2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評三十六8.1數(shù)列含函數(shù)特性文含解析北師大版

PAGE核心素養(yǎng)測評三十六數(shù)列(含函數(shù)特性)(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n-4,n∈N*,若它的第k項(xiàng)滿意2<ak<5,則k= ()A.2 B.3 C.4 【解析】選C.數(shù)列{an}的第k項(xiàng)滿意2<ak<5,即2<2k-4<5,解得3<k<4.5.因?yàn)閗∈N*,所以k=4.2.在數(shù)列an中,已知a4=3,a9=5,且an-1+an+an+1=9(n∈N*,n≥2),則a2020的值是A.1 B.3 C.5 【解析】選B.因?yàn)閍n-1+an+an+1=9(n∈N*,n≥2),所以an+an+1+an+2=9,所以an+2=an-1,所以周期為3,所以a2020=a4=3.3.函數(shù)f(x)由下表定義:x25314f(x)12345若a0=5,an+1=f(an)(n∈N),則a2021的值為 ()A.1 B.2 C.4 【解析】選B.因?yàn)閍0=5,an+1=f(an),所以a1=f(a0)=f(5)=2,a2=f(a1)=f(2)=1,a3=f(a2)=f(1)=4,a4=f(a3)=f(4)=5,a5=f(a4)=f(5)=2,…,所以a1=a5.所以{an}是以4為周期的周期數(shù)列.所以a2021=a1=2.4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=9n2-9n+29A.這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為27B.98101C.數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間14D.數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列【解析】選C.an=9n2-9n+29n2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.令n=10,得a10=2831,故選項(xiàng)A不正確;令3n-23n+1=98101,得9n=300,此方程無正整數(shù)解,故98101【變式備選】在數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=an+1n(n+1),則通項(xiàng)公式【解析】原遞推公式可化為an+1-an=1n-1n+1,所以a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,…,an-an-1=1n-1-1n,逐項(xiàng)相加得an-a1=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n答案:4-15.數(shù)列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于 ()A.76 B.78 C.80 【解析】選B.由已知an+1+(-1)nan=2n-1,①得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,②由①②得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,結(jié)果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.6.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=sin(n+1)π2,記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則A.0B.2020C.1011D.2021【解析】選C.由a1=1及an+1-an=sin(n得an+1=an+sin(n所以a2=a1+sinπ=1,a3=a2+sin3π2=0,a4=a3+sin4π2=0,a5=a4+sin5π2=1,a6=a5+sin6π2=1,a7=a6+sin7π2=0,a8=a7+sin8π2S2021=505(a1+a2+a3+a4)+a1=1011.7.在數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n+23an,則anaA.-3 B.-1 C.3 【解析】選C.當(dāng)n≥2時(shí),Sn=n+23an,Sn-1=n+13an-1.兩式作差可得an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,則anan-1=二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2024·鄭州模擬)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{bn},則b2021=.

【解析】由題意得,引入“兔子數(shù)列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…構(gòu)成以8為周期的周期數(shù)列,所以b20答案:2【變式備選】將數(shù)列{an}中的全部項(xiàng)按每一行比上一行多1項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)陣:a1a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10…記數(shù)陣中的第1列數(shù)a1,a2,a4,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.若Sn=2bn-1,則a56=.

【解析】當(dāng)n≥2時(shí),因?yàn)镾n=2bn-1,所以Sn-1=2bn-1-1,所以bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1(n≥2且n∈N*),因?yàn)閎1=2b1-1,所以b1=1,所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,所以bn=2n-1.設(shè)a1,a2,a4,a7,a11,…的下標(biāo)1,2,4,7,11,…構(gòu)成數(shù)列{cn},則c2-c1=1,c3-c2=2,c4-c3=3,c5-c4=4,…,cn-cn-1=n-1,累加得,cn-c1=1+2+3+4+…+(n-1),所以cn=n(n-1)2+1,由cn=n(n-1)2+1=56,答案:10249.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+Sn-1=2n-1(n≥2,n∈N*),且S2=3,則a1+a3的值為.

【解析】因?yàn)镾n+Sn-1=2n-1(n≥2),令n=2,得S2+S1=3,由S2=3得a1=S1=0,令n=3,得S3+S2=5,所以S3=2,則a3=S3-S2=-1,所以a1+a3=0+(-1)=-1.答案:-110.已知α為銳角,且tanα=2-1,函數(shù)f(x)=x2tan2α+x·sin2α+π4,數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,an+1=f(an),則數(shù)列{an}的單調(diào)性為【解析】因?yàn)閠an2α=2tanα1-tan2α=2(2-1)1-(2-1)2=1,α為銳角,所以2α=π4,所以sin2α+π4=1,所以f(x)=x2+x,因?yàn)閍1=2,an+1=f(an),所以an+1=an2+an答案:遞增數(shù)列(15分鐘35分)1.(5分)定義:稱nP1+P2+…+Pn為n個(gè)正數(shù)P1,P2,…,Pn的“均倒數(shù)”.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)A.an=2n-1 B.an=4n-1C.an=4n-3 D.an=4n-5【解析】選C.因?yàn)閚a1+a2+…+an=12n-1,所以a1+a2+…+ann=2n-1,所以a1+a2+a3+…+an=(2n-1)n,a1+a2+【變式備選】已知n∈N*,給出4個(gè)表達(dá)式:①an=0,n為奇數(shù),1,n為偶數(shù),②an=1+(-1)n2A.①②③B.①②④C.②③④ D.①③④【解析】選A.檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.(5分)(2024·西安模擬)對于數(shù)列{an},稱P(ak)=1k-1∑i=1k-1ai-ai+1(其中k≥2,k∈N)為數(shù)列{an}的前k項(xiàng)“波動(dòng)均值”.若對隨意的k≥2,k∈N,都有P(ak+1)<P(ak),則稱數(shù)列{an}為A.32,+C.12,32【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列1,x,2,所以P(a2)=|a1-a2|=|1-x|,P(a3)=13-1121-x+x-2,因?yàn)閿?shù)列1,x,2為“趨穩(wěn)數(shù)列即121-x+x-2<1-x3.(5分)已知數(shù)列{an}滿意an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2023=.

【解析】因?yàn)閍n+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,所以a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,所以an+6=an(n∈N*).則S2023=S337×6+1=337×(a1+a2+…+a6)+a1=337×0+m=m.答案:m【變式備選】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿意an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=12,則通項(xiàng)公式為【解析】因?yàn)楫?dāng)n≥2,n∈N*時(shí),an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,1Sn-所以1Sn是公差為2因?yàn)镾1=a1=12,所以1所以1Sn=2+(n-1)·2=2n,即Sn=當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=12n-12當(dāng)n=1時(shí),a1=12,不滿意上式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=答案:an=14.(10分)若a1=1,an+1=2anan+2,求數(shù)列{a【解析】因?yàn)閍n+1=2anan+2,a1=1,所以1an+1=1an+12,即1an+1-1a所以1an是以1為首項(xiàng),1所以1an=1a1+(n-1)×12=n2+12.所以an5.(10分)已知數(shù)列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,a(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.(2)若對隨意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閍n=1+1a+2(n-1)(n∈N*,a∈所以an=1+12n-9(n結(jié)合函數(shù)f(x)=1+12x可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5=2,最小項(xiàng)為a4=0.(2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,已知對隨意的n∈N*,都有an即-10<a<-8.【變式備選】已知數(shù)列{an}滿意a1=33,an+1-an=2n,則ann的最小值為【解析】因?yàn)閍n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2