人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第二章 章末檢測(cè)同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

章末檢測(cè)一、選擇題1．設(shè)a、b為兩條直線，α、β為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是()A．若a、b與α所成的角相等，則a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，則a∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b答案D解析A中a、b可以平行、相交或異面；B中a、b可以平行或異面；C中α、β可以平行或相交．2．在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AC與直線BC1所成的角為()A．30°B．60°C．90°D．45°答案B解析連接A1C1，A1B，則AC∥A1C1，因?yàn)椤鰽1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即直線AC與直線BC1所成的角為60°.3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m∥α，α⊥β，則m⊥β答案C解析A項(xiàng)，當(dāng)m∥α，n∥α?xí)r，m，n可能平行，可能相交，也可能異面，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)m∥α，m∥β時(shí)，α，β可能平行也可能相交，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)m∥n，m⊥α?xí)r，n⊥α，故正確；D項(xiàng)，當(dāng)m∥α，α⊥β時(shí)，m可能與β平行，可能在β內(nèi)，也可能與β相交，故錯(cuò)誤．故選C.4．設(shè)a，b，c是空間的三條直線，給出以下三個(gè)命題：①若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；②若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面；③若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析借助正方體中的線線關(guān)系易知①②全錯(cuò)；由公理4知③正確．5．設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β答案B解析選項(xiàng)A，若l∥α，l∥β，則α和β可能平行也可能相交，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故正確；選項(xiàng)C，若l⊥α，l∥β，則α⊥β，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關(guān)系有三種可能：l⊥β，l∥β，l?β，故錯(cuò)誤．故選B.6.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案C解析由已知AC＝AB，E為BC中點(diǎn)，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正確．7．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l答案D解析根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示．由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D.8．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n等于()A．8B．9C．10D．11答案A解析取CD的中點(diǎn)H，連接EH，HF.在四面體CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方體的左、右兩個(gè)側(cè)面與EF平行，其余4個(gè)平面與EF相交，即n＝4.又因?yàn)镃E與AB在同一平面內(nèi)，所以CE與正方體下底面共面，與上底面平行，與其余四個(gè)面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.9．正方體ABCD－A1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H.以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是()A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1D．直線AH和BB1所成的角為45°答案D解析因?yàn)锳H⊥平面A1BD，BD?平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H?平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可證BH⊥A1D，所以點(diǎn)H是△A1BD的垂心，A正確．因?yàn)槠矫鍭1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，B正確．易證AC1⊥平面A1BD.因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正確．因?yàn)锳A1∥BB1，所以∠A1AH為直線AH和BB1所成的角．因?yàn)椤螦A1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D錯(cuò)誤．10．已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案B解析如圖所示，P為正三角形A1B1C1的中心，設(shè)O為△ABC的中心，由題意知：PO⊥平面ABC，連接OA，則∠PAO即為PA與平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝eq\r(3)，則S＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，VABCA1B1C1＝S×PO＝eq\f(9,4)，∴PO＝eq\r(3).又AO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1，∴tan∠PAO＝eq\f(PO,AO)＝eq\r(3)，∴∠PAO＝eq\f(π,3).二、填空題11．設(shè)平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________.答案9解析由面面平行的性質(zhì)得AC∥BD，eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,SD)，解得SD＝9.12.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN等于________．答案90°解析∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN?平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN為直角，∴B1M⊥MN而B(niǎo)1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1，又MC1?平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.13.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC邊上取點(diǎn)E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是________．答案a>6解析由題意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P，所以DE⊥面PAE，∴DE⊥AE.易證△ABE∽△ECD.設(shè)BE＝x，則eq\f(AB,CE)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(3,a－x)＝eq\f(x,3).∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，解得a>6.14．已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則①棱AB與PD所在直線垂直；②平面PBC與平面ABCD垂直；③△PCD的面積大于△PAB的面積；④直線AE與直線BF是異面直線．以上結(jié)論正確的是________．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))答案①③解析由條件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正確；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，從而PA∥PB，這是不可能的，故②錯(cuò)；S△PCD＝eq\f(1,2)CD·PD，S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PA，由AB＝CD，PD>PA知③正確；由E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE與BF共面，④錯(cuò)．三、解答題15.如圖，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：AC⊥B1C；(2)求證：AC1∥平面CDB1.證明(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B(niǎo)1C?平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)連接BC1交B1C于O點(diǎn)，連接OD.如圖，∵O，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.16.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)．(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱錐CA1DE的體積．(1)證明連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)．又D是AB中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以V三棱錐CA1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.17．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)證明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．(1)證明連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)．因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB?平面ABO，故B1C⊥AB.(2)解在平面BB1C1C內(nèi)作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.在平面AOD內(nèi)作OH⊥AD，垂足為H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以O(shè)H⊥BC.又OH⊥AD，所以O(shè)H⊥平面ABC.因?yàn)椤螩BB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形．又BC＝1，可得OD＝eq\f(\r(3),4).由于AC⊥AB1，所以O(shè)A＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2).由OH·AD＝OD·OA，且AD＝eq\r(OD2＋OA2)＝eq\f(\r(7),4)，得OH＝eq\f(\r(21),14).又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC的距離為eq\f(\r(21),7)，故三棱柱ABC－A1B1C1的高為eq\f(\r(21),7).18．如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2)．(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說(shuō)明理由．(1)證明∵D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC.又∵DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)證明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，