1.2集合間的基本關(guān)系課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

第一章集合與常用邏輯用語1.2集合間的基本關(guān)系人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.2.掌握子集、真子集及集合相等的應(yīng)用,會判斷集合間的基本關(guān)系.3.在具體情境中了解空集的含義并會應(yīng)用.4.能使用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系,體會直觀圖對理解抽象概念的作用.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

子集與真子集1.Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.名師點(diǎn)睛對Venn圖的理解(1)表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用Venn圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯.2.子集與真子集

概念定義符號表示圖形表示性質(zhì)子集一般地,對于兩個集合A,B,如果集合A中

元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集

A

B(或B?A)

(1)任何一個集合是它本身的子集,即A?A;(2)對于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么

真子集如果集合

,但存在元素

“至少有一個”的意思x∈B,且x?A,就稱集合A是集合B的真子集A?B(或B?A)

對于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么

任意一個

?A?CA?BA?C名師點(diǎn)睛1.對子集的理解特別地,A?A,故不能簡單地認(rèn)為“若A?B,則A是由B的部分元素組成的集合”.2.對真子集的理解(1)真子集的概念也可以敘述為:若集合A?B,存在元素x∈B,且x?A,則稱集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要滿足以下兩個條件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x?A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.思考辨析1.符號“?”與符號“∈”有什么區(qū)別提示

符號“?”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“∈”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.2.集合A?B與集合A?B有什么區(qū)別提示

A?B?A=B或A?B.因此若集合A是集合B的子集包含兩個方面:A?B或A=B.自主診斷1.[北師大版教材習(xí)題改編]選擇適當(dāng)?shù)姆?“∈”“?”“?”“?”“=”“?”“?”)填空:(2)設(shè)A是全體正方形組成的集合,B是全體矩形組成的集合,C是全體平行四邊形組成的集合,則A

B,B

C;

(3)若集合A?B,B?C,則A

C.

?=???2.[蘇教版教材例題]判斷下列各組集合中,A是否為B的子集.(1)A={0,1},B={-1,0,1,-2};解

因為0∈B,1∈B,即A中的每一個元素都是B的元素,所以A是B的子集.

(2)A={0,1},B={x|x=2k,k∈N}.解

因為1∈A,但1?B,所以A不是B的子集.知識點(diǎn)2

集合相等一般地,如果集合A的

都是集合B的元素,同時集合B的

都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作

.也就是說,若A

B,且B

A,則A=B.集合之間只有相等和不等的關(guān)系,沒有大小之分任何一個元素

任何一個元素

A=B??名師點(diǎn)睛對集合相等的理解(1)A=B的圖形表示如下:(2)集合A與集合B相等,就是集合A與集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可類比實數(shù)中的結(jié)論“若a≤b,且b≤a,則a=b”,即“若A?B,且B?A,則A=B”.(4)若A=B,則有A?B,且B?A.自主診斷若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,則a=

,b=

.

解析

由兩個集合相等可知b=0,a=-1.-10知識點(diǎn)3

空集一般地,我們把不含有

的集合叫做空集,記為

,并規(guī)定:空集是任何集合的子集,即??A.

任何元素

?名師點(diǎn)睛有限集合的子集問題若有限非空集合A中含有n個元素,則有:(1)集合A的子集的個數(shù)為2n;(2)集合A的真子集的個數(shù)為2n-1;(3)集合A的非空子集的個數(shù)為2n-1;(4)集合A的非空真子集的個數(shù)為2n-2.例如,集合{1,2}的元素個數(shù)為2,其子集個數(shù)為22=4,子集分別為?,{1},{2},

{1,2};真子集個數(shù)為22-1=3,真子集分別為?,{1},{2};非空子集個數(shù)為22-1=

3,非空子集分別為{1},{2},{1,2};非空真子集個數(shù)為22-2=2,非空真子集分別為{1},{2}.思考辨析1.{0},?之間有什么區(qū)別與聯(lián)系提示

{0}是含有一個元素0的集合,?是不含任何元素的集合,因此??{0}.2.若一個集合只有一個子集,則這個集合有什么特征提示

一個集合只有一個子集,則這個集合是空集.

自主診斷1.下列集合中為空集的是(

)A.{0} B.{?}C.{x|x2+4=0} D.{x|x+1≤2x}C解析

對于A,由集合{0}中有一個元素0,不符合題意;對于B,由集合{?}中有一個元素?,不符合題意;對于C,由方程x2+4=0,即x2=-4,此時方程無解,可得{x|x2+4=0}=?,符合題意;對于D,不等式x+1≤2x,解得x≥1,

{x|x+1≤2x}={x|x≥1},不符合題意.故選C.2.[蘇教版教材例題]寫出集合{a,b}的所有子集.

解

集合{a,b}的所有子集是?,{a},,{a,b}.知識點(diǎn)4

子集與真子集的性質(zhì)由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,;

(2)任何一個集合是它自身的子集,即;

(3)空集只有一個子集,即它自身;(4)對于集合A,B,C,由A?B,B?C可得;

(5)對于集合A,B,C,由A?B,B?C可得.

思考辨析每個集合都有真子集嗎??AA?AA?CA?C提示

空集只有子集也就是它本身,沒有真子集.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)空集是任何集合的真子集.(

)(2)非空集合至少有兩個子集.(

)(3){0,1,2}?{2,0,1}.(

)(4)一個集合可能是它本身的真子集.(

)(5)若M?N,N?P,則M?P.(

)2.若{1,2}?B?{1,2,4},則B=

.

×√√××{1,2}或{1,2,4}解析

由條件知集合B中一定含有元素1和2,故集合B可能是{1,2}或{1,2,4}.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一集合的子集、真子集問題【例1】

(1)[2024河南統(tǒng)考模擬預(yù)測]已知集合A={x∈N|-2<x<3},則集合A的所有非空真子集的個數(shù)是(

)A.6 B.7

C.14

D.15D解析

因為A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A中的元素個數(shù)為3,因此集合A的所有非空真子集的個數(shù)是23-2=6.故選A.(2)已知集合M滿足{2,3}?M?{1,2,3,4,5},那么這樣的集合M的個數(shù)為(

)A.6 B.7

C.8

D.9C解析

因為{2,3}?M?{1,2,3,4,5},所以集合M可以為{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},{1,2,3,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5},共8個,故選C.變式探究本例(2)中條件改為“已知集合M滿足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}”,那么這樣的集合M的個數(shù)是多少并思考此時集合M的個數(shù)與集合{1,4,5}的真子集的個數(shù)相同嗎解

因為{2,3}?M?{1,2,3,4,5},所以集合M可以為{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},{1,2,3,4},{2,3,4,5},共7個.此時集合M的個數(shù)與集合{1,4,5}的真子集個數(shù)相同.規(guī)律方法1.求集合的子集、真子集的步驟判斷—根據(jù)子集、真子集的概念判斷出集合中含有元素的可能情況↓分類—根據(jù)集合中元素的多少進(jìn)行分類↓列舉—采用列舉法逐一寫出每種情況的子集2.求元素個數(shù)有限的集合的子集兩個關(guān)注點(diǎn)(1)要注意兩個特殊的子集:?和自身;(2)按集合中含有元素的個數(shù)由少到多,分類一一寫出,保證不重不漏.變式訓(xùn)練1(1)若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},則滿足條件的集合A的個數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5B解析

滿足條件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3個.(2)已知集合A?{1,2,3},且A中至少含有一個奇數(shù),則滿足條件的集合A的個數(shù)為(

)A.6 B.5 C.4 D.3B解析

由題知,A?{1,2,3},且A中至少含有一個奇數(shù),故集合A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5個.(3)[人教B版教材例題]寫出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.解

集合A的所有子集是?,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集.探究點(diǎn)二集合之間關(guān)系的判斷【例2—1】

(1)若集合A={1,2,3},B={1,2,3,4,6},則集合A與B的關(guān)系是(

)A.A=B

B.A?BC.B?A

D.不確定B解析

因為集合A中的元素都在集合B中,而B中的元素不一定都在A中,所以A?B,故選B.(2)[2024遼寧葫蘆島高一月考]已知集合A={x|-1<x<6},B={x|2<x<3},則(

)A.B∈A

B.B?AC.A=B

D.A?BB解析

由題意知,所以B?A.故選B.則下列關(guān)系錯誤的是(

)A.M?N

B.M=NC.N?M

D.M?NABDn+2表示整數(shù),2n+1表示奇數(shù),故N?M,故選項A,B,D錯誤,選項C正確,故選ABD.規(guī)律方法集合間基本關(guān)系判定的兩種方法和一個關(guān)鍵

A.A?B

B.B?AC.A=B

D.A與B互不包含C(2)[北師大版教材習(xí)題]判斷下列各組中兩個集合之間的關(guān)系:①{1,2,3}與{x|x是6的正因數(shù)};②{x|x=3n,n∈Z}與{x|x=6k,k∈Z}.解

①因為{x|x是6的正因數(shù)}={1,2,3,6},所以{1,2,3}?{x|x是6的正因數(shù)}.②因為{x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z}={x|x=3k',k'是偶數(shù)},所以{x|x=3n,n∈Z}?{x|x=6k,k∈Z}.探究點(diǎn)三集合相等關(guān)系的應(yīng)用【例3】

已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求實數(shù)x,y的值.變式探究

若將例3中已知條件改為“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求實數(shù)x,y的值.解

∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互異性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此時A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.當(dāng)x=1時,x2=1,與集合中元素的互異性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.規(guī)律方法根據(jù)集合相等求參數(shù),首先分析一個集合中的元素與另一個集合中哪個元素相等,分幾種情況進(jìn)行討論,然后通過列方程(組)求解.當(dāng)集合中的未知元素不止一個時,情況會更復(fù)雜,需要多次討論.求出參數(shù)后要根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗,排除不符合要求的解.探究點(diǎn)四由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍【例4】

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在子集關(guān)系;(2)若A?B,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)若a=-1,則B={x|-5<x<-3}.如圖在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B.由圖可知,B?A.(2)由已知A?B.①當(dāng)B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當(dāng)B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合,又因為a<1,所以實數(shù)a的取值范圍為{a|-1≤a<1}.綜上,實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥-1}.變式探究例4中,是否存在實數(shù)a,使得A?B若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,試說明理