2024秋八年級數(shù)學(xué)上冊 第十四章 整式的乘法與因式分解14.3 因式分解 4公式法-完全平方公式教案（新版）新人教版

2024秋八年級數(shù)學(xué)上冊第十四章整式的乘法與因式分解14.3因式分解4公式法——完全平方公式教案（新版）新人教版授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教材分析本節(jié)課選自2024年秋季八年級數(shù)學(xué)上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”中的14.3節(jié)“因式分解”，重點講解完全平方公式。完全平方公式是解決因式分解問題的一種重要方法，對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力具有重要意義。本節(jié)內(nèi)容與前面所學(xué)整式的乘法緊密相關(guān)，通過引入完全平方公式，使學(xué)生掌握因式分解的新技巧，進一步深化對整式乘除及因式分解的理解。本節(jié)課將結(jié)合課本例題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)完全平方公式的規(guī)律，并運用到實際解題中，以提高學(xué)生的知識運用能力和解決問題的實踐能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。通過探索完全平方公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，提高學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，加強對算術(shù)邏輯的理解和運用。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生將發(fā)展以下能力：一是運用分類討論思想，對公式進行合理拆分與組合，培養(yǎng)邏輯推理能力；二是通過解決實際問題，增強數(shù)學(xué)運算的熟練度和準(zhǔn)確性，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣；三是培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的感知，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合應(yīng)用能力。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

（1）理解和掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點及其應(yīng)用，即(a±b)2=a2±2ab+b2。

（2）能夠運用完全平方公式進行因式分解，如將x2+2xy+y2分解為(x+y)2。

（3）通過具體例題，讓學(xué)生掌握完全平方公式的適用條件，即識別何時能夠使用完全平方公式進行因式分解。

舉例：在教學(xué)過程中，重點講解公式中“±”的含義，并通過例題x2-6xy+y2的因式分解，強調(diào)公式中2ab與-6xy的關(guān)系，確保學(xué)生理解符號變化對公式應(yīng)用的影響。

2.教學(xué)難點

（1）完全平方公式的記憶與理解：學(xué)生對公式的記憶可能存在困難，需要通過直觀的圖形展示或具體的實例幫助學(xué)生記憶。

（2）因式分解中公式的識別與應(yīng)用：學(xué)生在面對復(fù)雜的代數(shù)式時，難以快速識別并正確應(yīng)用完全平方公式。

（3）混合使用完全平方公式和其他因式分解方法：在解決綜合性的因式分解問題時，學(xué)生可能會混淆不同的分解方法。

舉例：針對難點（1），教師可以通過動畫或?qū)嵨锬Ｐ驼故?a+b)2的展開過程，讓學(xué)生觀察并總結(jié)出完全平方公式的結(jié)構(gòu)。對于難點（2），可以設(shè)計不同難度的練習(xí)題，如x2-4y2、a2+4ab+4b2等，引導(dǎo)學(xué)生識別公式中的a、b以及2ab，并正確應(yīng)用公式。至于難點（3），可以通過綜合性的例題，如x?-16，指導(dǎo)學(xué)生如何結(jié)合完全平方公式和其他方法（如差平方公式）進行因式分解，從而突破難點。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：

-確保每位學(xué)生都有八年級數(shù)學(xué)上冊教材，以便于學(xué)生跟隨課堂進度，預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容。

-準(zhǔn)備教材中與完全平方公式相關(guān)的練習(xí)題和例題，用于課堂講解和鞏固練習(xí)。

2.輔助材料：

-準(zhǔn)備完全平方公式的推導(dǎo)過程圖解，通過視覺輔助幫助學(xué)生理解和記憶公式。

-制作或收集與完全平方公式相關(guān)的實際應(yīng)用問題圖片、圖表，用于引導(dǎo)學(xué)生理解公式的實際意義。

-搜集或制作因式分解的步驟說明視頻，尤其是完全平方公式的應(yīng)用過程，以便于學(xué)生課后復(fù)習(xí)。

-準(zhǔn)備一些數(shù)學(xué)游戲或互動軟件，如因式分解的在線練習(xí)，增加課堂趣味性和互動性。

3.實驗器材：

-雖然本節(jié)課不涉及物理實驗，但可以準(zhǔn)備一些模型或教具，如平方圖形的拼圖，幫助學(xué)生直觀理解完全平方公式的幾何意義。

4.教室布置：

-將教室座位調(diào)整為小組合作模式，每組配備白板或大號草稿紙，方便學(xué)生進行討論和展示。

-在教室前方設(shè)置演示區(qū)，用于展示完全平方公式的推導(dǎo)過程和例題講解。

-確保教室內(nèi)的多媒體設(shè)備正常運行，以便于播放輔助教學(xué)材料和視頻資源。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對完全平方公式的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們聽說過完全平方公式嗎？它在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有什么作用？”

展示一些關(guān)于完全平方公式的幾何圖形或?qū)嶋H應(yīng)用的圖片，讓學(xué)生初步感受公式的魅力。

簡短介紹完全平方公式的基本概念和其在數(shù)學(xué)運算中的重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.完全平方基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解完全平方公式的結(jié)構(gòu)、原理和應(yīng)用。

過程：

講解完全平方公式的定義，包括(a±b)2=a2±2ab+b2的結(jié)構(gòu)。

使用圖表或示意圖詳細介紹公式的推導(dǎo)過程和各部分含義。

通過實例，如(x+3)2的展開，讓學(xué)生更好地理解完全平方公式的實際應(yīng)用。

3.完全平方公式案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解完全平方公式的特性和應(yīng)用。

過程：

選擇幾個典型的因式分解案例，如x2-6xy+y2，進行分析。

詳細介紹每個案例的背景、如何應(yīng)用完全平方公式以及其意義。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例在解決實際問題中的應(yīng)用，以及如何識別適用完全平方公式的場景。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與完全平方公式相關(guān)的實際題目進行深入討論。

小組內(nèi)討論題目的解法、步驟以及可能遇到的難點。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達能力，同時加深全班對完全平方公式的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括題目的解法、步驟和難點。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)完全平方公式的重要性和意義。

過程：

簡要回顧完全平方公式的結(jié)構(gòu)、推導(dǎo)過程、案例分析等學(xué)習(xí)內(nèi)容。

強調(diào)完全平方公式在因式分解中的價值和作用，鼓勵學(xué)生在日常生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式之美。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生完成幾道與完全平方公式相關(guān)的練習(xí)題，并撰寫一篇關(guān)于完全平方公式的應(yīng)用小短文，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識點梳理1.完全平方公式的結(jié)構(gòu)

-公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

-結(jié)構(gòu)特點：一個二次多項式的平方可以分解為三項，其中中間項為加上或減去兩個變量的乘積的兩倍。

2.完全平方公式的推導(dǎo)

-通過對(a+b)2的展開，觀察其結(jié)果與a2、2ab、b2的關(guān)系。

-類似地，對(a-b)2進行展開，理解減號對公式的影響。

3.完全平方公式的應(yīng)用

-因式分解：利用完全平方公式將符合其結(jié)構(gòu)的二次多項式分解為兩個一次多項式的乘積。

-例題：x2+2xy+y2=(x+y)2，a2-2ab+b2=(a-b)2。

4.識別完全平方公式

-判斷一個二次多項式是否可以應(yīng)用完全平方公式進行因式分解。

-注意事項：檢查中間項是否為兩個變量乘積的兩倍，以及首尾項是否為相應(yīng)變量的平方。

5.完全平方公式的實際意義

-解釋完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，如正方形的面積計算。

-舉例說明完全平方公式在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。

6.與其他因式分解方法的聯(lián)系

-與差平方公式的比較，理解各自適用的條件。

-在綜合問題中，結(jié)合使用完全平方公式和其他因式分解方法。

7.實際問題中的完全平方公式

-分析和解決實際問題時，識別問題中的完全平方結(jié)構(gòu)。

-應(yīng)用完全平方公式簡化問題，提高解題效率。

8.錯誤分析

-常見錯誤：符號使用錯誤，如將(a-b)2誤寫為a2-b2。

-解決策略：通過練習(xí)和反復(fù)推導(dǎo)，加深對公式的理解和記憶。

9.練習(xí)題設(shè)計

-設(shè)計不同難度的練習(xí)題，幫助學(xué)生從簡單到復(fù)雜逐步掌握完全平方公式。

-包括直接應(yīng)用公式、識別應(yīng)用場景、綜合應(yīng)用等多個層次。

10.評估與反饋

-通過作業(yè)、小測驗和課堂討論，評估學(xué)生對完全平方公式的掌握程度。

-根據(jù)學(xué)生的反饋和表現(xiàn)，調(diào)整教學(xué)策略，確保學(xué)生能夠熟練運用公式。課堂1.課堂評價

-通過課堂提問，了解學(xué)生對完全平方公式的理解和記憶程度。設(shè)計不同難度的問題，觀察學(xué)生是否能快速準(zhǔn)確回答，及時發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)生對公式理解不深、應(yīng)用不熟練的問題。

-觀察學(xué)生在小組討論和課堂展示中的表現(xiàn)，評估他們的合作能力、表達能力和解決問題的能力。

-在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，通過實時測試，檢查學(xué)生對完全平方公式的掌握情況，特別是對公式的識別和應(yīng)用能力。

-根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)，及時給予肯定和糾正，鼓勵學(xué)生積極參與，提高他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2.作業(yè)評價

-對學(xué)生的課后作業(yè)進行認(rèn)真批改，關(guān)注學(xué)生在解題過程中的思路和方法，發(fā)現(xiàn)并指出常見的錯誤類型，如符號錯誤、計算錯誤等。

-對學(xué)生的作業(yè)進行點評，不僅指出錯誤，還要給出改進的建議，幫助學(xué)生理解錯誤的原因，提升解題技巧。

-及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，通過作業(yè)評語鼓勵學(xué)生繼續(xù)努力，對進步明顯的學(xué)生給予表揚，增強他們的自信心。

-定期對學(xué)生的作業(yè)情況進行總結(jié)，分析普遍存在的問題，調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)效果。

3.單元測試評價

-在單元測試中，設(shè)計包含完全平方公式的多樣化題目，評估學(xué)生對知識點的全面掌握情況。

-通過測試結(jié)果，分析學(xué)生在哪些方面存在困難，哪些方面掌握較好，為下一步的教學(xué)提供依據(jù)。

-對測試結(jié)果進行詳細點評，指導(dǎo)學(xué)生如何改進學(xué)習(xí)方法，提高解題速度和準(zhǔn)確性。

4.學(xué)生自我評價與同伴評價

-鼓勵學(xué)生進行自我評價，反思自己在學(xué)習(xí)完全平方公式過程中的優(yōu)點和不足。

-引導(dǎo)學(xué)生進行同伴評價，通過互相批改作業(yè)和討論問題，促進知識的共享和互補。

5.教學(xué)反思

-教師在每節(jié)課后進行教學(xué)反思，思考教學(xué)設(shè)計、課堂管理和學(xué)生反饋等方面的問題，不斷優(yōu)化教學(xué)方法和策略。

-根據(jù)學(xué)生的評價和教學(xué)效果，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和進度，確保教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)反思與改進在完成完全平方公式的教學(xué)后，我進行了深入的反思，并計劃在未來的教學(xué)中進行一些改進。我發(fā)現(xiàn)，雖然大部分學(xué)生能夠理解并應(yīng)用完全平方公式進行因式分解，但仍有一部分學(xué)生對于公式的結(jié)構(gòu)和適用條件掌握不夠牢固。此外，學(xué)生在實際應(yīng)用過程中，對于符號的正確使用和中間項的識別存在一些困難。

為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握完全平方公式，我計劃在未來的教學(xué)中采取以下改進措施：

1.增加直觀的幾何圖形展示，讓學(xué)生更直觀地理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)，例如通過繪制正方形和長方形的面積計算來解釋公式。

2.設(shè)計更多的生活實例，讓學(xué)生感受到完全平方公式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，從而提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

3.在課堂練習(xí)中增加一些符號變化的題目，讓學(xué)生練習(xí)在因式分解中正確使用加號和減號。

4.對于中間項的識別，我將設(shè)計一些練習(xí)題，讓學(xué)生通過觀察和分析找出完全平方公式的中間項，從而提高他們的識別能力。

5.在作業(yè)批改中，我將更加注重學(xué)生的解題思路，不僅指出錯誤，還要給出改進的建議，幫助學(xué)生理解錯誤的原因。

6.在課堂評價中，我將增加一些合作式的活動，讓學(xué)生在小組內(nèi)互相討論和分享，從而提高他們的合作能力和問題解決能力。

7.我還計劃在課堂小結(jié)中增加一些反思性的問題，讓學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，思考如何改進學(xué)習(xí)方法。板書設(shè)計1.完全平方公式結(jié)構(gòu)

-(a±b)2=a2±2ab+b2

2.完全平方公式推導(dǎo)

-展開(a+b)2和(a-b)2，觀察公式結(jié)構(gòu)

3.完全平方公式應(yīng)用

-因式分解實例：x2+2xy+y2=(x+y)2

4.識別完全平方公式

-檢查中間項是否為2ab，首尾項是否為a2和b2

5.完全平方公式的實際意義

-幾何圖形面積計算，物理學(xué)應(yīng)用等

6.與其他因式分解方法的聯(lián)系

-與差平方公式的比較

7.實際問題中的完全平方公式

-識別并應(yīng)用完全平方公式解決實際問題

8.錯誤分析

-常見錯誤及解決策略

9.練習(xí)題設(shè)計

-不同難度的練習(xí)題，幫助學(xué)生逐步掌握公式

10.評估與反饋

-課堂評價、作業(yè)評價、單元測試等課后作業(yè)-x2+6xy+9y2

-a2-8a+16

-4x2-12x+9

-(m-3)2

-x2-10x+25

2.下列多項式中，哪些可以使用完全平方公式進行因式分解？請說明理由。

-x2+4x+4

-a2-5a+6

-b2+2ab+4a2

-9x2-6x+1

-4y2-2y+1/4

3.應(yīng)用完全平方公式解決實際問題：

-一塊正方形的草坪，邊長為a米，求草坪的面積。

-一個長方形的長是寬的兩倍，寬為b米，求長方形的面積。

4.利用完全平方公式簡化下列代數(shù)式：

-(x+3)2-(x-3)2

-(2y+5)2+(2y-5)2

-(a+2b)2-(a-2b)2

5.找出下列多項式的完全平方公式結(jié)構(gòu)，并對其進行因式分解：

-x2-2xy+y2

-9m2-6mn+n2

-4p2-12pq+9q2

答案：

1.因式分解：

-x2+6xy+9y2=(x+3y)2

-a2-8a+16=(a-4)2

-4x2-12x+9=(2x-3)2

-(m-3)2=m2-6m+9

-x2-10x+25=(x-5)2

2.可使用完全平方公式進行因式分解的多項式：

-x2+4x+4=(x+2)2

-9x2-