第4章 因式分解 單元測試（備作業(yè)）-八年級數(shù)學下冊同步備課系列(北師大版)（解析版）

第4章因式分解單元測試一、單選題1．下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是(

)A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z【答案】B【解析】解：A選項：右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；B選項：m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)，符合因式分解的定義，故本選項正確；C選項：是恒等變形，不是因式分解，故本選項錯誤；D選項：右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；故選：B.2．下列多項式能用平方差公式因式分解的是()．A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2【答案】C【解析】【分析】公式法是指完全平方公式和平方差公式．本題中A和B選項可以利用提取公因式法，C可以利用平方差公式，D無法進行因式分解．解：A.x2－xy=，用提公因式因式分解，故選項A不正確；

B.x2＋xy=，用提公因式因式分解，故選項B不正確；C.x2－y2，能用平方差公式因式分解，故選項C正確；

D.x2＋y2不能因式分解，故選項D不正確．故選C．【點睛】考點：因式分解．3．下列多項式中，含有因式的多項式是（）.A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】應先對所給的多項式進行因式分解，根據(jù)分解的結(jié)果，然后進行判斷．A、y2-2xy-3x2=（y-3x）（y+x)，故不含因式(y+1)．B、（y+1）2-（y-1）2=[（y+1）-（y-1）][（y+1）+（y-1）]=4y，故不含因式(y+1)．C、（y+1）2-（y2-1）=（y+1）2-（y+1）（y-1）=2（y+1），故含因式（y+1)．D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2)2，故不含因式（y+1)．故選C【點睛】本題主要考查公因式的確定，先因式分解，再做判斷，在解題時，僅看多項式的表面形式，不能做出判斷．4．若，則的值是A．3 B．2 C．1 D．―1【答案】A【解析】試題分析：所求式子后兩項提取﹣2變形后，將整體代入計算即可求出值：∵，∴．故選A．5．因式分解x2＋ax＋b時，甲看錯了a的值，分解的結(jié)果是(x＋6)(x－1)，乙看錯了b的值，分解的結(jié)果是(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解的正確結(jié)果為()A．(x＋2)(x－3) B．(x－2)(x＋1)C．(x＋6)(x－1) D．無法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特點即可得出答案．甲看錯了a的值，分解的結(jié)果為（x+6）（x-1），而b值不錯可求出b的準確值，同理求出a的準確值后再分解因式．因為甲看錯了a的值，分解的結(jié)果為（x+6）（x-1）=x2+5x-6，所以b=-6，又因為乙看錯了b的值，分解的結(jié)果是（x-2）（x+1）=x2-x-2，所以a=-1，所以x2+ax+b=x2-x-6=（x+2）（x-3）．故選A【點睛】主要考查了二次三項式的分解因式．掌握此類式子的特點可以使計算簡便．6．把因式分解，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】當一個多項式有公因式，將其分解因式時應先提取公因式a，再對余下的多項式繼續(xù)分解．解：a3-4ab2=a（a2-4b2）=a（a+2b）（a-2b）．故選C．【點睛】本題考查用提公因式法和公式法進行因式分解的能力，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．7．下列各式中，能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】分別利用完全平方公式分解因式得出即可①=，符合題意；②；不能用完全平方公式分解，不符合題意③；不能用完全平方公式分解，不符合題意④=-，符合題意；⑤，不可以用完全平方公式分解，不符合題意故選B.【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.8．下列多項式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，結(jié)果含有相同因式的是（

）A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【答案】A【解析】【分析】①首先提取x，進而利用平方差公式進行分解即可；②直接利用完全平方公式分解因式即可；③直接利用完全平方公式分解因式即可；④首先提取“-”，再利用完全平方公式分解因式即可．解:①16x5-x，=x（16x4-1），=x（4x2+1）（4x2-1），=x（4x2+1）（2x-1）（2x+1）；②（x-1）2-4（x-1）+4，=（x-1-2）2，=（x-3）2；③（x+1）4-4x（x+1）2+4x2，=[（x+1）2-2x]2，=（x2+1）2；④-4x2-1+4x，=-（4x2+1-4x），=-（2x-1）2．∴結(jié)果含有相同因式的是①④．故選A．【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．9．對于任何整數(shù)m，多項式(4m＋5)2－9一定能()A．被8整除 B．被m整除C．被m－91整除 D．被2m－1整除【答案】A【解析】【分析】將該多項式分解因式，其必能被它的因式整除．（4m+5）2-9=（4m+5）2-32=（4m+8）（4m+2）=8（m+2）（2m+1），∵m是整數(shù)，而（m+2）和（2m+1）都是隨著m的變化而變化的數(shù)，∴該多項式肯定能被8整除．故選A．【點睛】此題考查了因式分解-公式法和提公因式法，熟練掌握提公因式法是解本題的關(guān)鍵．10．若a，b，c是三角形三邊的長，則代數(shù)式(a2－2ab＋b2)－c2的值()A．大于零 B．小于零C．大于或等于零 D．小于或等于零【答案】B【解析】【分析】先把代數(shù)式(a2－2ab＋b2)－c2分解因式，再根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊就可以進行判斷．(a2－2ab＋b2)－c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]，∵a，b，c是三角形的三邊，∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0，∴a2-2ab+b2-c2＜0．故選B．【點睛】本題考查了因式分解的應用，三角形中三邊之間的關(guān)系．（a+c-b）[a-（b+c）]是一個正數(shù)與負數(shù)的積，所以小于0．二、填空題11．因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】先提公因式2x，然后再利用平方差公式進行分解即可．解：故答案為：．【點睛】本題考查了綜合提公因式法與公式法分解因式，解題的關(guān)鍵熟練掌握是解題的關(guān)鍵．12．因式分解：x3－2x2y＝__________．【答案】x2(x－2y)【解析】【分析】直接利用提公因式法進行分解即可．解：x3－2x2y=x2(x-2y)，故答案為：x2(x-2y)．【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，解題的關(guān)鍵是正確確定公因式．13．多項式2ax2﹣12axy中，應提取的公因式是_____．【答案】2ax．【解析】【分析】找出系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低指數(shù)次冪，即可確定出公因式．∵2ax2-12axy=2ax（x-6y），∴應提取的公因式是2ax．故答案為2ax．【點睛】本題主要考查公因式的確定，找公因式的要點是：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）相同字母的最低指數(shù)次冪．14．小明抄在作業(yè)本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指數(shù)），不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于5的整數(shù)，并且能利用平方差公式分解因式，請你幫小明寫出這個整式分解因式的結(jié)果：__________________．【答案】（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）【解析】【分析】分兩種情況討論①當⊕＝2時，②當⊕＝4時，分別因式分解即可．解：由題意知，共有⊕＝2時，⊕＝4兩種情況：情況①，當⊕＝2時，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）；情況②，當⊕＝4時，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y）；綜上所述，整式分解因式的結(jié)果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）故答案為：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．【點睛】本題考查了利用平方差公式進行因式分解．解題的關(guān)鍵在于正確的使用平方差公式．15．若x＋y＝2，則代數(shù)式x2＋xy＋y2＝________．【答案】1【解析】因為x2＋xy＋y2＝，x＋y＝2，所以x2＋xy＋y2＝．故答案是1．16．若,那么=________.【答案】0【解析】【分析】直接提取公因式a1999，進而分解因式得出答案．∵a2+a+1=0，∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．故答案為0．【點睛】本題考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．17．若x+y=—1，則x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于________．【答案】1【解析】試題解析：∵x+y=-1，∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），=1．18．已知：，，，則的值_______．【答案】3【解析】【分析】對a2+b2+c2-ab-bc-ac提公因式，進而進行因式分解，再將a、b、c的值代入即可．解：∵a=2021x+2020，b=2021x+2021，c=2021x+2022，∴，，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]=[（-1）2+（-1）2+（-2）2]=×6=3．故答案為：3．【點睛】本題是因式分解的應用，解題的關(guān)鍵是會對所求代數(shù)式進行變形．三、解答題19．因式分解：（1）3m2n－12mn＋12n．

（2）（a＋b）3－4（a＋b）．【答案】（1）3n（m－2）2；（2）（a＋b）（a＋b＋2）（a＋b－2）．【解析】【分析】（1）先提公因式3n，然后再利用完全平方公式進行分解即可；（2）先提公因式（a+b），然后再利用平方差公式進行分解即可．（1）原式＝3n（m2－4m＋4）＝3n（m－2）2；（2）原式＝（a＋b）[（a＋b）2－4]＝（a＋b）（a＋b＋2）（a＋b－2）．【點睛】本題考查了綜合提公因式法與公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．20．因式分解：（1）﹣2+12a2﹣18a

（2）(x2+4)2-16x2（3）(x2-2x)2+2(x2-2x)+1

（4）-28n2+42m2-14m2n【答案】（1）-2a(a-3)2

；（2）(x+2)2(x-2)2；（3）；（4）﹣14m2n（2mn﹣3n2+1）．【解析】【分析】（1）原式提取a后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可;(4)首先提取負號，注意括號里的各項都要改變符號，再找出多項式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．（1）原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2

；（2）原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2；（3）原式=(x2-2x+1)2=(x-1)4

（4）原式=﹣（28m3n2﹣42m2n3+14m2n）=﹣14m2n（2mn﹣3n2+1）．【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．21．給出三個多項式：，請選擇兩個多項式進行加法運算，并把結(jié)果分解因式（寫出兩種情況）．【答案】答案不唯一，詳見解析【解析】【分析】選擇第一個與第二個，第一個與第三個，利用整式的加法運算法則計算，然后再利用提公因式法或平方差公式進行因式分解即可．情形一：情形二：【點睛】此題主要考查了多項式的計算，以及分解因式，關(guān)鍵是正確求出多項式的和，找出公因式．22．如圖，在一個大圓盤中，鑲嵌著四個大小一樣的小圓盤，已知大小圓盤的半徑都是整數(shù)，陰影部分的面積為5πcm2

，請你求出大小兩個圓盤的半徑．【答案】大圓盤的半徑為3cm，一個小圓盤的半徑為1cm【解析】【分析】先設大圓盤的半徑為Rcm，一個小圓盤的半徑為rcm，根據(jù)一個大圓盤中，鑲嵌著四個大小一樣的小圓盤，陰影部分的面積為5πcm2，列出式子，再根據(jù)大小圓盤的半徑都是整數(shù)，即可求出答案．設大圓盤的半徑為Rcm，一個小圓盤的半徑為rcm，根據(jù)題意，得：

πR2﹣4πr2=5π，即（R+2r）（R﹣2r）=5．因為R，r均為正整數(shù)，所以R+2r，R﹣2r也為正整數(shù)，所以：，解得，答：大圓盤的半徑為3cm，一個小圓盤的半徑為1cm.【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題的關(guān)鍵是利用因式分解法求不定方程的整數(shù)解．23．商貿(mào)大樓共有四層，第一層有商品(a＋b)2種，第二層有商品a(a＋b)種，第三層有商品b(a＋b)種，第四層有商品(b＋a)2種．若a＋b＝10，則這座商貿(mào)大樓共有商品多少種？【答案】300【解析】【分析】先根據(jù)題意列出算式a（a+b）+b（a+b）+（a+b）2，再將a+b=10代入求出即可．解：(a＋b)2＋a(a＋b)＋b(a＋b)＋(b＋a)2＝2(a＋b)2＋(a＋b)(a＋b)＝2(a＋b)2＋(a＋b)2＝3(a＋b)2因為a＋b＝10，所以3(a＋b)2＝300．答：這座商貿(mào)大樓共有商品300種．24．設．（n為大于0的自然數(shù)）（1）探究an是否為8的倍數(shù)．（2）若一個數(shù)的算術(shù)平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)”，如：1，4，9就是完全平方數(shù)．試找出a1，a2，…，an，…，這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并指出當n滿足什么條件時，an為完全平方數(shù)．（不必說明理由）【答案】(1)an是8的倍數(shù);(2)n為一個完全平方數(shù)的2倍時，an為完全平方數(shù).【解析】試題分析：（1）利用平方差公式，將（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化簡，可得結(jié)論；（2）理解完全平方數(shù)的概念，通過計算找出規(guī)律．解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，（3分）又n為非零的自然數(shù)，∴an是8的倍數(shù)．（4分）這個結(jié)論用文字語言表述為：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)（5分）說明：第一步用完全平方公式展開各（1），正確化簡（1分）．（2）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)為16，64，144，256．（7分）n為一個完全平方數(shù)的2倍時，an為完全平方數(shù)（8分）說明：找完全平方數(shù)時，錯一個扣（1），錯2個及以上扣（2分）．考點：因式分解-運用公式法．點評：本題考查了公式法分解因式，屬于結(jié)論開放性題目，通過一系列的式子，找出一般規(guī)律，考查了同學們的探究發(fā)現(xiàn)的能力．25．如圖①所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積(直接用含m，n的代數(shù)式表示)．方法一：________________________________________________________；方法二：__________________________________________________________.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，請你寫出代數(shù)式(m＋n)2，(m－n)2，mn之間的等量關(guān)系．(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知實數(shù)a，b滿足：a＋b＝6，ab＝5，求a－b的值．【答案】(1)(m＋n)2－4mn；(m－n)2；(2)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2；(3)a－b＝4或a－b＝－4.【解析】【分析】（1）觀察圖形很容易得出圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于a-b，①求出小正方形的邊長，②運用大正方形的面積減去四個矩形的面積；（2）根據(jù)（1）中表示的面積是同一個圖形的面積，兩個式子相等，即可列出等量關(guān)系；（3）由（2）中的等量關(guān)系即可求解．(1)方法一：(m＋n)2－4mn；方法二：(m－n)2；(2)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2；(3)由(2)可知(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝62－4×5＝16，∴a－b＝4或a－b＝－4.【點睛】本題考查了完全平方公式的實際應用，完全平方公式與正方形的面積公式和長方形的面積公式經(jīng)常聯(lián)系在一起，要學會觀察．26．我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學等式．例如：由圖1可得到（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學等式：_________________；（2）寫出由圖3所表示的數(shù)學等式（利用陰影部分）：________________；（3）已知實數(shù)滿足．求：①的值；②的值．【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1【解析】【分析】（1）大正方形的面積等于6個長方形和3個小正方形的面積和；（2）圖中陰影部分面積為正方形等于陰影部分面積等于大正方形面積減去5個長方形和3個小正方形的面積；（3）①將（1）式子變形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再結(jié)合已知條件，將式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．解：（1）大正方形的面積為（a+b+c）2，9個長方形和小正方形的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）圖中陰影部分面積為正方形，則有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2，陰影部分面積等于大正方形面積減去5個長方形和3個小正方形的面積，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴ab+bc+ca=0；②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc，1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc，∴a3+b3+c3-3abc=1．【點睛】本題考查了因式分解的應用；根據(jù)一個圖形面積的不同求法，利用面積相等，得到相應的表達式，再將表達式進行適當?shù)淖冃危么敕ㄇ笾凳墙忸}關(guān)鍵．27．閱讀材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，∴n＝4，m＝4.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)若a2＋b2－4a＋4＝0，則a＝________，b＝________；(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；(3)已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周長．【答案】（1）a=2，b=0；（2）xy=；（3）△ABC的周長為7【解析】分析：（1）利用配方法將三項配方成完全平方式的形式，利用非負數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值即可；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）利用配方法把原式變形，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系解答即可；本題解析：∵a+b?4a+4=0，∴a?4a+4+b=0，∴(a?2)+b=0，∴a?2=0，b=0，解得a=2，b=0；（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9=0，∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9=0即：（x﹣y）2+（y+3）2=0則：x﹣y=0，y+3=0，解得：x=y=﹣3，∴xy==﹣；（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，則a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三邊關(guān)系可知，三角形三邊分別為1、3、3，∴△ABC的周長為1+3+3=7；故答案為:（1）a=2，b=0；（2）xy=；（3）△ABC的周長為728．教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：分解因式求代數(shù)式的最小值，．當時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：__________．（2）當x為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．（3）若，求出a，b的值．【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值