6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理（二）課件高二下學期數學人教A版選擇性

6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理（二）1.分步加法計數原理和分類乘法計數原理課前回顧2.做一做：（1）某一數學問題可用兩種方法證明,有6名同學只會用第一種方法證明,有4名同學只會用第二種方法證明,現從這些同學中任選1名同學證明這個問題,不同的選法種數為(

)A.10 B.16 C.20 D.24解析:每一種方法都能證明該問題,根據分類加法計數原理,不同的選法共有6+4=10(種).答案:A（2）一個袋子里放有6個球,另一個袋子里放有8個球,每個球各不相同,從兩個袋子里各取一個球,不同取法的種數為

.

解析:由分步乘法計數原理得不同取法的種數為6×8=48.答案:481．進一步理解和掌握分類加法計數原理和分步乘法計數原理；2．能應用兩個計數原理解決實際問題.學習目標

例4、給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數字1~9，最多可以給多少個程序命名？解2:首字符用A~G給程序命名的個數為7×9×9＝567.首字符用U~Z給程序命名的個數為6×9×9＝486.∴總的不同名稱的個數是567＋486＝1053.思考你還能給出不同的解法嗎?解:由分類加法計數原理，首字符不同選法的種數為7＋6＝13.后兩個字符從1~9中選，因為數字可以重復，所以不同選法的種數都為9.

由分步乘法計數原理，不同名稱的個數是13×9×9＝1053，即最多可以給1053個程序模塊命名.問題與例題例5、

電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數字的記數法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構成.(1)1個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符?(2)計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示?解:(1)由分步乘法計數原理，1個字節(jié)最多可以表示不同的字符個數是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256.(2)由(1)知，1個字節(jié)最多可以表示256個不同的字符，則2個字節(jié)最多就可以表示256×256＝65536>6763，所以每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.兩個計數原理的區(qū)別與聯系：用兩個計數原理解決問題時，要明確是需要分類還是需要分步，有時，可能既要分類又要分步

分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點用來計算完成一件事的方法種類不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整例6、計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數據.一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，如圖，這是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。(1)這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？(2)為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數，你能幫助程序員設計一個測試方式，以減少測試次數嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結束A例題講解開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結束A分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成.因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數原理.例題講解開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結束A解：(1)由分類加法計數原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數共為18+45+28=91條；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數共為38+43=81條；由分步乘法計數原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數共為91x81=7371條例題講解(2)在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數為18+45+28+38+43=172.再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數為：3x2=6.如果每個子模塊都正常工作，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常.這樣，測試整個模塊的次數就變?yōu)?72+6=178（次）例題講解例7、

通常，我國民用汽車號牌的編碼由兩部分組成：第一部分為由漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機關代碼，第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號.其中，序號的編碼規(guī)則為：（1）由10個阿拉伯數字和除O、I之外的24個英文字母組成；（2）最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機關采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放多少張汽車號牌？例題講解解：由號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數就是序號的個數.根據序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.（1）當沒有字母時，序號的每一位都是數字.確定一個序號可以分5個步驟，每一步都可以從10個數字中選1個，各有10種選法.根據分步乘法計數原理，這類號牌張數為：10x10x10x10x10=10000.例題講解（2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.

當第1位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據分步乘法計數原理，號牌張數為24x10x10x10x10=240000.同樣，其余四個子類號牌也各有240000張.根據分類加法計數原理，這類號牌張數一共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.例題講解（3）當有2個字母時，根據這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。當第1位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數字：第1~2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置，各有10種選法，根據分步乘法計數原理，號牌張數為24x24x10x10x10=576000.同樣，其余九個子類號牌也各有576000張.則這類號牌張數一共為576000x10=5760000張.例題講解綜合（1）（2）（3），根據分類加法計數原理，這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放的汽車號牌張數為100000+1200000+5760000=7060000利用兩個計數原理解題的策略(1)首先要分清是“分類”還是“分步”,區(qū)分分類還是分步的關鍵是看哪種方法能否完成這件事情.(2)其次要清楚“分類”或“分步”的具體標準,在“分類”時要遵循“不重不漏”的原則,在“分步”時要正確設計“分步”的程序,注意步與步之間的連續(xù)性;有些題目中“分類”與“分步”同時進行,即“先分類后分步”或“先分步后分類”.注意:混合問題一般是先分步后分類.反思感悟變式訓練：

現有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解:(1)分為三類:從國畫中選,有5種不同的選法;從油畫中選,有2種不同的選法;從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據分類加法計數原理共有5+2+7=14種不同的選法.(2)分為三步:國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法,根據分步乘法計數原理,共有5×2×7=70種不同的選法.(3)分為三類:第1類是一幅選自國畫,一幅選自油畫,由分步乘法計數原理知,有5×2=10種不同的選法.第2類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7=35種不同的選法.第3類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7=14種不同的選法,所以有10+35+14=59種不同的選法.當堂檢測1.已知三個車隊分別有4輛、5輛、6輛車,現欲從其中兩個車隊各抽取一輛車外出執(zhí)行任務,設不同的抽調方案數為n,則n的值為

.解析:不妨設三個車隊分別為甲、乙、丙,則分3類.從甲、乙車隊各抽取一輛共有4×5=20種方案;從甲、丙車隊各抽取一輛共有4×6=24種方案;從乙、丙車隊各抽取一輛共有5×6=30種方案,故共有20+24+30=74種抽調方案.答案:742.若把10個蘋果分成三份,要求每份至少1個,至多5個,則不同的分法種數共有(

)A.5 B.6 C.4 D.3解析:由于分成三份,每份至少1個,至多5個,故有一份1個蘋果,其余兩份只能選一份5個,一份4個;有一份2個蘋果,則其余兩份可能一份5個,一份3個,或兩份都是4個;有一份3個蘋果,則其余兩份只能是一份4個,一份3個.綜上,不同的分法種數共有1+2+1=4.答案:C3.從0,1,2,3中選擇三個數字組成無重復數字的三位偶數,則滿足條件的數字有多少個?解:第1類:末位為0.第1步,排末位,有1種方法;第2步,排首位,從1,2,3中選1個,有3種方法;第3步,排十位,有2種方法.故此類方法中有1×3×2=6個偶數.第2類:末位為2.第1步,排末位,有1種方法;第2步,排首位,從1,3中選1個,有2種方法;第3步,排十位,有2種方法.故此類方法中有1×2×2=4個偶數.則一共有6+4=10個滿足條件的不同數字.4．某電話局管轄范圍內的電話號碼由8位數字組成，其中前4位的數字是不變的，后4位數字都是0~9之間的一個數字，這個電話局不同的電話號碼最多有多少個?1.某商店有甲型號電視機10臺,乙型號電視機8臺,丙型號電視機12臺,從這三種型號的電視機中各選一臺檢驗,有多少種不同的選法?解:完成從這三種型號的電視機中各選一臺檢驗可分三步完成,第1步,從甲型號電視機中選一臺,有10種不同的選法;第2步,從乙型號電視機中選一臺,有8種不同的選法;第3步,從丙型號電視機中選一臺,有12種不同的選法.根據分步乘法計數原理,有10×8×12=960種不同選法.課后作業(yè)AB第3題2．如圖，要讓電路從A處到B處接通，可有多少條不同的路徑?如果電路從上線路接通，共有3條路徑；如果電路從中線路接通，共有1條路徑；3．用1，5，9，13中的任意一個數作分子，4，8，12，16中任意一個數作分母，可構成多少個不同的分數?可構成多少個不同的真分數?由真分數的定義，①若1為分子，分母有4種選擇；②若5為分子，分母有3種選擇；③若9為分子，分母有2種選擇；④若13為分子，分母有1種選擇；4．一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有0~9共10個數字．現最后一個撥號盤出現了故障，只能在0~5這6個數字中撥號，這4個撥號盤可組成多少個四位數字號碼?5.6．任意畫一條直線，在直線上任取n個分點．（1）從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可得到多少條線段?（2）從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量?6．任意畫一條直線，在直線上任取n個分點．（1）從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可得到多少條線段?（2）從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量?7.同寢室四人各寫一張賀卡,首先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀卡,則四張賀卡的不同的分配方式有

種.解析:設4人分別為甲、乙、丙、丁,分步進行:第1步,讓甲拿,有三種方法;第2步,讓甲拿到的卡片上寫的人去拿,有三種方法,剩余兩人只有一種拿法,故共有3×3×1×1=9(種)不同的分配方式.答案:98.某乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員,派5名隊員參加比賽,3名主力隊員要安排在第一、三、五位置,從其余7名隊員中選2名安排在第二、四位置,則不同的出場安排共有多少種?解:按出場位置順序逐一安排:第一位置有3種安排方法;第二位置有7種安排方法;第三位置有2種安排方法;第四位置有6種安排方法;第五位置有1種安排方法.由分步乘法計數原理知,不同的出場安排方法有3×7×2×6×1=252(種).9．（1）4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，不同報法的種數是34還是43?（2）3個班分別從5個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數是35還是53?10．（1）從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學，每人一件，有多少種不同的送法?（2）有5個編了號的抽屜，要放進3本不同的書，不同的放法有多少種?(一個抽屜可放多本書)11．口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現從中取出2個球．（1）正好是白球、紅球各一個的取法有多少種?（2）正好是兩個白球的取法有多少種?11．口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現從中取出2個球．（3）至少有一個白球的取法有多少種?（4）兩球的顏色相同的取法有多少種?12．在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出現同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法?利用分步乘法計數原理，分七步來求解．第一步，安排第一天的值班人員，有7種方法；第二步，安排第二天的值班人員．有6種方法；第三步，安排第三天的值班人員，有6種方法；同理．第四、五．六七步均有6種方法．13.某電視臺某頻道某時間段連續(xù)播放6個廣告,其中有3個不同的商業(yè)廣告、2個不同的宣傳廣告、1個公益廣告,要求最后播放的不能是商業(yè)廣告,且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放,兩個宣傳廣告也不能連續(xù)播放,則有多少種