(shù)學(xué)模型的思想方法和實(shí)際意義。第20章“數(shù)據(jù)的分析”主要研究平均數(shù)（主要是加權(quán)平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)以及方差等統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)意義，學(xué)習(xí)如何利用這些統(tǒng)計(jì)量分析數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散情況，并通過研究如何用樣本的平均數(shù)和方差估計(jì)總體的平均數(shù)和方差，進(jìn)一步體會用樣本估計(jì)總體的思想。第20.1節(jié)，教科書分兩小節(jié)研究了加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)。20.1.1小節(jié)，教科書研究了加權(quán)平均數(shù)，包括權(quán)的意義、作用和不同的形式。首先，教科書設(shè)計(jì)了以招聘英文翻譯為背景的實(shí)際問題，根據(jù)不同的招聘要求，各項(xiàng)成績的“重要程度”不同，從而平均成績不同，由此引入加權(quán)平均數(shù)的概念?！皺?quán)”的重要性在于它能夠反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”，為了更好地說明這一點(diǎn)，教科書設(shè)置“思考”欄目和例1，從不同方面體現(xiàn)“權(quán)”的作用，使學(xué)生更好地理解加權(quán)平均數(shù)，體會“權(quán)”的意義和作用。求加權(quán)平均數(shù)的問題形式多樣，教科書在問題1和例1之后，又介紹了兩種：一是在求n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)時，有時會遇到重復(fù)數(shù)據(jù)較多的情況，這時可以將求算術(shù)平均數(shù)的公式進(jìn)行簡化，比如可以寫成，此時可以看成是的權(quán)，只是這里“權(quán)”的意義并不是很突出；二是通過一個探究欄目，研究了對于區(qū)間分組的數(shù)據(jù)如何求加權(quán)平均數(shù)的問題，這類問題是統(tǒng)計(jì)中常見的。通過不同形式的問題，教科書希望學(xué)生能對加權(quán)平均數(shù)有一個全面的認(rèn)識。最后，教科書結(jié)合例3，介紹了如何利用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)的問題，使學(xué)生對抽樣的必要性、樣本的代表性和用樣本估計(jì)總體的思想有了更深的體會。20.1.2小節(jié)，教科書研究了中位數(shù)和眾數(shù)。中位數(shù)是一個反映數(shù)據(jù)集中趨勢的位置代表值，能夠表明一組數(shù)據(jù)排序最中間的統(tǒng)計(jì)量，可以提供這組數(shù)據(jù)中，約有一半的數(shù)據(jù)大于（或小于）中位數(shù)。眾數(shù)是表明一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)一組數(shù)據(jù)有較多的重復(fù)數(shù)據(jù)時，眾數(shù)往往是人們所關(guān)心的一個統(tǒng)計(jì)量，它提供了哪個（些）數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多。對于中位數(shù)和眾數(shù)的作用，教科書安排了層層遞進(jìn)的幾個問題來研究。問題2是一個典型的員工收入問題，其情境蘊(yùn)含了引入中位數(shù)和眾數(shù)的必要性，并由此引入中位數(shù)和眾數(shù)；例4和例5分別利用體育比賽問題和銷售量問題說明了中位數(shù)和眾數(shù)的作用；例6是一個綜合利用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)解決問題的例子，在這個例子中，涉及到根據(jù)具體問題的的需要選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量來刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢的問題，在解決問題的過程中，也讓學(xué)生經(jīng)歷一個對數(shù)據(jù)適當(dāng)分組、用表格整理數(shù)據(jù)、用統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，分析統(tǒng)計(jì)圖表和計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來分析數(shù)據(jù)的一個數(shù)據(jù)處理的基本過程。在本節(jié)最后，教科書利用一個歸納的欄目，對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三種刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了概括總結(jié)，突出了它們各自的統(tǒng)計(jì)意義和各自的特征。第20.2節(jié)，教科書研究了刻畫數(shù)據(jù)波動程度的統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)中刻畫數(shù)據(jù)波動程度的統(tǒng)計(jì)量常有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、平均差、四分位差等，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，本章只研究方差，它是統(tǒng)計(jì)中常用的一種刻畫數(shù)據(jù)波動程度的統(tǒng)計(jì)量。教科書根據(jù)農(nóng)科院選擇甜玉米種子的背景提出問題，從統(tǒng)計(jì)上看，這個問題是要計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和比較它們的波動情況。通過計(jì)算可知兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是相同的，這一點(diǎn)有利于學(xué)生理解數(shù)據(jù)的波動情況。為了直觀看出數(shù)據(jù)的波動情況，教科書畫出了兩個散點(diǎn)圖，通過觀察散點(diǎn)圖，可以比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況。這兩個散點(diǎn)圖使學(xué)生對數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況有一個直觀的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，教科書引進(jìn)了利用方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方法，介紹了方差的公式，并從方差公式的結(jié)構(gòu)上分析了方差是如何刻畫數(shù)據(jù)的波動的，即方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小。將利用方差刻畫數(shù)據(jù)的波動和利用散點(diǎn)圖顯示數(shù)據(jù)的波動結(jié)合起來，更有利于學(xué)生理解方差的意義。第20.3節(jié)，教科書安排了一個具有一定綜合性和活動性的“課題學(xué)習(xí)”。這個“課題學(xué)習(xí)”選用了與學(xué)生生活聯(lián)系密切的體質(zhì)健康問題。由于本章是統(tǒng)計(jì)部分的最后一章，因此這個課題學(xué)習(xí)的綜合性比前一章統(tǒng)計(jì)中的課題學(xué)習(xí)更強(qiáng)。為了便于教學(xué)操作，教科書根據(jù)《中學(xué)生體質(zhì)健康登記表》提供了一個樣例，樣例中涉及到選擇樣本收集數(shù)據(jù)、用統(tǒng)計(jì)表圖整理和描述數(shù)據(jù)，通過計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差等分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的統(tǒng)計(jì)過程。二、編寫時考慮的幾個問題1．加強(qiáng)知識之間的相互聯(lián)系本書作為七～九年級的六冊數(shù)學(xué)教科書的第四冊，編寫時特別重視與前面已學(xué)知識的聯(lián)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移。例如，在第16章“二次根式”中，教科書注意從算術(shù)平方根的意義得到與二次根式有關(guān)的結(jié)論，注意二次根式的加減與整式的加減，以及二次根式的混合運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法的類比，幫助學(xué)生掌握新內(nèi)容。在第17章“勾股定理”中，教科書引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理在數(shù)軸上做出表示形如等無理數(shù)的點(diǎn)，進(jìn)一步提高學(xué)生對“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)”的認(rèn)識；運(yùn)用勾股定理證明了八年級上冊中通過畫圖得出的結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。在第18章“平行四邊形”中，利用學(xué)生在前三冊教科書中，已經(jīng)學(xué)習(xí)的幾何知識和方法，探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，進(jìn)一步體會研究圖形幾何性質(zhì)的思想方法，即通過觀察、類比、特殊化等發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)，再通過邏輯推理證明性質(zhì)。在第19章“一次函數(shù)”中，專門安排“一次函數(shù)與方程、不等式”，從函數(shù)的角度對前面學(xué)習(xí)過的二元一次方程組以及一元一次方程、一元一次不等式等重新進(jìn)行分析，用函數(shù)的觀點(diǎn)把互相聯(lián)系的方程（組）、不等式、函數(shù)統(tǒng)一起來，既加深對方程（組）與不等式等數(shù)學(xué)對象的理解，又加大對已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)內(nèi)容之間的聯(lián)系的認(rèn)識。對于刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，學(xué)生在前兩個學(xué)段已經(jīng)學(xué)習(xí)，在第20章“數(shù)據(jù)的分析”中，教科書是在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在研究數(shù)據(jù)集中趨勢的大環(huán)境下提高對這些統(tǒng)計(jì)量的認(rèn)識的。一次函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)體現(xiàn)出“從特殊到一般”地認(rèn)識問題是學(xué)習(xí)的一種有效途徑。在討論函數(shù)解析式、圖象、性質(zhì)等問題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意比較函數(shù)和的異同，考慮前者如何轉(zhuǎn)化為后者以及由此產(chǎn)生的圖象變化。從而利用兩者之間的聯(lián)系，將正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特殊形式來認(rèn)識，再將已獲得的結(jié)論擴(kuò)充到對一般的一次函數(shù)的討論之中。教學(xué)中應(yīng)注意教科書的前后聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識分析解決問題時“先從特殊對象切入，再擴(kuò)展推廣到一般對象”的策略。綜上分析，教學(xué)時可以結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，進(jìn)行適當(dāng)復(fù)習(xí)，加強(qiáng)知識間的相互聯(lián)系與綜合，在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生的學(xué)生形成正遷移。2．密切聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)模型思想我們生活在一個豐富多彩的世界，其中存在大量問題涉及用數(shù)學(xué)知識去解決，這也為我們提供了大量的現(xiàn)實(shí)素材。在教科書的編寫時，我們力求貫徹理論聯(lián)系實(shí)際的原則，概念的產(chǎn)生，力求從實(shí)際需要出發(fā)，內(nèi)容素材的選取，力求貼近學(xué)生的生活實(shí)際和社會現(xiàn)實(shí)，并注意把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到解決實(shí)際問題的過程中去，體現(xiàn)模型這一基本思想。例如，二次根式的概念、二次根式的加減都是從實(shí)際問題引出的，體現(xiàn)了式在表示數(shù)量關(guān)系上的作用。在“勾股定理”一章中，對于勾股定理及其逆定理的發(fā)現(xiàn)是結(jié)合實(shí)際生活展開的，同時也編寫了這兩個定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。在“平行四邊形”一章中，充分體現(xiàn)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形等與生活的密切聯(lián)系。由于統(tǒng)計(jì)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系是非常緊密的，在“數(shù)據(jù)的分析”一章中，注意發(fā)揮典型案例的作用，對于加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量的學(xué)習(xí)，都是在分析實(shí)際案例的過程中展開的，在解決實(shí)際問題的過程中理解統(tǒng)計(jì)的概念和原理。函數(shù)作為研究運(yùn)動變化的重要數(shù)學(xué)模型，它來源于客觀實(shí)際又服務(wù)于客觀實(shí)際。在“一次函數(shù)”中，實(shí)際問題貫穿于始終，它們中有些是作為認(rèn)識函數(shù)概念的實(shí)際背景，為降低學(xué)習(xí)抽象概念的難度服務(wù)的。例如，在引入一般函數(shù)的概念時，教科書通過對一系列實(shí)際問題中變量間關(guān)系的分析與描述，歸納出其中共有的一般規(guī)律，得出函數(shù)的定義。這樣的過程是由具體到抽象，由特殊到一般的過程，是以將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型為線索的展現(xiàn)過程。有些實(shí)際問題是作為應(yīng)用舉例體現(xiàn)函數(shù)的廣泛的應(yīng)用性，為培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識和能力服務(wù)的。例如，19.3節(jié)中的問題1問題2都是具有實(shí)際背景的選擇最優(yōu)方案的問題。要解決這些問題，需要先確定問題中起關(guān)鍵作用的變量，再列出函數(shù)解析式，然后分析這些函數(shù)解析式或相應(yīng)的圖象，找出問題中要考慮的最小（大）值。在分析和解決問題的過程中，把這些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系用一次函數(shù)來表示，是解決問題的關(guān)鍵，一次函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型發(fā)揮了重要作用。通過對這些問題的探究，進(jìn)一步加強(qiáng)對數(shù)學(xué)建模的作用的認(rèn)識。3．加強(qiáng)研究思路與學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，滲透數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)教學(xué)的最主要任務(wù)是使學(xué)生學(xué)會思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這是由數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)決定的。用什么方式引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，使學(xué)生在掌握知識的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思考方法，從學(xué)會思考逐步走向?qū)W會學(xué)習(xí)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，是教科書編寫中需要認(rèn)真思考和落實(shí)的主要任務(wù)。例如，在第18章“平行四邊形”中，沿用平行線、三角形的研究套路，先研究平行四邊形的邊、角、對角線等組成要素的關(guān)系，得到平行四邊形的性質(zhì)定理；再研究平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題，得出得到平行四邊形的判定定理。在第16章“二次根式”中，體現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本思想和基本方法，采用如下思路展開：二次根式的概念（定義研究對象）——二次根式的性質(zhì)——二次根式的運(yùn)算（運(yùn)算法則和運(yùn)算律的應(yīng)用）。本書各章注重以知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，努力為學(xué)生構(gòu)建一個“觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納、猜想、推理、反思”的數(shù)學(xué)思維活動過程，通過不同欄目引導(dǎo)學(xué)生的思考、探究活動，讓學(xué)生體會從特殊到一般，從具體到抽象的研究過程和方法，使他們既學(xué)會發(fā)現(xiàn)，又學(xué)會歸納、概括，從而逐步提高學(xué)生的思考力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思想和方法來思考和處理問題的習(xí)慣。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)僅僅是單純的知識傳授，更應(yīng)注意對其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法提煉和總結(jié)，使之逐步被學(xué)生掌握并對他們發(fā)揮指導(dǎo)作用，能更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。因此各章內(nèi)容展開時注意對數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)。前面已經(jīng)說過，在本冊教科書的知識內(nèi)容中蘊(yùn)含著許多基本的數(shù)學(xué)思想方法。例如，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)問題解決實(shí)際問題的模型化思想；函數(shù)的表示法之一是圖象法，即通過坐標(biāo)系中的曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)反映變量之間的對應(yīng)關(guān)系。這種表示方法的產(chǎn)生，將數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，提供了數(shù)形結(jié)合地研究問題的重要方法，這在數(shù)學(xué)發(fā)展中具有重要地位。“一次函數(shù)”中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究函數(shù)問題。人們認(rèn)識事物往往經(jīng)歷“從特殊到一般”的過程，教科書對重點(diǎn)內(nèi)容的安排正是按照這樣的過程展現(xiàn)的。例如，教科書在展開一次函數(shù)時，首先從討論正比例函數(shù)開始，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，即中的類型。對正比例函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)的討論，可以為討論一般的一次函數(shù)奠定基礎(chǔ)。具體地，在討論一次函數(shù)的圖象時，教科書先對比函數(shù)和在解析式上的區(qū)別，由此自然地引出對直線作平移變換可得到直線，這就確定了一次函數(shù)圖象的形狀。在此基礎(chǔ)上，教科書又討論由兩點(diǎn)確定直線的一般方法，并引出如何確定一次函數(shù)的解析表達(dá)式，得出關(guān)于一次函數(shù)的一般性結(jié)論。這個過程展示了解決問題的一種基本策略，即“先特殊化、簡單化，再一般化、復(fù)雜化”的做法。對數(shù)學(xué)思想方法的介紹，要注意學(xué)生的接受能力，對于初中學(xué)生來說，我們主要是以滲透的方式安排的。4．注重體現(xiàn)科學(xué)進(jìn)步，關(guān)注數(shù)學(xué)文化本套教科書力求能夠成為反映科學(xué)發(fā)展和文化進(jìn)步的一面鏡子，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)性和應(yīng)用性，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)中蘊(yùn)涵的文化。本冊書不僅涉及數(shù)學(xué)與實(shí)際的關(guān)系，滲透建模、數(shù)形結(jié)合、統(tǒng)計(jì)思想等重要的數(shù)學(xué)思想，而且涉及勾股定理的發(fā)現(xiàn)等重大史實(shí)。對于勾股定理，我國古代有許多重要成就，不僅發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法進(jìn)行了證明，尤其在勾股定理的應(yīng)用方面，對其他國家的影響很大，這些都是我國人民對人類的重要貢獻(xiàn)。在“勾股定理”一章，教科書結(jié)合具體內(nèi)容，介紹了我國古算書《周髀算經(jīng)》關(guān)于“勾三、股四、弦五”的記載，介紹了趙爽弦圖，以及趙爽利用弦圖證明勾股定理的思路?！摆w爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲。正因?yàn)榇?，這個圖案被選為2002年在北京召開的世界數(shù)學(xué)家大會的會徽。另外，在“閱讀與思考勾股定理的證明”中還介紹了國外幾種證明勾股定理的方法，在“閱讀與思考費(fèi)馬大定理”中則進(jìn)一步介紹了與勾股定理有一定關(guān)系的費(fèi)馬大定理的研究進(jìn)展。由此使學(xué)生逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的科學(xué)文化素養(yǎng)。三、對教學(xué)的幾個建議1．把握好教學(xué)要求對于二次根式，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對本章的內(nèi)容和要求規(guī)定為“了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運(yùn)算”，這樣就把本章的學(xué)習(xí)對象限定在了“根號下為數(shù)的二次根式”，但這是最低要求。為了使學(xué)生更全面地了解二次根式的運(yùn)算，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，也為今后高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，教材在正文中設(shè)置了“選學(xué)例題”，采用舉例的方式，教學(xué)中應(yīng)讓那些學(xué)有余力的學(xué)生能夠?qū)W到“根號下為字母的二次根式”的運(yùn)算。函數(shù)是數(shù)量化地表達(dá)變化與對應(yīng)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具，某些變化規(guī)律表現(xiàn)為變量之間滿足單值對應(yīng)的關(guān)系，函數(shù)就是通過數(shù)或形定量地描述這種對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)工具。對函數(shù)概念的核心“變化與對應(yīng)”的觀點(diǎn)認(rèn)識，需要分階段地完成，逐步深化認(rèn)識程度。本套教科書將對代數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)分三章安排，即八年級下學(xué)期學(xué)習(xí)第19章“一次函數(shù)”，九年級上學(xué)期學(xué)習(xí)第22章“二次函數(shù)”，九年級下學(xué)期學(xué)習(xí)第26章“反比例函數(shù)”。在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容之前，教科書已分別安排了一次方程（組）、一元二次方程及分式方程等內(nèi)容。從教科書的整體框架上看，在“數(shù)與代數(shù)”分支中，運(yùn)算類型的變化是重要的發(fā)展線索。根據(jù)“一次”“二次”等代數(shù)式運(yùn)算類型，將各種函數(shù)作為與其相關(guān)的方程的后續(xù)發(fā)展。一元一次方程、二元一次方程組和一元一次不等式等都是以一次（線性）運(yùn)算為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，第19章“一次函數(shù)“在學(xué)生對它們已有一定認(rèn)識的基礎(chǔ)上，繼續(xù)討論一次函數(shù)，從變化和對應(yīng)的角度對一次運(yùn)算進(jìn)行更深入的討論。教科書在進(jìn)入專門對一次函數(shù)的討論之前，安排學(xué)生先了解函數(shù)的一般概念。19.1節(jié)中，首先，從幾個實(shí)際問題情境入手，引導(dǎo)學(xué)生通過填表和列式表示問題中相關(guān)的量，從中認(rèn)識常量和變量的主要特征，學(xué)會區(qū)別它們。接著，教科書通過“歸納”欄目總結(jié)出這些問題中變量之間關(guān)系的共同特點(diǎn)，即“問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一變量就有唯一確定的值與其對應(yīng)。”教科書又繼續(xù)用心電圖、人口統(tǒng)計(jì)表等問題對這種變化與對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行了補(bǔ)充和強(qiáng)化，這也為后面歸納多種函數(shù)表示法寫下伏筆。在此基礎(chǔ)上，教科書第一次給出了函數(shù)的一般概念以及自變量、函數(shù)值等概念。教科書中給出的函數(shù)定義是突出變化與對應(yīng)的，其中主要有兩層意思：（1）兩個變量互相聯(lián)系，一個變量變化時另一個變量也發(fā)生變化；（2）函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。以上兩點(diǎn)是關(guān)于函數(shù)的最基本、最樸素的刻畫，也是教科書關(guān)于函數(shù)概念的論述中力求能使學(xué)生認(rèn)識的重點(diǎn)內(nèi)容。對于統(tǒng)計(jì)中一些重要的思想方法，本套教科書采用螺旋上升的編排方式。例如，關(guān)于用樣本估計(jì)總體的思想，在本學(xué)段要求“體會樣本與總體的關(guān)系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)和總體方差”等。對于這個要求，教科書在第10章“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”和第20章“數(shù)據(jù)的分析”都有安排，但在要求上有不同的層次。第10章從收集數(shù)據(jù)的角度研究抽樣調(diào)查，要求初步感受抽樣調(diào)查的必要性，初步體會用樣本估計(jì)總體的思想；第20章要求通過較多實(shí)例，從不同的方面進(jìn)一步感受抽樣的必要性，并初步感受樣本的代表性，體會不同的抽樣可能得到不同的結(jié)果，能夠用樣本的平均數(shù)、方差估計(jì)總體的平均數(shù)、方差等。教學(xué)時，要注意把握教學(xué)要求。2．加強(qiáng)基礎(chǔ)知識和基本技能，提高基本能力由于本冊書的內(nèi)容涉及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的所有四個領(lǐng)域，應(yīng)更加重視基礎(chǔ)知識和基本技能，提高學(xué)生的基本能力。作為函數(shù)的起始章，“一次函數(shù)”中函數(shù)的基本概念，函數(shù)的一般表示法和一次函數(shù)的概念、解析式、圖象、性質(zhì)等是基礎(chǔ)知識；會畫一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的增減性質(zhì)等是基本技能；能利用一次函數(shù)分析和解決簡單實(shí)際問題是基本能力。掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)訓(xùn)練基本能力，都應(yīng)在教學(xué)中得到落實(shí)。例如，第19.1節(jié)中對于描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟進(jìn)行了歸納，這對后續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)內(nèi)容很重要，應(yīng)使學(xué)生熟悉它。又如，一次函數(shù)中的正負(fù)對函數(shù)的增減性（圖象的升降）的影響等，是一次函數(shù)的基本性質(zhì)，應(yīng)使學(xué)生從數(shù)形兩方面理解。用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式，關(guān)系到圖象到解析式的轉(zhuǎn)化，涉及方程組與解析式的聯(lián)系，對提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力很有益。在“二次根式”教學(xué)中，要更加注重運(yùn)算能力的培養(yǎng)，具體地落實(shí)在運(yùn)算技能的訓(xùn)練上；在“平行四邊形”教學(xué)中，要進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的推理能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練。3．結(jié)合課題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生提高實(shí)踐意識與綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力本冊書有兩個課題學(xué)習(xí)，是整套教科書中課題學(xué)習(xí)較多的一冊書。第19.3節(jié)“課題學(xué)習(xí)選擇方案”的教學(xué)具有特殊的地位和作用。這一以一次函數(shù)為主要知識點(diǎn)的專題內(nèi)容，其中的“尋求最佳方案”是現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常面臨的問題。對于這類問題，數(shù)學(xué)知識大有用武之地。這一節(jié)討論的兩個問題，與客觀實(shí)際的接近程度很高，并且適合綜合運(yùn)用函數(shù)的解析式、圖象等知識進(jìn)行分析。因此，這些問題具有一定的實(shí)踐性、綜合性、探究性、趣味性，是檢驗(yàn)和提高學(xué)習(xí)能力的較好素材。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，