概率方法在不等式證明中的應用

II）用構建一次函數(shù)證明：證明：構造一個一次函數(shù)f(x),定義在區(qū)間[0,1]上當時，所以當時，所以因為是一次函數(shù)，且所以在上，恒有即對比：對比以上兩種解題方法，可以鮮明地看出運用概率論知識來證明不等式方便簡單，避免了分類討論和一些繁瑣的計算化簡。例2已知求證：分析原式即由條件知所以即需證即需證成立，顯然利用概率模型來證極為簡單。證明:設兩獨立事件和即則所以因為故即得。所以例3證明：若a,b,c為三角形三邊的長，且則(第23屆全蘇數(shù)學奧林匹克試題)證明：為三角形三邊的長同理設為三個獨立事件，且則從而有小結：根據(jù)題意建立概率模型，設定隨機變量，將不等式中的未知量用模型中的事件來替換，就可利用概率中事件之間的關系列出不等式，從而獲得證明。這種思路方法也可適用解決生活當中的一些不等關系，給我們生活帶來便捷。二、利用切比雪夫不等式證明與概率有關的不等式定理1（切比雪夫Chebyshev不等式）設隨機變量的數(shù)學期望，方差,則對于任意正數(shù)，成立不等式：.證明：略。切比雪夫不等式估計出隨機變量在區(qū)間內取值的概率不小于，由此可知：若方差越小，則概率越大，說明隨機變量取值在數(shù)學期望附近的密集程度越高；若方差越大，則概率越小，說明隨機變量取值在數(shù)學期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式說明方差刻畫了隨機變量的取值對其期望的離散程度。當隨機變量的分布未知時，由期望與方差、利用切比雪夫不等式也能提供關于分布的信息(實用性強)，利用這個信息可以粗略估計(估計粗糙)隨機變量落入關于其數(shù)學期望對稱區(qū)間內(有限制)的概率。例4設的概率密度函數(shù)為試證：[1]證明：因此，由切比雪夫不等式取對隨機變量有即引理1設隨機變量X的數(shù)學期望EX=0，方差，則對于任意正數(shù)ε，成立不等式：證明：對任意的實數(shù)x>0,利用馬爾可夫不等式，有記則時f(x)達到最小值，此時，命題得證。根據(jù)該引理，容易得到下列定理。定理2（單邊切比雪夫不等式）設隨機變量X的數(shù)學期望EX=μ，方差,則對于任意正數(shù)ε，成立不等式：,[2]例5將n(n>5)個人的帽子充分混合后每個人隨機地從中取出一頂，求至少有5人拿到自己帽子的概率小于1/17。解：記i=1,2,…,n.設，則帽子和人配對數(shù)X可表示為由于，所以，利用單邊切比雪夫不等式，有.三、利用數(shù)學期望的性質證明不等式1）利用方差的非負性由方差的定義及重要計算公式

有(1)利用上述方差的非負性，可使得一些分式不等式或積分不等式很快得到證明，避免繁瑣的推導過程。例6設，且求證：證明：由題設，可設離散型隨機變量X的概率分布列為X1/x2/y3/zPxyz則∴例7設為銳角，且則[3]證明：由得構造隨機變量的函數(shù)分布列：則由，得小結：由上面的例子可以看出，利用方差的非負性證明分式不等式時，關鍵在于靈活構造隨機變量的概率分布列，但必須注意滿足概率非負，且其和為1的條件。例8若在上非負連續(xù)，，則證明：∵在上非負連續(xù)，又，由概率密度函數(shù)定義，是某取值在上的隨機變量ξ的密度。令由（1）得(2)同理∴(3)由（2）+（3）有2）利用Jensen不等式定義1（凸函數(shù)）設為在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有則稱為上的凸函數(shù)。定義2（凹函數(shù)）設為在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有則稱為上的凹函數(shù)。定理3（Jensen不等式）設是一隨機變量，取值于區(qū)間，(1)若是連續(xù)的凸函數(shù)，那么如果和存在，則；(2)若是連續(xù)的凹函數(shù)，那么如果和存在，則[4]例9設在上非負連續(xù)，則證明：令則密度，∴在上非負連續(xù)，存在。令為凸函數(shù)。，由，即例10設在上連續(xù)，，在上位可微凸函數(shù)，則[3]證明：令∵在上連續(xù)，在上可微凸函數(shù)∴在上可積，存在.由例11若在上連續(xù)，且,則證明：令隨機變量為定義在上的均勻分布.，為凹函數(shù)，∵在上連續(xù)，且,由可積性∴和存在由Jensen不等式為凹函數(shù)，∴即小結：上面的例子說明，如果被積函數(shù)包含凸函數(shù)或者凹函數(shù)，可以適當引入隨機變量，然后利用Jensen不等式所展示的數(shù)學期望的性質，輕松解決不等式的證明問題。四、構造特殊的隨機變量證明不等式在證明不等式時，如果能夠發(fā)現(xiàn)其中蘊含某些常用分布的分布列或者密度函數(shù)，那么通過引入隨機變量，可將一些與求和或者積分有關的不等式化成數(shù)學期望，然后利用概率論知識巧證這些不等式。1）利用正態(tài)分布的密度函數(shù)例12利用概率論方法證明：當時，有[6]證明：設隨機變量和相互獨立，且都服從分布。則其聯(lián)合密度函數(shù)注1：我們知道，重積分可轉化為定積分，而定積分又可轉化成重積分，后者是概率論中常用的一個積分技巧。如驗證，也是通過將左端轉為二重積分而實現(xiàn)的。注2：本題的另一大關鍵是不等式的放大。一個非負可積函數(shù)在某一正方形區(qū)域上的積分當然小于該函數(shù)在以正方形的對角線為直徑的圓域上的積分。這從定積分幾何意義上容易理解。不少概率問題的積分運算從幾何意義上不失為計算積分的一個好途徑。2）利用兩點分布證明不等式例13設則對于一切,成立不等式證明：設隨機變量服從兩點分布：則,由得利用指數(shù)分布證明不等式例14設若則成立不等式證明：設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度：則由得4）利用泊松分布證明不等式例15設為某一實函數(shù)，若則成立不等式證明：設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，其分布律為則由得小結：在概率論中有各種各樣的隨機變量，如上列舉的有正態(tài)分布、兩點分布、指數(shù)分布、泊松分布，在實際證明不等式和求解函數(shù)最大值的時候引入隨機變量，再運用這些分布函數(shù)來證明，往往會有意想不到的效果——簡潔易懂，思路清晰。參考文獻[1]夏利民，成福偉.切比雪夫不等式應用幾例[J].承德民族師專學報，2008,28(2):3-4.[2]張玉春，曾夢涵.一類概率不等式及其應用[J].高等數(shù)學研究，2010,1(13):45-46.[3]湯茂林.一個概率不等式的應用[J].