5、菱形的判定和性質(zhì) - 答案

菱形的判定和性質(zhì)情景導(dǎo)入1.（復(fù)習(xí)）什么叫做平行四邊形？什么叫矩形？平行四邊形和矩形之間的關(guān)系是什么？2.（引入）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一種特殊的平行四邊形——矩形，其實(shí)還有另外的特殊平行四邊形，請看演示：（可將事先按如圖做成的一組對邊可以活動(dòng)的教具進(jìn)行演示）如圖，改變平行四邊形的邊，使之一組鄰邊相等，從而引出菱形概念菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形【強(qiáng)調(diào)】菱形（1）是平行四邊形（2）一組鄰邊相等請同學(xué)們列舉一些日常生活中所見到過的菱形的例子折紙?zhí)骄堪岩粡埦匦渭埰瑢φ墼賹φ?，然后沿著圖中的虛線剪下、打開，你能發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)什么樣的圖形嗎？菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì)．即對稱性：菱形是中心對稱圖形,對角線的交點(diǎn)是對稱中心邊：菱形的對邊平行且相等角：菱形的對角相等對角線：菱形的對角線互相平分那么菱形作為作為特殊的平行四邊形具有哪些特殊的性質(zhì)呢？（1）菱形的都相等（2）菱形的對角線.例1.如圖，菱形ABCD中，AE和AF分別是BC和DC邊上的高，請問AE與AF有什么樣的關(guān)系？為什么？例2.在菱形ABCD中，對角線AC、BD的長分別為、，AC、BD相交于點(diǎn)O.（1）用含、的代數(shù)式表示菱形ABCD的面積S；（2）若=3cm，=4cm，求菱形ABCD的面積和周長.知識點(diǎn)：菱形的面積==.菱形的判定提出問題1.根據(jù)菱形的定義，需要具備什么條件可以判定一個(gè)四邊形是菱形？2.還可以用什么方法判定一個(gè)四邊形是菱形？成果展示1.問題1：拿出十根小木條（其中只有四根一樣長），讓學(xué)生從中選取四根，能否搭成一個(gè)菱形？為什么？2.問題2：拿出事先準(zhǔn)備好的平行四邊形（對角線是木條，四邊是橡皮筋），轉(zhuǎn)動(dòng)木條成直角，觀察得到的四邊形的形狀是菱形嗎？為什么？3.問題3：你認(rèn)為，的四邊形是菱形的平行四邊形是菱形（注意：一個(gè)的基礎(chǔ)條件是四邊形，一個(gè)的基礎(chǔ)條件是平行四邊形）歸納：四邊形、平行四邊形、菱形之間的關(guān)系：證明：四條邊都相等的四邊形是菱形證明：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形題型一：菱形的性質(zhì)-求角度1．如圖，在菱形中，，點(diǎn)為對角線上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接、、，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故選A．2．如圖，在菱形中，M，N分別在上，且，與交于點(diǎn)O，連接．若，則的度數(shù)為度．【答案】62【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：62．3．如圖，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分線交對角線BD于點(diǎn)P，垂足為E，連接CP，則∠CPB的度數(shù)是（）A．108° B．72° C．90° D．100°【答案】B【詳解】解：連接PA，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC＝36°，BD所在直線是菱形的對稱軸，∴PA＝PC，∵AD的垂直平分線交對角線BD于點(diǎn)P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°；故選：B．4．如圖，菱形的對角線、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，則．

【答案】【詳解】解：∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵四邊形是菱形，∴，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．5．如圖，在菱形中，交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，連接，若，則．【答案】【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．題型二：菱形的性質(zhì)-求長度1．菱形相鄰兩角的比為，那么菱形的對角線長與邊長的比為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榱庑蜗噜彽膬山腔パa(bǔ)，所以得到較小的角的度數(shù)是，較大的角是．設(shè)菱形的邊長為1，則角所對的對角線長為1，角所對的對角線長是，所以它們所對的對角線長與邊長的比為．故選：D．2．如圖，在菱形中，交對角線于點(diǎn)E，若，，則．【答案】3【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，在中，，，，故答案為：3．3．菱形ABCD的邊長為8，有一個(gè)內(nèi)角為120°，則較長的對角線的長為（）A．8 B．8 C．4 D．4【答案】A【詳解】根據(jù)題意作如圖所示：在菱形ABCD中，，又在△ABC中，AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=60°，∴∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=60°，∴三角形ABC為等邊三角形，∴AC=AB=8，∴AO=4，，，故選：A．4．如圖，菱形對角線，交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若菱形的面積為4，則菱形的邊長為（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝DC＝AD，∴菱形ABCD的面積＝AD?CE＝AD?AD＝AD2＝4，∴AD＝（負(fù)值舍去），即菱形的邊長為，故選：A．5．如圖，在矩形中，，，分別平分，，交，于點(diǎn)，．要使四邊形為菱形，則的長為．【答案】【詳解】解：∵在矩形中，平分，，，，．又，．要使四邊形為菱形，則，，故答案為：．題型三：菱形的性質(zhì)-求周長和面積1．如圖，在菱形中，、交于點(diǎn)O，若，，則的周長為（

）

A．16 B．18 C．20 D．26【答案】A【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，，∴，∴的周長，故選：A．2．如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，則菱形的周長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：四邊形是菱形，，，E為的中點(diǎn)且，，菱形的周長，故選：B．3．如圖，菱形ABCD中，若，，則菱形ABCD的面積為．【答案】120【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，，，則菱形的面積為，故答案為：120．4．如圖，在菱形中，，，則菱形邊上的高的長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：對角線，交于點(diǎn)，則為直角三角形則．，，菱形的面積根據(jù)邊長和高可以計(jì)算，根據(jù)對角線長也可以計(jì)算，即，∴，故選：A．5．如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)O，，，與交于點(diǎn)F．若，，則菱形的面積為．【答案】24【詳解】解：菱形中，，∵，∴四邊形是矩形∴中，∴∴菱形的面積為故答案為：24．題型四：菱形的性質(zhì)運(yùn)用1．菱形具有而矩形不一定有的性質(zhì)是（

）A．對角相等 B．鄰角互補(bǔ) C．對角線互相平分 D．四條邊都相等【答案】D【詳解】解：A、因?yàn)榫匦魏土庑味际瞧叫兴倪呅?，對角相等，所以本選項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)榫匦魏土庑味际瞧叫兴倪呅?，鄰角互補(bǔ)，所以本選項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)榫匦魏土庑味际瞧叫兴倪呅?，對角線互相平分，所以本選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，而矩形的四條邊不相等，所以本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．如圖，在菱形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，連接，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴．3．如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），連接DE并延長交射線AB于點(diǎn)F，連接BE．(1)求證：；(2)求證：．【答案】（1）證明：∵四邊形為菱形，∴，，在和中，，∴；（2）證明∶∵，∴，∵四邊形為菱形，∴AB∥CD，∴，∴．4．如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．

(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的邊長．【答案】(1)見解析(2)5【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四條邊相等），∠B=∠D（菱形的對角相等），∵AE⊥BC

AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定義），在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF(AAS)；（2）解：設(shè)菱形的邊長為x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x?2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x?2（全等三角形的對應(yīng)邊相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+(x?2)2=x2，解得x=5，∴菱形的邊長是5．題型五：菱形的判定判斷下列命題是否正確，并說明理由（1）對角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形（2）兩組對邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形（3）鄰角相等的四邊形是菱形（4）有一組鄰邊相等的四邊形是菱形（5）兩組對角分別相等且對角線互相垂直的四邊形是菱形（6）對角線互相垂直的四邊形是菱形（7）對角線互相垂直平分的四邊形是菱形（8）一條對角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形【答案】????????2.下列說法正確的是（）A．對角線互相平分的四邊形是菱形B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】D3.用兩個(gè)邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是（）A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．不能確定【答案】C4.下列說法不正確的是（）A．對角線相互垂直的四邊形是菱形B．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形D．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【答案】A5.下列條件中不能用來判定四邊形是菱形的是（）A．AB=CD，AB=AD，BC=CDB．∠A=∠C，∠B=∠D，AC⊥BDC．AB=CD，AD=BC，AC⊥BDD．OA=OB=OC=OD（O是對角線交點(diǎn)）【答案】D6．如圖，在矩形中．點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四條邊的中點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．

【答案】連接，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四條邊的中點(diǎn)，∴，∵矩形，∴，∴，∴平行四邊形為菱形．7．如圖，在四邊形中，，，O是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且．求證：

(1)；(2)四邊形是菱形．【答案】（1）∵，∴點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，∴，∵，∴，（2）證明：如圖，連接，

∵，，，∴，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形是菱形.8．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是的平分線，E為AD延長線上一點(diǎn)，CF//BE且交AD于F，連接BF、CE．求證：四邊形BECF是菱形．【答案】∵AB=AC，AD是角平分線，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴CF=BE，又∵CF∥BE，∴四邊形BFCE是平行四邊形；∵AB=AC，AD是角平分線，∴AD⊥BC，又∵四邊形BFCE是平行四邊形，∴四邊形BFCE是菱形．9．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，連接．(1)求證：；(2)判斷四邊形的形狀，并證明；(3)若，求線段的長度．【答案】(1)見解析(2)菱形，理由見解析(3)（1）證明：平分，，，，，又，，；（2）解：四邊形是菱形，理由如下：，，由（1）知，，，又，，，由（1）知，，又，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；（3）解：中，，，由（2）知，，，四邊形是菱形，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，，，，．課后練習(xí)1．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF，則∠CDF的度數(shù)為．【答案】60°【詳解】解：連接BD，BF，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠BAD=×80°=40°，AC垂直平分BD，AB//CD，∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=40°，∴∠CDF=100°-40°=60°，故答案為：60°．2．如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線交對角線BD于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E，連接AF、AC，若∠DCB＝70°，則∠FAC＝．【答案】20°【詳解】解：∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA，∵四邊形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BCA＝35°，∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠FAB＝55°，∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，故答案為：20°．3．如圖，在菱形中，對角線與相交于點(diǎn)O，，垂足為E點(diǎn)，若，則．【答案】65°【詳解】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°-130°=50°，∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．故答案為：65°．4．如圖，菱形的邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，（）A．15° B．30° C．40° D．50°【答案】B【詳解】如圖，連接，∵四邊形是菱形，∴，，在和中，∵，∴∴∵垂直平分，，∴∵，∴．故選：B．5．菱形的周長是24，兩鄰角比為1∶2，較長的對角線長為．【答案】【詳解】解：如圖，菱形的周長是24，菱形的邊長，菱形的兩鄰角之比為，較小的內(nèi)角，是等邊三角形，，在菱形中，，，，，在中，，較長的對角線．故答案為：．6．如圖，在菱形中，對角線，分別為和，于點(diǎn)，則．【答案】【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，∵四邊形是菱形，，，，，，，，故答案為：．7．如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，若，則菱形的面積為．【答案】48【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面積，故答案為：48．8．如圖，在菱形中，，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)E，則線段的長為（）A．4 B．3 C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為O，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，故選：D．9．如圖，在菱形中，，M、N分別是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)P．則的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】A如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)G，∵四邊形是菱形，∴，∴，，∵，即，∴，∵M(jìn)、N分別是邊的中點(diǎn)，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴N為中點(diǎn)．∴，∴，∴，即，故選A．10．如圖，菱形，、分別是，上的點(diǎn)，，，求的度數(shù)．【答案】【詳解】連接，∵四邊形是菱形，∴為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，且，∴11．如圖，中，對角線、交于點(diǎn)，在上截?。?1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求證：平分．【答案】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，；∴四邊形是矩形；（2）證明：∵四邊形是矩形，，∴四邊形是正方形，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∴平分．12．如圖，在三角形紙片ABC中，AD平分∠BAC，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，展開后折痕分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF．求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四邊形AE