3.0.測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理(e)-Guo2007-08-09-11-12-14資料

檢測(cè)技術(shù)第三章測(cè)量誤差與靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)處理8:39PM13.2.1測(cè)量誤差概述3.2.2不等精度測(cè)量3.2.3函數(shù)誤差與誤差的傳遞3.2.4測(cè)量的不確定度.3.2.5靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)處理誤差與測(cè)量8:39PM22.1測(cè)量誤差概述2.1.1測(cè)量誤差的概念及其表示方法1.測(cè)量誤差：對(duì)某一參數(shù)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，由于各種因素的影響，使測(cè)量值與被測(cè)參數(shù)的真值之間存在一定的差值，此差值就是測(cè)量誤差。測(cè)量誤差的產(chǎn)生原因主要有四個(gè)方面(四要素)：①測(cè)量方法；②測(cè)量設(shè)備；③測(cè)量環(huán)境；④測(cè)量人員素質(zhì)。2.研究測(cè)量誤差的意義正確認(rèn)識(shí)測(cè)量誤差的性質(zhì)與分析測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因，尋求最大限度地減小與消除測(cè)量誤差的途徑。尋求正確處理測(cè)量數(shù)據(jù)的理論和方法，以便在同樣條件下，能獲得最精確最可靠地反映真值的測(cè)量結(jié)果。誤差與測(cè)量8:39PM3測(cè)量誤差的表示方法①絕對(duì)誤差：Δ＝Ｘ－Ｘ０或Δ＝Ｘ－Ａ其中X為測(cè)定值，Ｘ０為真值，Ａ為約定真值。一般來說，真值無(wú)法求得，約定真值應(yīng)是理論真值的最佳估計(jì)值?？捎脤?shí)測(cè)量的算術(shù)平均值或滿足規(guī)定準(zhǔn)確度的測(cè)量值作為約定真值，如高一級(jí)測(cè)量?jī)x表的讀數(shù)。②相對(duì)誤差：ε＝（Δ/Ｘ０）×100％或ε=（Δ/Ｘ）×100%③示值誤差Δ=指示值X-真值③引用誤差：引用誤差Δ引＝（示值誤差Δ/測(cè)量范圍上限Xm）×100%，稱為測(cè)量值為Ｘ時(shí)的引用誤差。引用誤差有最大值：Δ引ｍａｘ＝（Δｍａｘ/Ｘｍ）·100％＝μ％(向上圓整后)。

μ稱為電工儀表的等級(jí)[指數(shù)]，共7級(jí)：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。使用μ級(jí)精度儀表時(shí)可保證：Δ＜Δｍａｘ＝Ｘｍ·μ％在相同誤差Δ下，顯然，X越接近Ｘｍ，相對(duì)誤差越小。（Δ/Ｘ）≥（Δ/Ｘｍ）。誤差與測(cè)量8:39PM42.1.2測(cè)量誤差的分類系統(tǒng)誤差：對(duì)某一參數(shù)在相同條件下進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，以確定的規(guī)律影響各次測(cè)量值的誤差。系統(tǒng)誤差不能用增加測(cè)量次數(shù)來減少。隨機(jī)誤差：對(duì)某一參數(shù)在相同條件下進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，誤差的符號(hào)及大小變化無(wú)規(guī)律，呈現(xiàn)隨機(jī)性的誤差。可用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行研究，作出估計(jì)。粗大誤差：由于某些原因造成的使測(cè)量值受到顯著歪曲的誤差，可在重復(fù)測(cè)量比較分析后消除。產(chǎn)生原因：測(cè)量者的粗心大意，環(huán)境的改變，如受到振動(dòng)、沖擊等。

含粗大誤差的測(cè)定值應(yīng)根據(jù)一定的客觀標(biāo)準(zhǔn)予以剔除。如3σ標(biāo)準(zhǔn)等。

誤差與測(cè)量8:39PM51.隨機(jī)誤差的特點(diǎn)

隨機(jī)誤差的存在導(dǎo)致每次測(cè)量結(jié)果有些不同，將測(cè)量值進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)(將最大值與最小值之間進(jìn)行N等分，在直角坐標(biāo)系中橫軸表示測(cè)量值，縱軸表示測(cè)量值落在每一等分內(nèi)的個(gè)數(shù)即頻數(shù))，作出直方圖，此圖顯現(xiàn)中間高、兩邊低，兩邊對(duì)稱的特點(diǎn)。具有這種分布特點(diǎn)的隨機(jī)變量稱之為服從正態(tài)分布。

測(cè)量值與測(cè)量誤差都服從正態(tài)分布，只是分布中心不同。隨機(jī)誤差具有如下特點(diǎn)：①單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能性大；②對(duì)稱性；絕對(duì)值相同、符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的可能性相等；③相消性：隨著測(cè)量次數(shù)的無(wú)限增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零。

④有界性：絕對(duì)值大于某數(shù)值的隨機(jī)誤差不會(huì)出現(xiàn)。2.1.3隨機(jī)誤差的特點(diǎn)及估計(jì)

誤差與測(cè)量8:39PM6

具有這樣特性的事件稱之為服從正態(tài)分布（高斯分布），正態(tài)分布的概率密度：測(cè)量值的分布中心可用求算術(shù)平均值的方法求得：誤差與測(cè)量8:39PM71）等精度測(cè)量列中單次測(cè)量值的可靠性或用σ的估計(jì)值單次測(cè)得值的可靠性常用單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ來評(píng)定：誤差與測(cè)量8:39PM8單次測(cè)量的極限誤差：

——t稱為置信系數(shù)其數(shù)值與誤差出現(xiàn)的概率有關(guān)，設(shè)測(cè)量值x落在區(qū)間的概率 ---σ稱為顯著水平當(dāng)t值不同時(shí),概率不同,見P7表2-1若取t=1則p=68.26% t=2，p=95.45% t=3，p=99.73%接近于100%而測(cè)量值超出[u-3σ,u+3σ]的概率很小,認(rèn)為不可能出現(xiàn).誤差與測(cè)量8:39PM9t通常取3,此時(shí)2）等精度測(cè)量列中算術(shù)平均值的可靠性算術(shù)平均值的可靠性常用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定。算術(shù)平均值的極限誤差：t通常取3誤差與測(cè)量8:39PM10當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí),按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差，

則:k—自由度=N-1N為測(cè)量次數(shù) α--顯著水平=1-p（置信概率）例:有10個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù),要求測(cè)量結(jié)果的置信概率為99%則:α=1-0.99=0.01k=N-1=9從P7表2-2可知3）粗大誤差的消除:當(dāng)測(cè)量值產(chǎn)生的誤差時(shí),便可認(rèn)為是粗大誤差予以剔除.誤差與測(cè)量8:39PM11精密度：說明測(cè)定值的分散程度，用隨機(jī)誤差的分布范圍（極限誤差δlim）或標(biāo)準(zhǔn)差σ來評(píng)定。精密度描述隨機(jī)誤差。

準(zhǔn)確度：說明測(cè)定值的算術(shù)平均值偏離真值的程度。用系統(tǒng)誤差的大小來評(píng)定。準(zhǔn)確度描述系統(tǒng)誤差。

精確度：對(duì)隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的綜合評(píng)定。

精度：常指精確度，但有時(shí)也指精密度。

2.1.4精密度、準(zhǔn)確度、精確度誤差與測(cè)量8:39PM122.2不等精度測(cè)量2.2.1等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量

在測(cè)量過程中，若測(cè)量的方法、儀器、環(huán)境、人員水平及測(cè)量次數(shù)（對(duì)多次重復(fù)測(cè)量）(五要素)都不變，則任何一次測(cè)量值或算術(shù)平均值（對(duì)多次重復(fù)測(cè)量）都具有相同的可靠程度，稱之為等精度測(cè)量。若使方法、儀器、環(huán)境、人員水平及測(cè)量次數(shù)中的任一項(xiàng)改變，則每改變一次后的測(cè)量結(jié)果與前一次測(cè)量結(jié)果的可靠性不同，稱之為不等精度測(cè)量。不等精度測(cè)量的目的是對(duì)不同條件下的測(cè)量結(jié)果加以比較分析，以便獲得更精確的測(cè)量結(jié)果。誤差與測(cè)量8:39PM132.2.2不等精度測(cè)量結(jié)果的表示—加權(quán)算術(shù)平均值

不等精度測(cè)量因各組測(cè)量值的可靠程度不同，故不能用算術(shù)平均值來表示，而應(yīng)遵從一個(gè)原則：即可靠性高或精確度高的測(cè)量值在最終測(cè)量結(jié)果中所占的比重要大一些，而可靠程度小或精確度低的結(jié)果在最終測(cè)量結(jié)果中所占的比重要小一些。而普通算術(shù)平均值反映不出這種關(guān)系。因此引入了加權(quán)算術(shù)平均值的概念。誤差與測(cè)量8:39PM141.權(quán)的概念與確定權(quán)值反映了某一測(cè)量值在最終測(cè)量結(jié)果中的比重，用p來表示。權(quán)值的大小與測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。設(shè)在不等精度測(cè)量中，各組的算術(shù)平均值為x1,x2,x3,……xm，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為σ1,σ2……σm

。則各組的權(quán)值為：

即每組的權(quán)值與其標(biāo)準(zhǔn)差的平方〈方差〉成反比。誤差與測(cè)量8:39PM15②若不等精度測(cè)量?jī)H為重復(fù)次數(shù)不同，而其它測(cè)量條件都不變，則可用各組的重復(fù)次數(shù)ni做該組的權(quán)值pi。即：pi=ni例如，已知三組不等精度測(cè)量結(jié)果對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：則：∴可?。簆1=1,p2=16,p3=4

誤差與測(cè)量8:39PM162.加權(quán)算術(shù)平均值的計(jì)算接上例，設(shè)則

誤差與測(cè)量8:39PM173.加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差已知各組σi

②

若已知各組的權(quán)且組數(shù)足夠多時(shí)其中，ｍ為測(cè)量組數(shù)，為第i組平均值，為加權(quán)算術(shù)平均值。(與各組的算術(shù)平均值的分布有關(guān))誤差與測(cè)量8:39PM182.3函數(shù)誤差與誤差的傳遞一、直接測(cè)量與間接測(cè)量直接測(cè)量—測(cè)量的物理量就是所研究的參數(shù).簡(jiǎn)接測(cè)量—測(cè)量某些基本物理量,再根據(jù)函數(shù)關(guān)系求解所要研究的參數(shù).研究函數(shù)誤差就是解決間接測(cè)量中的誤差傳遞問題(也稱為第一類問題)另外還要解決誤差的分配(也稱為第二類問題)舉例說明:電路中的對(duì)電流測(cè)量可以用間接法.先測(cè)量R.V再算出電流I及誤差.(第一類問題)若對(duì)電路電流誤差有要求,則要求V和R的測(cè)量誤差應(yīng)保證在一定的范圍之內(nèi)(第二類問題)誤差與測(cè)量8:39PM19二.函數(shù)的誤差傳遞—已知直接測(cè)量參數(shù)的誤差,求間接測(cè)量參數(shù)的誤差1.誤差傳遞函數(shù):設(shè)直接測(cè)量參數(shù)與間接測(cè)量參數(shù)的關(guān)系式為:當(dāng)測(cè)量基本參數(shù)X1…….Xm時(shí)存在誤差,則計(jì)算出的y值的準(zhǔn)確性必然受到影響.y值的誤差可以用求微分的方法求出:式中:,稱之為誤差傳遞系數(shù),它反映了第i個(gè)測(cè)量參數(shù)的誤差對(duì)最終測(cè)量值y的影響程度.或者說xi的誤差是通過Ci傳遞給y的.誤差與測(cè)量8:39PM20①函數(shù)的系統(tǒng)誤差

②函數(shù)的隨機(jī)誤差2.函數(shù)誤差的計(jì)算:式中

為相關(guān)系數(shù)

一般它反映了兩個(gè)參數(shù)(或者隨機(jī)變量)之間是否成線性關(guān)系。函數(shù)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差：

函數(shù)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（各基本參數(shù)的隨機(jī)誤差兩兩獨(dú)立時(shí)）：

函數(shù)的極限誤差（各基本參數(shù)的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布，且互相獨(dú)立時(shí)）：

誤差與測(cè)量8:39PM21例:測(cè)平板上兩圓孔的中心距L,選擇一種較好的測(cè)量方法.已知:解:......①①式+②式有:......②誤差與測(cè)量8:39PM22方法1:

方法2:

誤差與測(cè)量8:39PM23方法3:

由此可見第三種方法最好.誤差與測(cè)量8:39PM24三.函數(shù)誤差的分配誤差傳遞的反問題：給定函數(shù)誤差,要求確定各基本參數(shù)所允許的測(cè)量誤差.步驟：按等作用原則分配誤差→按實(shí)際測(cè)量的難易調(diào)整誤差→驗(yàn)算

考慮各基本參數(shù)相互獨(dú)立,給定

則有:在這個(gè)方程中有m個(gè)未知數(shù)

根據(jù)已知條件只能列出一個(gè)方程,因此,解該方程必須再給定附加條件.誤差與測(cè)量8:39PM25等作用原則:

設(shè)各基本參數(shù)的誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等.即i=1,2,…..m.2.按實(shí)際過程調(diào)整誤差:由上式可知,當(dāng)|Ci|很大時(shí),σi很小，意味著對(duì)Xi的測(cè)量要求很高的精度,而|Ci|很小時(shí),則可放寬測(cè)量要求.在實(shí)際中,如果|Ci|太大,對(duì)Xi的測(cè)量要求過高,現(xiàn)有設(shè)備儀器可能滿足不了,這時(shí)可以適當(dāng)提高其他參量的測(cè)量精度,而保證總的

仍然滿足小于誤差與測(cè)量8:39PM263.調(diào)整后的驗(yàn)算

，則可使不易保證測(cè)量精度的基本參數(shù)的

擴(kuò)大；

，則可使容易保證測(cè)量精度的基本參數(shù)的

縮小。誤差與測(cè)量8:39PM27有關(guān)誤差的的綜合問題是誤差理論中爭(zhēng)論最多的問題,目前的趨勢(shì)是用不確定度來代替各種誤差的稱呼.有關(guān)這部分內(nèi)容,請(qǐng)參考有關(guān)的誤差理論論著.2.4測(cè)量的不確定度.誤差的合成也稱為誤差的綜合,它是解決如何根據(jù)各分項(xiàng)誤差來評(píng)定最后的測(cè)量結(jié)果的誤差.分項(xiàng)誤差:指由某一因素或環(huán)節(jié)產(chǎn)生的測(cè)量誤差,如系統(tǒng)誤差,隨機(jī)誤差等.誤差與測(cè)量8:39PM282.5靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)處理一.測(cè)量數(shù)據(jù)表示法.在測(cè)量過程中,被測(cè)量與測(cè)試儀器的輸出之間存在一定的關(guān)系.為把這種關(guān)系建立起來,常常在特定的條件下改變被測(cè)量的量值,測(cè)出對(duì)應(yīng)的輸出,特別是對(duì)傳感器而言,這種工作稱為標(biāo)定.即給出傳感器輸入/輸出之間的關(guān)系.比如:測(cè)力傳感器,輸入為力,輸出為電流,這樣力與電流的關(guān)系可用不同的表示方法表示出來.列表法:輸入力(N)輸出電流(mA)6012.27014.28016.29018.310020.415030.4誤差與測(cè)量8:39PM292.圖示法,即描點(diǎn)作圖坐標(biāo)可采用直角坐標(biāo),極坐標(biāo)等.上述兩種方法直觀但不便于從理論上分析研究,所以通常還要采用第三種方法.3.回歸方程—經(jīng)驗(yàn)公式法.根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法,求出兩個(gè)(甚至多個(gè))量之間的關(guān)系,用一個(gè)數(shù)學(xué)方程來表示，該方程稱之為回歸方程,而建立該方程的過程稱之為回歸分析,回歸分析包括一元線性回歸,一元非線性回歸,多元線性回歸及多項(xiàng)式回歸等.常用的是一元線性回歸分析.誤差與測(cè)量8:39PM30二.一元線性回歸方程的建立.對(duì)一組數(shù)據(jù)Xi、Yi,若它們之間是線性相關(guān)的.則可用一條直線來表示即：(對(duì)線性關(guān)系的評(píng)價(jià)由相關(guān)函數(shù)來評(píng)價(jià))通常這條直線可用最小二乘法獲得,即設(shè)實(shí)測(cè)值yi與理論計(jì)算值之差的平方和為最小,可列成下式:Q為剩余平方誤差誤差與測(cè)量8:39PM31即:若要使Q最小,可通過求極值的辦法來確定.m,b兩個(gè)未知量,即令:mb為未知量解方程便可求得m和b誤差與測(cè)量