習(xí)題教學(xué)功能之鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能

［摘要］“雙基”教學(xué)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的主要特征，落實(shí)“雙基”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大致可以分為例題教學(xué)和習(xí)題教學(xué)。從教育學(xué)、心理學(xué)以及教育神經(jīng)科學(xué)等理論來(lái)看，習(xí)題教學(xué)是有效落實(shí)“雙基”的最佳途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)“雙基”，具有熟練促進(jìn)長(zhǎng)時(shí)記憶、速度贏(yíng)得效率、“熟能生巧”的學(xué)習(xí)精神等現(xiàn)實(shí)意義，能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。［關(guān)鍵詞］小學(xué)數(shù)學(xué)；習(xí)題教學(xué)；基礎(chǔ)知識(shí)；基本技能；雙基；功能“中國(guó)數(shù)學(xué)教育有許多特色，但是以雙基教學(xué)為主要特征。”［1］數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”，是指數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。一、數(shù)學(xué)“雙基”與習(xí)題教學(xué)2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的課程總體目標(biāo)第一條表述為：“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能?！盵2]這里，對(duì)數(shù)學(xué)“雙基”的表述是含糊的，但內(nèi)容上是有所體現(xiàn)的，比如“重要數(shù)學(xué)知識(shí)”可理解為“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”、“必要的應(yīng)用技能”可理解為“數(shù)學(xué)基本技能”。2011年，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂稿頒布，課程總體目標(biāo)第一條調(diào)整為：“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！盵3]2022年，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》再次修訂頒布，課程總體目標(biāo)第一條表述為：“獲得適應(yīng)未來(lái)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！盵4]不難發(fā)現(xiàn)，2011年和2022年兩次數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，都明確了數(shù)學(xué)“雙基”的提法?？梢?jiàn)，在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革不斷推進(jìn)的浪潮中，數(shù)學(xué)“雙基”的地位非但沒(méi)有下降，反而逐漸清晰且穩(wěn)固。這當(dāng)然是不難理解的，因?yàn)椤皻v史經(jīng)驗(yàn)告訴我們，什么時(shí)候加強(qiáng)雙基，教學(xué)質(zhì)量就提高；什么時(shí)候削弱雙基，教學(xué)質(zhì)量就下降”[5]。確實(shí)，現(xiàn)實(shí)中不可能存在不談質(zhì)量的教學(xué)，質(zhì)量是教學(xué)的生命。由此可見(jiàn)，“雙基”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。在小學(xué)數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，理解數(shù)學(xué)技能的原理和操作，這自然是落實(shí)數(shù)學(xué)“雙基”不可或缺的環(huán)節(jié)，但數(shù)學(xué)“雙基”的落實(shí)僅靠例題教學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)“雙基”的真正有效落實(shí)，依靠的是習(xí)題教學(xué)。這也表達(dá)出一個(gè)觀(guān)點(diǎn)，習(xí)題教學(xué)一個(gè)最基礎(chǔ)、最被人認(rèn)可的、無(wú)法替代的功能，便是可以鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。例如，在教學(xué)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”中，教師通過(guò)例題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探究過(guò)程，理解并總結(jié)出質(zhì)數(shù)與合數(shù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。那么，總結(jié)出數(shù)學(xué)概念是不是就意味著對(duì)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)已經(jīng)完成了呢？當(dāng)然不是。雖然數(shù)學(xué)教學(xué)重視理解，但并不是說(shuō)僅憑例題教學(xué)的理解就夠了。雖然數(shù)學(xué)教學(xué)反對(duì)死記硬背，但不是說(shuō)數(shù)學(xué)就不用記和背，只是不用“死記”和“硬背”。因此，在總結(jié)出質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念之后，還需要開(kāi)展相關(guān)的跟進(jìn)教學(xué)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握新概念，這便是習(xí)題教學(xué)。常規(guī)的，也是較為有效的做法，在總結(jié)出質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念之后，教師會(huì)安排類(lèi)似下面這樣一道習(xí)題的練習(xí)。判斷下面各數(shù)：哪些是質(zhì)數(shù)？哪些是合數(shù)？2，12，13，36，57，67，81，97，0。這樣的習(xí)題看上去非常簡(jiǎn)單，但是千萬(wàn)不要小看這樣的簡(jiǎn)單習(xí)題，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念的真正掌握——能否運(yùn)用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念正確判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)（注意：學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的目的不是為了知道它們的概念，而是為了能根據(jù)概念判斷出一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)），就是在這樣的習(xí)題教學(xué)中實(shí)現(xiàn)的。這是因?yàn)閷W(xué)生通過(guò)例題學(xué)習(xí)總結(jié)出質(zhì)數(shù)與合數(shù)這兩個(gè)概念時(shí)，他們對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的認(rèn)知只是達(dá)到初步理解的層面，此時(shí)這兩個(gè)概念尚未進(jìn)入到學(xué)生大腦的長(zhǎng)時(shí)記憶中。因此，如果在例題教學(xué)之后對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的教學(xué)就此停止的話(huà)，那么學(xué)生對(duì)這兩個(gè)剛剛習(xí)得的數(shù)學(xué)概念將會(huì)很快出現(xiàn)一定程度的遺忘，這自然就難以真正掌握了。上述論斷的理論依據(jù)是人類(lèi)記憶遺忘曲線(xiàn)。德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)：“記憶的保持和記憶內(nèi)容擱置的時(shí)間存在一定的規(guī)律。詳細(xì)說(shuō)來(lái)就是，在學(xué)習(xí)材料達(dá)到第一次無(wú)誤復(fù)現(xiàn)之后的最近幾小時(shí)里，遺忘速度是最快的，隨著時(shí)間的推移，遺忘的比例會(huì)越來(lái)越少?！盵6]艾賓浩斯的這一發(fā)現(xiàn)，可用具體的量化數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明（見(jiàn)表1）。上表中的量化數(shù)據(jù)，艾賓浩斯是以無(wú)意義音節(jié)為記憶材料開(kāi)展研究測(cè)試后得出的。之后，艾賓浩斯改變了記憶材料（有意義材料）進(jìn)行研究測(cè)試，數(shù)據(jù)略有變化，但差別不大。艾賓浩斯的這個(gè)研究發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被許多心理學(xué)、教育學(xué)等方面的教科書(shū)引用，稱(chēng)為“艾賓浩斯記憶保持曲線(xiàn)”或“艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)”（見(jiàn)圖1）。艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)告訴我們：遺忘在學(xué)習(xí)之后立即開(kāi)始，且遺忘的進(jìn)程并不是均勻的，最初遺忘速度很快，以后逐漸緩慢，即呈現(xiàn)出先快后慢的趨勢(shì)。比如，剛剛記憶完畢之后的20分鐘，要遺忘約40%的量，而這20分鐘的遺忘量，差不多是接下來(lái)一個(gè)月的遺忘量?，F(xiàn)在回到“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)，就不難相信學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握僅靠例題是不可能實(shí)現(xiàn)的了。特別是，艾賓浩斯的研究測(cè)試是在“達(dá)到第一次無(wú)誤復(fù)現(xiàn)”的背景下開(kāi)始的。如上面所講的“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”教學(xué)，指學(xué)生已經(jīng)能夠準(zhǔn)確無(wú)誤地復(fù)述質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。但是，上面所講的例題教學(xué)尚處于剛剛總結(jié)出質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念的階段，還未達(dá)到準(zhǔn)確無(wú)誤的復(fù)述層次。因此，可以想象完成例題教學(xué)后，不及時(shí)跟進(jìn)習(xí)題教學(xué)，學(xué)生接下來(lái)的遺忘會(huì)更加嚴(yán)重。在這樣的背景下，再來(lái)看上面“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”例題教學(xué)之后的那道習(xí)題，就更能發(fā)現(xiàn)它在此時(shí)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)所起到的重要作用。比如，學(xué)生要判斷2是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，就要經(jīng)歷以下的思考過(guò)程：第一步，回憶質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，知道判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)要看這個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)；第二步，找出2的因數(shù)，發(fā)現(xiàn)2的因數(shù)只有1和它本身兩個(gè)；第三步，根據(jù)“質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)”，判定2是質(zhì)數(shù)。以上將判斷2是質(zhì)數(shù)的思考過(guò)程以“慢鏡頭”的方式分成了三步，能夠清楚地看到這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是借“判斷”之名，鞏固學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念的理解和記憶。當(dāng)學(xué)生將這道題中的9個(gè)數(shù)依次判斷一遍，實(shí)際上就是對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念重復(fù)理解和記憶了9次。由此可見(jiàn)，教學(xué)上面這道簡(jiǎn)單習(xí)題的價(jià)值有兩個(gè)：一是在重復(fù)中幫助學(xué)生鞏固對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念的理解與記憶，實(shí)現(xiàn)真正掌握；二是對(duì)一些數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)進(jìn)行重復(fù)判斷，加深學(xué)生對(duì)某些數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的記憶，逐漸形成直覺(jué)。比如2，學(xué)生以后看到這個(gè)數(shù)時(shí)，就可以直接判斷其是質(zhì)數(shù)。以上習(xí)題教學(xué)及其價(jià)值，正如單墫教授所言：“數(shù)學(xué)書(shū)中有不少公式、法則、定義、定理，這些都不需要死記硬背，而是要通過(guò)解題逐步的理解、掌握。”[7]可見(jiàn)，習(xí)題教學(xué)中的解題常常只是一種手段，是“醉翁之意不在酒”，其真正的“意”是鞏固知識(shí)、掌握技能（此中含有一定的解題技能）、拓展知識(shí)、發(fā)展思維等。所以，這樣的習(xí)題看似簡(jiǎn)單，實(shí)則非常重要，是鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能不可或缺的內(nèi)容，其背后蘊(yùn)含著重要的教與學(xué)的理論。當(dāng)然，就“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)而言，僅靠上面這樣一道習(xí)題的教學(xué)就想讓學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的掌握還是不行的，后續(xù)還需要有不同形式的習(xí)題跟進(jìn)。這樣的習(xí)題跟進(jìn)不僅課堂上有，課外也要有，比如回家作業(yè)等。綜上所述，落實(shí)數(shù)學(xué)“雙基”是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)，習(xí)題教學(xué)是完成這個(gè)任務(wù)的最佳路徑。二、落實(shí)數(shù)學(xué)“雙基”的現(xiàn)實(shí)意義在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)“雙基”，很重要的目標(biāo)是使學(xué)生能正確、熟練地運(yùn)用知識(shí)、技能解決問(wèn)題，以及更好地開(kāi)展后續(xù)學(xué)習(xí)。對(duì)落實(shí)數(shù)學(xué)“雙基”中要達(dá)成“正確”這個(gè)目標(biāo)，大家一致認(rèn)可，沒(méi)有異議。然而，對(duì)落實(shí)數(shù)學(xué)“雙基”中要達(dá)成“熟練”這個(gè)目標(biāo)，卻存在著一定的爭(zhēng)議。比如，曾經(jīng)有人問(wèn)我：“一年級(jí)小朋友對(duì)20以?xún)?nèi)的加減法口算有必要做到脫口而出的熟練程度嗎？這樣熟練的意義到底何在？”確實(shí)，隨著課程改革的不斷深入，特別是素質(zhì)教育、核心素養(yǎng)這樣更具時(shí)代意義和未來(lái)發(fā)展理念的教學(xué)目標(biāo)越來(lái)越多地被認(rèn)可之后，開(kāi)始出現(xiàn)對(duì)“熟能生巧”這一古訓(xùn)不一樣的看法，并有很多人提出了“熟能生笨”的說(shuō)法?！笆臁焙我阅苌氨俊?？對(duì)此，不少學(xué)者專(zhuān)家有自己的看法。比如，李士锜教授在《熟能生笨嗎？》一文中對(duì)“熟能生笨”給出這樣的解讀：“‘熟能生笨中的‘熟主要是指‘常規(guī)的操作性練習(xí)，也可指‘大運(yùn)動(dòng)量解題訓(xùn)練，而‘笨則是指缺少創(chuàng)造性能力，也指缺乏理解力。”[8]仲海峰老師在《熟能生巧亦能生笨》一文中指出：“有些事情，做多了，掌握了做事的技巧，我們自然會(huì)得心應(yīng)手地運(yùn)用這樣的技巧快速去做。于是，我們也懶得再去思考為什么要這么做。再后來(lái)，就漸漸淡忘了做事方法背后的道理。這樣帶來(lái)的問(wèn)題就是：當(dāng)我們遇到一點(diǎn)點(diǎn)變化、困難，就顯得毫無(wú)辦法，手足無(wú)措。”[9]這兩位老師對(duì)“熟能生笨”中的“笨”的理解是不謀而合的，大致意思是大量訓(xùn)練使學(xué)生熟練之后，會(huì)形成一定的思維定式，進(jìn)而導(dǎo)致不能靈活應(yīng)對(duì)變化，缺乏一定的創(chuàng)造性。不可否認(rèn)，熟練（特別是過(guò)于熟練）之后，對(duì)知識(shí)的運(yùn)用確實(shí)在一定程度上存在著如上述這樣的弊端?？伞笆炷苌伞敝械摹扒伞币彩侵档蒙倘兜?，即熟練了并不一定能生“巧”。但是，總體來(lái)說(shuō)，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，落實(shí)數(shù)學(xué)“雙基”，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的運(yùn)用達(dá)到熟練的程度，其利遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于弊。（一）落實(shí)“雙基”：熟練促進(jìn)長(zhǎng)時(shí)記憶研究證明，人有兩種主要的記憶：一種是被稱(chēng)為短時(shí)記憶的暫時(shí)性記憶；一種是被稱(chēng)為長(zhǎng)時(shí)記憶的永久性記憶。信息被人感知后，不可能一下子就成為長(zhǎng)時(shí)記憶，而是要先經(jīng)過(guò)短時(shí)記憶。短時(shí)記憶又可進(jìn)一步分為瞬時(shí)記憶和工作記憶。相關(guān)研究指出，工作記憶有兩個(gè)主要功能：其一，作為感覺(jué)登記和長(zhǎng)時(shí)記憶之間的緩沖器；其二，作為信息進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶的加工器?！岸虝r(shí)記憶中的信息經(jīng)過(guò)復(fù)述后進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶?！盵10]腦成像研究指出，在復(fù)述過(guò)程中，或者從根本上說(shuō)，在長(zhǎng)時(shí)記憶形成過(guò)程中額葉有很高的參與度（工作記憶就在額葉區(qū)）。研究還顯示，“在較長(zhǎng)的復(fù)述過(guò)程中，額葉的激活量決定了項(xiàng)目是被存儲(chǔ)還是被遺忘?！盵11]這也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)從學(xué)生的短時(shí)記憶進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶，必須經(jīng)過(guò)重復(fù)（復(fù)述），且需要一定量、持續(xù)一段時(shí)間的重復(fù)，否則很容易從短時(shí)記憶中消失，即遺忘。例如，上述“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”例題教學(xué)之后的習(xí)題教學(xué)，便可理解為教師組織學(xué)生對(duì)知識(shí)的重復(fù)過(guò)程（見(jiàn)圖2）。圖2中，外部信息就是習(xí)題的要求，工作記憶就是學(xué)生的解題過(guò)程，也就是記憶重復(fù)的過(guò)程。經(jīng)歷這個(gè)記憶重復(fù)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念就會(huì)熟練起來(lái)，由此有可能進(jìn)入到長(zhǎng)時(shí)記憶中。之所以此時(shí)說(shuō)“有可能”，是因?yàn)閮H靠一道習(xí)題的教學(xué)，其實(shí)很難讓學(xué)生馬上將質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念變成長(zhǎng)時(shí)記憶。因此，圖2中從工作記憶到長(zhǎng)時(shí)記憶的“存儲(chǔ)”用虛線(xiàn)箭頭表示，即并非一定。研究表明，處于工作記憶中的知識(shí)，可以保留幾分鐘、幾小時(shí)不等，也有保留幾天的可能性。這個(gè)結(jié)論，顯然與艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)是一致的。在工作記憶和長(zhǎng)時(shí)記憶之間還有一個(gè)名為“提取”的箭頭，這是因?yàn)閷W(xué)生在工作記憶中進(jìn)行質(zhì)數(shù)與合數(shù)判斷時(shí)，還需要從自己的長(zhǎng)時(shí)記憶中提取一些相關(guān)知識(shí)來(lái)幫助判斷，比如因數(shù)的知識(shí)等。如前文所述，在“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的習(xí)題教學(xué)中，不可能僅僅開(kāi)展一道習(xí)題的教學(xué)，后續(xù)還會(huì)安排一定量的習(xí)題。這樣通過(guò)一次次的習(xí)題教學(xué)，使學(xué)生一次次重復(fù)記憶。行動(dòng)中學(xué)生表現(xiàn)為對(duì)這一知識(shí)的運(yùn)用在不斷熟練，本質(zhì)上是該知識(shí)進(jìn)入了學(xué)生的長(zhǎng)時(shí)記憶中。（二）落實(shí)“雙基”：速度贏(yíng)得效率前文已經(jīng)提到，“雙基”教學(xué)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的主要特征。張奠宙教授領(lǐng)銜的團(tuán)隊(duì)對(duì)“中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”展開(kāi)深入研究，提出“中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”的理論特征，即記憶通向理解、速度贏(yíng)得效率、嚴(yán)謹(jǐn)形成理性、重復(fù)依靠變式。其中，“速度贏(yíng)得效率”理論認(rèn)為“只有把基本的運(yùn)算和基礎(chǔ)的思考，化為‘直覺(jué)，能夠不假思索地進(jìn)行條件反射，才能贏(yíng)得時(shí)間去做更高級(jí)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)”[12]。由此可見(jiàn)，能熟練運(yùn)用知識(shí)不僅體現(xiàn)在速度上，更是進(jìn)行高階學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性保障。繼續(xù)以上述“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”例題教學(xué)之后的那道習(xí)題為例。在這道習(xí)題中有一個(gè)數(shù)是57，那么，學(xué)生到底是怎樣判斷57是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的呢？我們來(lái)分析一下：第一，判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，要看這個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)。因此，學(xué)生要會(huì)找57的因數(shù)，如此方能正確做出判斷。第二，57除了1和本身兩個(gè)因數(shù)，還有因數(shù)3和19。學(xué)生可以用3的倍數(shù)的特征找到因數(shù)3（從判斷質(zhì)數(shù)與合數(shù)的角度講，并不需要找到因數(shù)19），也可以直接用除法（即57÷3=19）找到3和19這兩個(gè)因數(shù)。第三，根據(jù)57的因數(shù)個(gè)數(shù)，結(jié)合質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，判斷57是合數(shù)。所以，要正確判斷57是合數(shù)，學(xué)生要用到“找一個(gè)數(shù)的因數(shù)”的知識(shí)。在運(yùn)用“找一個(gè)數(shù)的因數(shù)”這一知識(shí)過(guò)程中，還要用到“3的倍數(shù)的特征”或“除法”這些知識(shí)。進(jìn)一步，如果運(yùn)用“3的倍數(shù)的特征”這一知識(shí)，就需要用到“5+7=12”和“3×4=12”這些知識(shí)做出判斷，確定57是3的倍數(shù)。在上述分析中，當(dāng)看到“5+7=12”和“3×4=12”時(shí)，大家可能會(huì)感覺(jué)有點(diǎn)荒誕。這是因?yàn)槲覀儗?duì)“5+7=12”和“3×4=12”已經(jīng)化為“直覺(jué)”，是不假思索的條件反射。也就是說(shuō)，當(dāng)想到運(yùn)用“3的倍數(shù)的特征”時(shí)，看到57的一瞬間，就已經(jīng)知道這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)了。這，就是熟練帶來(lái)的速度。試想，假如一個(gè)學(xué)生對(duì)“5+7=12”和“3×4=12”還需要慢慢思考得出的話(huà)，那么他的學(xué)習(xí)一定很累。同理，如果一個(gè)學(xué)生在找57的因數(shù)時(shí)，不是用“3的倍數(shù)的特征”進(jìn)行判斷，而是用57÷3進(jìn)行計(jì)算，那么他的速度相比之下也會(huì)慢一點(diǎn)。這也進(jìn)一步說(shuō)明了數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)采用螺旋上升、環(huán)環(huán)相扣的編排方式。唯有把每一環(huán)上的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能教扎實(shí)了