2024-2025學年山西省四校高三下學期二調(diào)數(shù)學試題含解析

2024-2025學年山西省四校高三下學期二調(diào)數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．22．已知數(shù)列的前項和為，且，，則()A． B． C． D．3．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．6．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．8．甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說：“我沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．11．方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點”，如果函數(shù)的“新駐點”為，那么滿足（）A． B． C． D．12．設全集，集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點的游客數(shù)量情況，隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數(shù)，得到如下莖葉圖：由此可估計，全年（按360天計算）中，游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點比乙景點多______天.14．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.15．若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中各項的系數(shù)和是________．16．在平面直角坐標系中，已知點，，若圓上有且僅有一對點，使得的面積是的面積的2倍，則的值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.18．（12分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù).20．（12分）在數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的最小值21．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.（Ｉ）求角的大?。唬á颍┤?，求面積的取值范圍.22．（10分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設，，（單位：百米）.（1）分別求，關于x的函數(shù)關系式；（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．2．C【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，求得其通項公式，由此求得.【詳解】由于，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，第二項為，所以公比為.所以，所以.故選：C本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項公式，屬于基礎題.3．A【解析】

根據(jù)向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【詳解】因為,所以，所以，故選：A本題主要考查了向量的線性運算，向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.4．A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解，設，方程可化為，即或，求出的導數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因為，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．本題考查復合函數(shù)的零點．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學生分析問題解決問題的能力．5．C【解析】

先求導函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對導函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.6．B【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應用意識.7．B【解析】

首先求得兩曲線的交點坐標，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項.本題主要考查定積分的概念與計算，屬于中等題.8．A【解析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，?。何覜]有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；假設甲：我沒有抓到是假的，那么丁：我沒有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎題.9．B【解析】

三視圖對應的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補成如下圖所示的圓柱，其體積為，故原幾何體的體積為.故選：B.本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復原幾何體時注意三視圖中的點線關系與幾何體中的點、線、面的對應關系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積，本題屬于基礎題.10．C【解析】

將函數(shù)解析式化簡，并求得，根據(jù)當時可得的值域；由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故選：C.本題考查了導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用，恒成立與存在性成立問題的綜合應用，屬于中檔題.11．D【解析】

由題設中所給的定義，方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，根據(jù)零點存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解：由題意方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，對于函數(shù)，由于，，設，該函數(shù)在為增函數(shù)，，，在上有零點，故函數(shù)的“新駐點”為，那么故選：．本題是一個新定義的題，理解定義，分別建立方程解出存在范圍是解題的關鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于基礎題..12．D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D本題考查了集合的交集和補集混合運算，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．72【解析】

根據(jù)給定的莖葉圖，得到游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，進而求得全年中，甲景點比乙景點多的天數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)給定的莖葉圖可得，在隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數(shù)中，游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，所以在全年）中，游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點比乙景點多天.故答案為：.本題主要考查了莖葉圖的應用，其中解答中熟記莖葉圖的基本知識，合理推算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14．192【解析】

根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．15．【解析】

由題意得出展開式中共有11項，；再令求得展開式中各項的系數(shù)和．【詳解】由的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中共有11項，所以；令，可求得展開式中各項的系數(shù)和是：．故答案為：1．本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法，屬于基礎題.16．【解析】

寫出所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結(jié)合題意可得關于的等式，求解得答案．【詳解】解：直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，由的面積是的面積的2倍的點，有且僅有一對，可得點到的距離是點到直線的距離的2倍，可得過圓的圓心，如圖：由，解得．故答案為：．本題考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式應用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．.【解析】

根據(jù)特征多項式可得，可得，進而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因為矩陣的特征多項式，所以，所以.因為，且，所以.本題考查矩陣的特征多項式以及逆矩陣的求解，是基礎題.18．（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設直線，與聯(lián)立，得，再由弦長公式，求解.（2）設，根據(jù)直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點的縱坐標為，然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點H的縱坐標，說明直線軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯(lián)立得；設，則，解得，故拋物線的方程為.（2），因為直線的斜率為1，則，所以，因為，所以線段中點的縱坐標為.直線的方程為，即①直線的方程為，即②聯(lián)立①②解得即點的縱坐標為，即直線軸，故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，綜上所述，直線的斜率為0.本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)求導后分析導函數(shù)的正負再判斷單調(diào)性即可.(2),有零點等價于方程實數(shù)根,再換元將原方程轉(zhuǎn)化為,再求導分析的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調(diào)遞減；當時,,所以在單調(diào)遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.（2）,有零點等價于方程實數(shù)根,令則原方程轉(zhuǎn)化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.本題主要考查了利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時也考查了利用導數(shù)分析函數(shù)零點的問題,屬于中檔題.20．（1）；（2）【解析】

（1）由得，兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列，由此即可求出答案；（2），分類討論，當時，，作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因為，，兩式相減得：，即，是從第二項開始的等比數(shù)列，∵∴，則，；（2），當時，；當時，設遞增，，所以實數(shù)的最小值．本題主要考查地推數(shù)列的應用，屬于中檔題．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ｉ）根據(jù)，