3.2.2函數(shù)的奇偶性課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的奇偶性湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標(biāo)要求1.結(jié)合具體函數(shù)理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念.2.結(jié)合具體函數(shù)理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一奇、偶函數(shù)的圖象特征1.如果F(x)的圖象是以

為對稱軸的軸對稱圖形,就稱F(x)是偶函數(shù).2.如果F(x)的圖象是以

為中心的中心對稱圖形,就稱F(x)是奇函數(shù).名師點睛奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上的最大值為-m,最小值為-M;偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.y軸原點過關(guān)自診1.如果f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且函數(shù)在x=0處有定義,那么f(0)為何值?2.若f(x)為奇函數(shù),且點(x,f(x))在其圖象上,則還有哪一個點一定在其圖象上?提示

f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,即f(x)為奇函數(shù),故滿足f(-x)=-f(x).因為f(x)在x=0處有定義,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.提示

若f(x)為奇函數(shù),則點(-x,-f(x))一定在其圖象上.

知識點二奇、偶函數(shù)的定義偶函數(shù)①對一切使F(x)有定義的x,F(-x)也有定義②

奇函數(shù)①對一切使F(x)有定義的x,F(-x)也有定義是對定義域的要求,定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件②

F(-x)=F(x)F(-x)=-F(x)名師點睛對函數(shù)奇偶性定義的理解函數(shù)的奇偶性是相對于定義域I內(nèi)的任意一個x而言的,而函數(shù)的單調(diào)性是相對于定義域內(nèi)的某個非空子集而言的,從這個意義上講,函數(shù)的單調(diào)性屬于“局部性質(zhì)”,而函數(shù)的奇偶性則屬于“整體性質(zhì)”.過關(guān)自診根據(jù)定義,判斷下列函數(shù)的奇偶性:解

(1)依題意知函數(shù)f(x)=-2x5的定義域為R,且對任意的x∈R,有f(-x)=-2(-x)5=2x5,-f(x)=-(-2x5)=2x5,即f(-x)=-f(x).所以函數(shù)f(x)=-2x5是奇函數(shù).(2)依題意知函數(shù)g(x)=x4+2的定義域為R,且對任意的x∈R,有g(shù)(-x)=(-x)4+2=x4+2,即g(-x)=g(x).所以函數(shù)g(x)=x4+2是偶函數(shù).(4)根據(jù)定義知,如果一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),它的定義域是關(guān)于原點對稱的.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】

判斷下列函數(shù)的奇偶性:(2)f(x)=x3-2x;解

函數(shù)的定義域為{x|x≠-1},不關(guān)于原點對稱,故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).解

函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).函數(shù)的定義域為{-1,1},關(guān)于原點對稱.又f(-1)=±f(1)=0,故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解

函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.當(dāng)x>0時,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).當(dāng)x<0時,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).規(guī)律方法

判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法:(2)圖象法:變式訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(4)f(x)=|x+2|+|x-2|.即函數(shù)的定義域為[-1,1),不關(guān)于原點對稱,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).解

f(x)的定義域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).探究點二利用函數(shù)的奇偶性求解析式【例2】

已知f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解

(1)因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)當(dāng)x<0時,-x>0,則f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數(shù),則f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.當(dāng)x=0時,f(-0)=-f(0),則f(0)=-f(0),即f(0)=0.變式探究若將本例中的“奇”改為“偶”,“x>0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.解

當(dāng)x<0時,-x>0,此時f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,規(guī)律方法

利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設(shè)誰”,即在哪個區(qū)間上求解析式,x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).提醒:若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,但若為偶函數(shù),未必有f(0)=0.探究點三奇、偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1.奇、偶函數(shù)的圖象性質(zhì)【例3】

已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時,f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.(1)請補(bǔ)出完整函數(shù)y=f(x)的圖象;(2)根據(jù)圖象寫出使f(x)<0的x的取值集合.解

(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖,(2)據(jù)圖可知,使f(x)<0的x的取值集合為(-2,0)∪(0,2).規(guī)律方法

由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,因此根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決如求函數(shù)值或畫出奇、偶函數(shù)圖象的問題.變式訓(xùn)練2已知f(x)為奇函數(shù),其局部圖象如圖所示,那么(

)A.f(2)=2 B.f(2)=-2C.f(2)>-2 D.f(2)<-2C解析

由圖可知f(-2)<2,因為函數(shù)是奇函數(shù),所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,則f(2)>-2.故選C.2.利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)求解析式中的參數(shù)【例4】

若函數(shù)f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函數(shù),定義域為[3a,a+2],則a+b=

.

規(guī)律方法

利用奇偶性求參數(shù)的方法(1)定義域含參數(shù):奇、偶函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱,利用a+b=0求參數(shù).(2)解析式含參數(shù):根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比較系數(shù)即可求解.變式訓(xùn)練3函數(shù)f(x)=x3+(m2-1)x2+x為奇函數(shù),則m=

.

±1解析

根據(jù)題意f(x)=x3+(m2-1)x2+x為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),則有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],則有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.已知一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},則a+b等于(

)A.-1 B.1

C.0 D.2A解析

因為一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以a與b有一個等于1,一個等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.123452.(多選題)[2024甘肅酒泉高一統(tǒng)考期末]設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則f(x)(

)A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減AC解析

函數(shù)f(x)=x|x|-2x的定義域為R,f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù),不是偶函數(shù),故A正確,B錯誤;對于C,當(dāng)-1<x≤0時,f(x)=-x2-2x在區(qū)間(-1,0]上單調(diào)遞減,f(0)=0,當(dāng)0≤x<1時,f(x)=x2-2x在區(qū)間[0,1)上單調(diào)遞減,f(0)=0,因此f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,故C正確;對于D,當(dāng)x<-1時,f(x)=-x2-2x在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞增,故D錯誤.故選AC.12345C123454.若函數(shù)f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實數(shù)a=

.

4解析

f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)是偶函數(shù),∴a-4=0,即a=4.123455.已