概率方法在不等式證明中的應(yīng)用

II）用構(gòu)建一次函數(shù)證明：證明：構(gòu)造一個一次函數(shù)f(x),定義在區(qū)間[0,1]上當(dāng)時，所以當(dāng)時，所以因為是一次函數(shù)，且所以在上，恒有即對比：對比以上兩種解題方法，可以鮮明地看出運(yùn)用概率論知識來證明不等式方便簡單，避免了分類討論和一些繁瑣的計算化簡。例2已知求證：分析原式即由條件知所以即需證即需證成立，顯然利用概率模型來證極為簡單。證明:設(shè)兩獨立事件和即則所以因為故即得。所以例3證明：若a,b,c為三角形三邊的長，且則(第23屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題)證明：為三角形三邊的長同理設(shè)為三個獨立事件，且則從而有小結(jié)：根據(jù)題意建立概率模型，設(shè)定隨機(jī)變量，將不等式中的未知量用模型中的事件來替換，就可利用概率中事件之間的關(guān)系列出不等式，從而獲得證明。這種思路方法也可適用解決生活當(dāng)中的一些不等關(guān)系，給我們生活帶來便捷。二、利用切比雪夫不等式證明與概率有關(guān)的不等式定理1（切比雪夫Chebyshev不等式）設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差,則對于任意正數(shù)，成立不等式：.證明：略。切比雪夫不等式估計出隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)取值的概率不小于，由此可知：若方差越小，則概率越大，說明隨機(jī)變量取值在數(shù)學(xué)期望附近的密集程度越高；若方差越大，則概率越小，說明隨機(jī)變量取值在數(shù)學(xué)期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式說明方差刻畫了隨機(jī)變量的取值對其期望的離散程度。當(dāng)隨機(jī)變量的分布未知時，由期望與方差、利用切比雪夫不等式也能提供關(guān)于分布的信息(實用性強(qiáng))，利用這個信息可以粗略估計(估計粗糙)隨機(jī)變量落入關(guān)于其數(shù)學(xué)期望對稱區(qū)間內(nèi)(有限制)的概率。例4設(shè)的概率密度函數(shù)為試證：[1]證明：因此，由切比雪夫不等式取對隨機(jī)變量有即引理1設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=0，方差，則對于任意正數(shù)ε，成立不等式：證明：對任意的實數(shù)x>0,利用馬爾可夫不等式，有記則時f(x)達(dá)到最小值，此時，命題得證。根據(jù)該引理，容易得到下列定理。定理2（單邊切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=μ，方差,則對于任意正數(shù)ε，成立不等式：,[2]例5將n(n>5)個人的帽子充分混合后每個人隨機(jī)地從中取出一頂，求至少有5人拿到自己帽子的概率小于1/17。解：記i=1,2,…,n.設(shè)，則帽子和人配對數(shù)X可表示為由于，所以，利用單邊切比雪夫不等式，有.三、利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明不等式1）利用方差的非負(fù)性由方差的定義及重要計算公式

有(1)利用上述方差的非負(fù)性，可使得一些分式不等式或積分不等式很快得到證明，避免繁瑣的推導(dǎo)過程。例6設(shè)，且求證：證明：由題設(shè)，可設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為X1/x2/y3/zPxyz則∴例7設(shè)為銳角，且則[3]證明：由得構(gòu)造隨機(jī)變量的函數(shù)分布列：則由，得小結(jié)：由上面的例子可以看出，利用方差的非負(fù)性證明分式不等式時，關(guān)鍵在于靈活構(gòu)造隨機(jī)變量的概率分布列，但必須注意滿足概率非負(fù)，且其和為1的條件。例8若在上非負(fù)連續(xù)，，則證明：∵在上非負(fù)連續(xù)，又，由概率密度函數(shù)定義，是某取值在上的隨機(jī)變量ξ的密度。令由（1）得(2)同理∴(3)由（2）+（3）有2）利用Jensen不等式定義1（凸函數(shù)）設(shè)為在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有則稱為上的凸函數(shù)。定義2（凹函數(shù)）設(shè)為在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有則稱為上的凹函數(shù)。定理3（Jensen不等式）設(shè)是一隨機(jī)變量，取值于區(qū)間，(1)若是連續(xù)的凸函數(shù)，那么如果和存在，則；(2)若是連續(xù)的凹函數(shù)，那么如果和存在，則[4]例9設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，則證明：令則密度，∴在上非負(fù)連續(xù)，存在。令為凸函數(shù)。，由，即例10設(shè)在上連續(xù)，，在上位可微凸函數(shù)，則[3]證明：令∵在上連續(xù)，在上可微凸函數(shù)∴在上可積，存在.由例11若在上連續(xù)，且,則證明：令隨機(jī)變量為定義在上的均勻分布.，為凹函數(shù)，∵在上連續(xù)，且,由可積性∴和存在由Jensen不等式為凹函數(shù)，∴即小結(jié)：上面的例子說明，如果被積函數(shù)包含凸函數(shù)或者凹函數(shù)，可以適當(dāng)引入隨機(jī)變量，然后利用Jensen不等式所展示的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，輕松解決不等式的證明問題。四、構(gòu)造特殊的隨機(jī)變量證明不等式在證明不等式時，如果能夠發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含某些常用分布的分布列或者密度函數(shù)，那么通過引入隨機(jī)變量，可將一些與求和或者積分有關(guān)的不等式化成數(shù)學(xué)期望，然后利用概率論知識巧證這些不等式。1）利用正態(tài)分布的密度函數(shù)例12利用概率論方法證明：當(dāng)時，有[6]證明：設(shè)隨機(jī)變量和相互獨立，且都服從分布。則其聯(lián)合密度函數(shù)注1：我們知道，重積分可轉(zhuǎn)化為定積分，而定積分又可轉(zhuǎn)化成重積分，后者是概率論中常用的一個積分技巧。如驗證，也是通過將左端轉(zhuǎn)為二重積分而實現(xiàn)的。注2：本題的另一大關(guān)鍵是不等式的放大。一個非負(fù)可積函數(shù)在某一正方形區(qū)域上的積分當(dāng)然小于該函數(shù)在以正方形的對角線為直徑的圓域上的積分。這從定積分幾何意義上容易理解。不少概率問題的積分運(yùn)算從幾何意義上不失為計算積分的一個好途徑。2）利用兩點分布證明不等式例13設(shè)則對于一切,成立不等式證明：設(shè)隨機(jī)變量服從兩點分布：則,由得利用指數(shù)分布證明不等式例14設(shè)若則成立不等式證明：設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度：則由得4）利用泊松分布證明不等式例15設(shè)為某一實函數(shù)，若則成立不等式證明：設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，其分布律為則由得小結(jié)：在概率論中有各種各樣的隨機(jī)變量，如上列舉的有正態(tài)分布、兩點分布、指數(shù)分布、泊松分布，在實際證明不等式和求解函數(shù)最大值的時候引入隨機(jī)變量，再運(yùn)用這些分布函數(shù)來證明，往往會有意想不到的效果——簡潔易懂，思路清晰。參考文獻(xiàn)[1]夏利民，成福偉.切比雪夫不等式應(yīng)用幾例[J].承德民族師專學(xué)報，2008,28(2):3-4.[2]張玉春，曾夢涵.一類概率不等式及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010,1(13):45-46.[3]湯茂林.一個概率不等式的應(yīng)用[J].