高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 13.2 合情推理與演繹推理 理 蘇教版

13.2合情推理與演繹推理一、填空題1．下列表述正確的是________．①歸納推理是由部分到整體的推理②歸納推理是由一般到一般的推理③演繹推理是由一般到特殊的推理④類(lèi)比推理是由特殊到一般的推理⑤類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理解析歸納推理是由個(gè)別到一般的推理，故②錯(cuò)．答案①③⑤2．已知數(shù)列{an}滿足an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，定義使a1·a2·a3·…·ak為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫做幸運(yùn)數(shù)，則k∈[1,2011]內(nèi)所有的幸運(yùn)數(shù)的和為_(kāi)_______．解析a1·a2·a3·…·ak＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg5,lg4)·…·eq\f(lgk＋2,lgk＋1)＝eq\f(lgk＋2,lg2)＝log2(k＋2)為整數(shù)，所以k＝2t－2(t∈N*)，又k∈[1,2011]，所以k＝2,22,23，…，210，和為2(210－1)＝2046.答案20463．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________.解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．答案－g(x)4．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______．解析∵兩個(gè)正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1∶8.答案1∶85.設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為則成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)積為則,成等比數(shù)列.解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類(lèi)比性,且等差數(shù)列與和、差有關(guān),等比數(shù)列與積、商有關(guān),因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列時(shí),類(lèi)比到等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等比數(shù)列.下面證明該結(jié)論的正確性:設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q,首項(xiàng)為則∴即故成等比數(shù)列.答案6．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱(chēng)為直線的法向量，在平面直線坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A(－3,4)，且法向量為n＝(1，－2)的直線(點(diǎn)法式)方程為1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡(jiǎn)得x－2y＋11＝0.類(lèi)比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)且法向量為n＝(－1，－2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為_(kāi)_______(請(qǐng)寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的結(jié)果)；解析類(lèi)比可得－1×(x－1)－2×(y－2)＋(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.答案x＋2y－z－2＝07．已知5×5數(shù)字方陣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11a12a13a14a15,a21a22a23a24a25,a31a32a33a34a35,a41a42a43a44a45,a51a52a53a54a55))中，aij＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1j是i的整數(shù)倍，,－1j不是i的整數(shù)倍.))則eq\i\su(j＝2,5,a)3j＋eq\i\su(i＝2,4,a)i4＝________.解析eq\i\su(j＝2,5,a)3j＋eq\i\su(i＝2,4,a)i4＝(a32＋a33＋a34＋a35)＋(a24＋a34＋a44)＝(－1＋1－1－1)＋(1－1＋1)＝－1.答案－18.已知an＝(eq\f(1,3))n，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a…記A(s，t)表示第s行的第t個(gè)數(shù)，則A(11,12)＝________.解析由于該三角形數(shù)陣的每一行數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別為1,3,5,7,9，…，可得前10行共有eq\f(10(1＋19),2)＝100個(gè)數(shù)，A(11,12)表示第11行的第12個(gè)數(shù)，則A(11,12)是數(shù)列{an}的第100＋12＝112個(gè)數(shù)，即可得A(11,12)＝(eq\f(1,3))112，故應(yīng)選D.答案(eq\f(1,3))1129．觀察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推測(cè)m－n＋p＝________.解析m＝29＝512，p＝5×10＝50.又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.答案96210．如圖是一個(gè)數(shù)表，第一行依次寫(xiě)著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個(gè)數(shù)的和寫(xiě)在這兩個(gè)數(shù)的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無(wú)限項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)表中的第13行，第10個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．eq\x(\a\al(1234567…,35791113…,812162024…,………))解析觀察數(shù)表可知，每行數(shù)分別構(gòu)成公差為20,21,22,23，…的等差數(shù)列，所以第13行的公差為212.又每行第一個(gè)數(shù)分別為1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一個(gè)數(shù)為212＋12×211＝7×212，第10個(gè)數(shù)為7×212＋9×212＝16×212＝216.答案216(或65536)11．已知m＞0，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，可推廣為x＋eq\f(m,xn)≥n＋1，則m的值為_(kāi)_______．解析x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)，易得其展開(kāi)后各項(xiàng)之積為定值1，所以可猜想出x＋eq\f(m,xn)＝eq\f(x,n)＋eq\f(x,n)＋…＋eq\f(x,n)＋eq\f(m,xn)，也滿足各項(xiàng)乘積為定值1，于是m＝nn.答案nn12．已知結(jié)論：“在三邊長(zhǎng)都相等的△ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是△ABC外接圓的圓心，則eq\f(AG,GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在六條棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若點(diǎn)M是△BCD的三邊中線交點(diǎn)，O為四面體ABCD外接球的球心，則eq\f(AO,OM)＝________”．解析如圖，設(shè)四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則由M是△BCD的重心，得BM＝eq\f(\r(3),3)a，AM＝eq\f(\r(6),3)a，設(shè)OA＝R，則OB＝R，OM＝eq\f(\r(6),3)a－R，于是由R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－R))2，解得R＝eq\f(\r(6),4)a，所以eq\f(AO,OM)＝eq\f(\f(\r(6),4)a,\f(\r(6),3)a－\f(\r(6),4)a)＝3.答案313.將正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)個(gè)全等的小正三角形((1)，(2)分別給出了n＝2,3的情形)，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)＝2，f(3)＝，…，f(n)＝.解析當(dāng)n＝3時(shí)，如圖所示，分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫(xiě)字母表示，即由條件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a，x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2,2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y(tǒng)1＋z2，6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋即g＝eq\f(1,3)而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)，進(jìn)一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三個(gè)數(shù)，f(2)中有6個(gè)數(shù)，f(3)中共有10個(gè)數(shù)相加，f(4)中有15個(gè)數(shù)相加…，若f(n－1)中有an－1(n＞1)個(gè)數(shù)相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)個(gè)數(shù)相加，且由f(1)＝1＝eq\f(3,3)，f(2)＝eq\f(6,3)＝eq\f(3＋3,3)＝f(1)＋eq\f(3,3)，f(3)＝eq\f(10,3)＝f(2)＋eq\f(4,3)，f(4)＝5＝f(3)＋eq\f(5,3)，…可得f(n)＝f(n－1)＋eq\f(n＋1,3)，所以f(n)＝f(n－1)＋eq\f(n＋1,3)＝f(n－2)＋eq\f(n＋1,3)＋eq\f(n,3)＝…＝eq\f(n＋1,3)＋eq\f(n,3)＋eq\f(n－1,3)＋…＋eq\f(3,3)＋f(1)＝eq\f(n＋1,3)＋eq\f(n,3)＋eq\f(n－1,3)＋…＋eq\f(3,3)＋eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)(n＋1)(n＋2)．答案eq\f(10,3)eq\f(1,6)(n＋1)·(n＋2)二、解答題14.如圖，一個(gè)樹(shù)形圖依據(jù)下列規(guī)律不斷生長(zhǎng)：1個(gè)空心圓點(diǎn)到下一行僅生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)到下一行生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)和1個(gè)空心圓點(diǎn).(1)求第n行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)與第n－1，n－2行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系.(2)求第11行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解題指南】設(shè)出第n行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)an，空心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)bn，則它與第n－1行的關(guān)系由題意不難得出，整理可得解.【解析】(1)設(shè)第n行實(shí)心圓點(diǎn)有an個(gè)，空心圓點(diǎn)有bn個(gè)，由樹(shù)形圖的生長(zhǎng)規(guī)律可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn＝an－1,an＝an－1＋bn－1))，∴an＝an－1＋bn－1＝an－1＋an－2，即第n行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)等于第n－1行與第n－2行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)之和.(2)由(1)可得數(shù)列{an}為0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是該數(shù)列的第11項(xiàng)55.【方法技巧】解決“生成”數(shù)列的方法解決生成數(shù)列的關(guān)鍵在于抓住該數(shù)列的生成規(guī)律，一方面可以通過(guò)不完全歸納法來(lái)猜想結(jié)論，另一方面也可以通過(guò)第n項(xiàng)與第n－1項(xiàng)的關(guān)系來(lái)分析與處理.此類(lèi)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn).15．平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類(lèi)似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積S＝eq\f(1,2)×底×高；(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的eq\f(1,2)；……請(qǐng)類(lèi)比上述性質(zhì)，寫(xiě)出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論．解析由三角形的性質(zhì)，可類(lèi)比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：(1)四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)四面體的體積V＝eq\f(1,3)×底面積×高；(3)四面體的中位面平行于第四個(gè)面且面積等于第四個(gè)面的面積的eq\f(1,4).16．如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求證：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和結(jié)論，并最終把推理過(guò)程用簡(jiǎn)略的形式表示出來(lái))．證明(1)同位角相等，兩條直線平行，(大前提)∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥EA.(結(jié)論)(2)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)DE∥FA且DF∥EA，(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形．(結(jié)論)(3)平行四邊形的對(duì)邊相等，(大前提)ED和AF為平行四邊形的對(duì)邊，(小前提)所以ED＝AF.(結(jié)論)上面的證明可簡(jiǎn)略地寫(xiě)成：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠BFD＝∠A?DF∥EA,DE∥FA))?四邊形AFDE是平行四邊形?ED＝AF.17．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，(1)求a18的值；(2)求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)由等和數(shù)列的定義，數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋eq\o(2,\s\do4(\f(n,2)個(gè)2))＋3＋3＋…＋eq\o(3,\s\do4(\f(n,2)個(gè)3))＝eq\f(5,2)n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f(5,2)(n－1)＋2＝eq\f(5,2)n－eq\f(1,2).綜上所述：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)nn為偶數(shù)，,\f(5,2)n－\f(1,2)n為奇數(shù).))18．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求