人教A版高中數(shù)學(xué)第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》易錯題訓(xùn)練 (二)(含答案解析)

第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》易錯題專題訓(xùn)練（2）

一、單選題(本大題共20小題，共100.0分)

1.設(shè)％=(}：,y-z=log/3,貝女)

A.x<y<zB.y<z<xC.z<x<yD.z<y<x

2.設(shè)集合M={y|y=ER},N={x|y=log。。+1),Q>0,aW1},則M與N的關(guān)系是()

A.MuNB.MnNC.M=ND.McN=(p

3,已知a是函數(shù)/(%)=2"-1。。￥的零點，若O<%O〈Q,則/(%)的值滿足()

A./(%0)=0B./(x0)>0

C./(x0)<0D./(&)的符號不確定

4.已知集合4={久|%2v4},B={%|]og2%V1},則()

A.BQAB.AQBC,A=BD.4nB=0

5.設(shè)全集U=R,A={x\y=Ig(%2-%-6)},B={y\y=2x,x<0},則4U(QB)=()

A.[x\x<-2或%>1}B.[x\x<0或%>1}

C.{x\x<-2或x>3}D.{x|-3<%<3}

6.已知loga?<1則a的取值范圍是()

oo

A.0<a<-或a>1B.-<a<1

44

C.a<74D.a>74

7.已知集合4={x|lgx<g,B={y|y=4-10x},則()

A.ACiB(-x,\/T(j)B.AUB=(—00,4]

C.4是B的真子集D.8是4的真子集

8.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又是(0,1)上的減函數(shù)的是()

A.y=(%—I)2B.y=COSTTXC.y=ln|x|D.y=ex-e~x

9.設(shè)a=2。2,6=cos5,c=log20.2,則a,9c的大小關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

10.已知集合慶=值|1083(4-*)<1},B={X|4XT>8},若全集為實數(shù)集R,則A[(CRB)=()

CD

A'(-8圖B.(2,4)-仔4）-(W]

11.設(shè)a=log*l,b=logi|,c=C)°\則

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

12.已知a=6/b=log22VLc=1.22,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

13.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組

成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.給出定義：能夠?qū)A。的周

長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”.

給出下列命題：

①正弦函數(shù)y=sinx可以是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

②函數(shù)/0)=需三+》2。19可以是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

③函數(shù)f(x)=ln(x2+eF)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

④函數(shù)y=/(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y==f(x)的圖象是中心對

稱圖形.其中正確命題的序號是()

A.①③④B.①②C.②③D.①②④

14.已知a=2總b=l°g37?c=1081?則()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

15.已知a=log202b=20,2,c=O.203,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

16.已知集合4={a|loga3>1},B=[a\3a>9},則4n(CR8)=

A.(0,3)B.(1,3)C.(0,2]D.(1,2]

17.己知Q=25,b=log2c=logi則()

J3“

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a

18.若a>b>l,0Vc〈l,則下列結(jié)論正確的是()

cc

A.a<bB.a\ogbc<b\ogac

cc

C.ab<baD.logac<loghc

19.定義在R上的函數(shù)/(x)同時滿足:①對任意的xeR都有/(%+1)=/(%)；②當(dāng)x6(1,2］時，

f(x)=2-x.若函數(shù)g(x)=f(x)-logaMa>1)恰有3個零點，則a的最大值是()

A.5B.2C.3D.4

20.下列命題正確的個數(shù)為()

①“a=1”是“/(x)=2以為指數(shù)函數(shù)”的充要條件；

②“a=1”是“f(x)=Iog2(ax)為對數(shù)函數(shù)”的充要條件；

③“a=1”是“函數(shù)f(x)=空三+/條的最小值為2”的必要不充分條件；

④“a=l”是“直線x+ay+2=0與直線ax—y+l=0垂直”的充要條件.

A.1B.2C.3D.4

二、多選題(本大題共1小題，共5.0分)

21.下列函數(shù)中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)有()

A.y=?B.y=logi(x+l)C.y=|x-l|D.y=2X+1

三、單空題(本大題共3小題，共15.0分)

losix%>0

w，'則/(/(16))=________.

(5Z+3,X<0,

23.已知一元二次不等式/(x)>0的解集為(—8,1)U(2,+8),則/(Igx)<0的解集為

24.已知2m=5相=10,則三+三=.

mn

四、多空題(本大題共3小題，共15.0分)

25.總+lne3=——；0.0625《+展—(一①)。一料=——.

26.計算：喀曰=,2】喻3+1叫3=.

27.已知2a=3,則4a+4-a=_(D_,log“8=_(2)_(用a表示)

五、解答題(本大題共3小題，共36.0分)

28.求值：

(1)(Ig5)(lg8+IglOOO)+(lg2〃)2+ig+igo.06

6

11c313

(2)(2-)2-(-9.6)°-(3-)-2+(1.5)-2

4o

29.(1)已知幕函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過點(2,日)，求/(16)的值；

*

(2)化簡求值：(〒)05+-(2-Jr)0+5以0+log6-210ge

43s

30.函數(shù)/'(x)=也(7一2x—3)的定義域為集合4,函數(shù)9。)=2，一&?！?)的值域為集合8.

(1)求集合4,B；

(2)已知命題命題q:m€B,若「p是「q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：

本題考查借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)值與-1、0的大小關(guān)系即可求解.

解：由題意可知，X=(1)3>0，

,1,1?

y=log-<log-=-l,

5o5b

z=10gi3>10gi4=-1,又可知z<o,

44

故y<z<x,

故選8.

2.答案：A

解析：

本題考查集合的包含關(guān)系的判斷，涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，注意M是指數(shù)函

數(shù)的值域，N是所給函數(shù)的定義域.

解：M={y\y>0,yGR],N={x\x>—l,xGR),MuN.

故選A.

3.答案:C

解析：

本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)零點的定義求解.

解：?."(%)=2*Tog/在(0,+8)上是增函數(shù)，

a是函數(shù)f(x)=2'-的零點,

即/(a)=0,

二當(dāng)0<x0<a時,/(x0)<0,

故選C.

4.答案：4

解析：

本題考查集合的包含關(guān)系，不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

求出集合4與集合B,在進行判斷.

解：因為<={x，<4}={x|-2<x<2},

B=|x|log2x<1}={x[0<x<2},

所以

故選A.

5.答案：B

解析：

本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，集合的混合運算，屬基礎(chǔ)題.

分別求出集合4集合8,再求出答案.

解：因為4={x|y=lg(%2-%—6)},所以/一%-6>0,解得％<—2或x>3,

所以A={x\x<-2或%>3],

因為B=[y\y=2x,x<0},所以8={y|0<y<1},

所以4U(QB)={x\x<0或久>1),

故選艮

6.答案：4

解析：

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，考查分類討論思想，屬于簡單題.

根據(jù)題意對0<a<1和a>1分情況討論即可.

解：；<1，即1。以；<I%。，

當(dāng)Q>1時，；VQ,

a>1成立；

當(dāng)0vQV1時，->a,

4

八

0<a<-3,

4

??.Q的取值范圍為0VQV;或a>1,

4

故選人

7.答案：C

解析：

本題考查了集合的基本關(guān)系和基本運算，考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

求解出集合4、集合B的具體范圍，然后利用集合的基本關(guān)系和基本運算逐個判斷.

解：由1g%<［得4=(0.V10),

由1(F>0得B=(-00,4),

則ACB=(0,VTU)，Ai)B=(-oo,4),4是8的真子集.

故選C.

8.答案：B

解析：

本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，涉及到二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)

的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一判斷即可.

解：A.y=(x-1)2,圖象關(guān)于直線x=l對稱，在(0,1)上遞減，不是偶函數(shù)，此選項錯誤；

B.y-cosnx,是偶函數(shù)，且在(0,1)上遞減，此選項正確；

C.y=ln|x|,是偶函數(shù)，在(0,1)上遞增，此選項錯誤；

D.y=ex-e-x,是奇函數(shù)，而不是偶函數(shù)，此選項錯誤.

故選8.

9.答案：A

解析：

本題主要考查了指對?數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、各象限三角函數(shù)值的符號，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知a>1,由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知c<0,由5弧度是第四象限角知0<b<1,

從而得解.

02

解：a=2>2°=l,c=log20.2<log2l=0,

???525x57.3。=286.5。，.??5弧度是第四象限角，.??cos5C(0,1),

■■a>b>c.

故選A.

10.答案:D

解析：

本題考查了不等式的運算、集合的交集和補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)條件先把集合4和B運算出來，然后再補集和交集即可.

解：由log3(4—x)<l,得解得l<x<4.

故4={x|l<x<4}.

由4，T>8,得22丫-2>23,解得%>|.

故B={%[>|j,

則CRB={%?w|},

所以AC(CRB)=(I,|],

故選。.

11.答案：C

解析：

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及比較大小.

依據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)的性質(zhì)，分別確定a、b、c數(shù)值的大小，然后判定選項.

解：由題得a=?ogl11<log?=0,b=logi|>log,=1,o<c=(i)01<=1，

所以a<c<b

故選C.

12.答案：C

解析：

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)及其大小比較，考查計算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可推出a,b,c的范圍，從而得到它們之間的關(guān)系.

解：C=1.22-1.44>

T7■1-i/3\327

(3

乂a=651,.a=(6^)3_6，：c<(9)=兇<6，

■.a>b>c,

故選：C.

13.答案：B

解析：

本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和函數(shù)的的圖象，涉及三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)定義，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，結(jié)合圖象的性質(zhì)逐項判斷即可.

解：將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=s譏久的對稱中心上，則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

故有無數(shù)個圓成立，故①正確；

函數(shù)f(為=黑白+/。19的定義域是R,/(-X)=翳m+(―x)2019=-/019=—g

??./(乃=器房+/。19是奇函數(shù)，將圓心放在原點，故對于任意一個圓。，都是優(yōu)美函數(shù)，故②正

確；

函數(shù)/?Q)=lnQ2+石E)是偶函數(shù)，在x>0時是單調(diào)遞增的，大致圖象如圖1,故其不可能為圓

的“優(yōu)美函數(shù)”；??.③不正確；

函數(shù)y=/(x)的圖象是中心對稱圖形，則y=/(x)是“優(yōu)美函數(shù)”，但函數(shù)y=/(x)是“優(yōu)美函數(shù)”

14.答案：C

解析：解：；1=2。<a=2與<25<1.5,

b=log3|<log3l=0,

c=log->log：嘉=1.5,

■.c>a>b.

故選：C.

利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

的合理運用.

15.答案：B

解析：

本題主要考查對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用中間值0,1和對?數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

解：a=log20.3<log2l=0

b=20-3>2°=1

0<c=O.302<0.3°=1

故a<c<b.

故選B.

16.答案:D

解析：

本題考查集合的混合運算，屬于基礎(chǔ)題.求出集合4B,計算CRB,繼而求得結(jié)果.

解:因為4={a|loga3>l}=(l,3),B={a|3a>9}=(2,+8),

所以CRB=(-oo,2],

所以4n(CRB)=(1,2].

故選。.

17.答案：A

解析：

本題主要考查實數(shù)大小的比較，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.

解：因為a=23>1>

b=log2^<0,

0<c=logi1<1,

■.b<c<a,

故選A.

18.答案：B

解析：

本題主要考查指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對選項進行分析，從而得出正確選項.

解：A.-a>b>1,0<c<1,

ac>bc,故A錯誤；

B.a\ogbc=a

Iogcb\ogcb

b\ogac=b^^-=

logcaIogca

ab_a\ogca-b\ogcb_°gc豆，

logcdlogca\ogcb\ogcalogcalogcb

va>b>1,0<C<1,

：?aa>ba>bb即々>1,

fb0

???logc0,logca<0,logch<0,

二急即alog*<blogaC,故B正確，

C.空=信產(chǎn)

bac\bj

va>6>1,0<c<1,

?,?工>1,1—c>0,

b

???(/>(9°=L

?,?竺；>1，即a/>ba與故C錯誤，

bac

D.：.a>b>l,0<c<l,

logac>logbc,故。錯誤.

故選B.

19.答案：C

解析：

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題是解

決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)條件得到/(X)是周期為1的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為/(X)與九(x)=loga%，有3個

交點，利用數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化求解即可.

解：由/0+1)=/。)得函數(shù)的周期是1,

當(dāng)xG(1,2］時，/,(%)=2-%.

???/⑴=/(2)=0,

令九(X)=logax,

當(dāng)a>1時,h(x)=logaX為增函數(shù),

要使-/(%)-logax(a>。且a+1)恰有3個零點，

即/(X)與九(X)=logaX的圖象有3個交點，

2

則滿足般廣;:饕BP{?>gp2<a<3,

8(3)=loga3>I(-1<a<3

即實數(shù)a的最大值為3.

故選C.

20.答案：A

解析：

本題結(jié)合指數(shù)函數(shù)的概念、對數(shù)函數(shù)的概念、函數(shù)的最值及兩直線垂直等知識考查充分條件、必要

條件的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).利用指數(shù)函數(shù)的定義判

斷①，利用對數(shù)函數(shù)的定義判斷②，利用換元法將函數(shù)化為g(t)=t+%根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)

形結(jié)合判斷③；根據(jù)兩直線垂直的充要條件判斷④.

解：當(dāng)a=2時，/(x)=22X=小也是指數(shù)函數(shù)，必要性不成立，故①不正確.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義可知②正確.

設(shè)1=工戶，貝設(shè)g(t)=t+*如圖,

當(dāng)a>l時，g(t)min=9(仿)=26=2,解得a=l,與前提矛盾；

當(dāng)a<l時，g(t)min=5(1)=1+d=2,解得a=l,與前提矛盾；

當(dāng)a=l時，5(f)min=5(Va)=2Va=2,解得a=l,符合前提.

所以應(yīng)為充要條件，③不正確.

當(dāng)a=l時，兩直線為x+y+2=0,x-y+l=O,此時兩直線的斜率之積為(-1)x1=-1,所

以兩直線垂直；

當(dāng)直線x+ay+2=0與ax-y+1=0垂直時，有(-/)-a=-1或a=0,所以④不正確.

綜上所述，正確的只有②.

故選A.

21.答案:BC

解析：

本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的單調(diào)性對選項逐一判斷即可得出答案.

解：對于從函數(shù)y=返在［0,+8)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

對于B：函數(shù)丫=logjx+l)在(_i,+oo)上單調(diào)遞減，故B正確；

對于C：函數(shù)"在(-8,1)上單調(diào)遞減，在［1,+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

對于0：函數(shù)產(chǎn)2/一」在(-8,+8)上單調(diào)遞增，故。錯誤；

故選BC.

22.答案：!

解析：

本題考查的知識點是函數(shù)求值，分段函數(shù)的應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

可先求出/(16),再將〃16)的值代入進行后面的計算即可得.

解：由題知f(/(16))=f(logil6)=/(-4)=5-4+3=1.

故答案為

23.答案：(10,100)

解析：

本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了對數(shù)不等式的解法，屬中檔題.

由已知得一元二次不等式/(x)<0的解集(L2),根據(jù)l<，gx<2,即可得到答案.

解：由一元二次不等式/(X)>0的解集為(一8,1)U(2,4-00),

得/Q)<0的解集為(1,2),

=1<Igx<2—IglOO,

10<x<100,

故<0的解集為(10,100),

故答案為(10,100).

24.答案：1

解析：

本題考查對數(shù)的運算法則的應(yīng)用，考查計算能力.

根據(jù)對數(shù)運算得到小，n,然后求解表達式的值.

2m=5"=10,

可得5=^2,：=lg5,

-m+-n=lg2+lg5=1.

故答案為：1.

25.答案：2

1

2

解析：

本題考查對數(shù)、指數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

(1)結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可；

（2）結(jié)合指數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.

解:高+^=-1+3=2.

0.06254+￡-（一后）。-狩=0.5+2.5-1-1.5=

故答案為2；

26.答案：

3V3

解析：

本題考查對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù).

直接由對數(shù)的運算法則求解即可.

解：l°g2y-log2V2-log22=j-1=-1,

21og23+log43_210g23+log26=2,0。23舊=3次，

故答案為一卷，3A/3.

27.答案:?

1+2Q

-2-

解析：

本題考查了指數(shù)和對數(shù)的互化，指數(shù)幕與對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.

由2a=3,得（2。）2=9,再由4。=9得a=log49,結(jié)合對數(shù)運算公式將log49X2=log49+log42=

。+3=等，即可用含a的式子表示出來.

解：因為2a=3,則4a=（2。）2=9,

所以4a+4-a=9+2=￡；

所以a=log49,

所以log418=log49x2=log49+log42=a+[=號^.

故答案為言等.

28.答案:解：(1)原式=Ig5(3lg2+3)4-(V3^2)2+lg(1x0.06)

=31g51g2+31g5+3lg22+lgl0~2

=3/g2ag5