河南濕封市2025屆高三數(shù)學(xué)3月模擬考試試題文含解析

PAGE21-河南省開(kāi)封市2025屆高三數(shù)學(xué)3月模擬考試試題文（含解析）一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出集合再依據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交運(yùn)算，需駕馭集合交運(yùn)算的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.若，則A.1 B.-1 C.i D.-i【答案】C【解析】試題分析：，故選C．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)．【舉一反三】復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算中，可以從形式上理解為關(guān)于虛數(shù)單位“”的多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)，復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法相類似，只是在結(jié)果中把換成?1.復(fù)數(shù)除法可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算的分母有理化．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可依照平面對(duì)量的加、減法的幾何意義進(jìn)行理解．3.設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)當(dāng)為，即本題的正確選項(xiàng)為C.4.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通過(guò)探討函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，推斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)．5.設(shè)等比數(shù)列滿意則（）A.1 B.2 C. D.-1【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，解方程組即可.【詳解】由所以，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.6.已知單位向量滿意，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將兩邊平方，再利用向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】由，所以，又為單位向量，所以，解得，所以與的夾角為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積求向量的夾角，需熟記向量數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.7.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用三角函數(shù)的定義以及兩角差的余弦公式的應(yīng)用即可求解.【詳解】角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，由于故，與相互反，不妨，則，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及兩角差的余弦公式，需駕馭三角函數(shù)的定義以及兩角差的公式，屬于基礎(chǔ)題.8.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意畫(huà)出幾何體的直觀圖，然后推斷以zOx平面為投影面，則得到正視圖即可．解：因?yàn)橐粋€(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），幾何體的直觀圖如圖，是正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個(gè)正四面體，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖為：故選A．9.關(guān)于漸近線方程為的雙曲線有下述四個(gè)結(jié)論：①實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等，②離心率是③過(guò)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)相等，④頂點(diǎn)到漸近線與焦點(diǎn)到漸近線的距離比值為.其中全部正確結(jié)論的編號(hào)（）A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線的定義可推斷①；由離心率的求法可推斷②；設(shè)出雙曲線的方程，將代入求出弦長(zhǎng)可推斷③；比較頂點(diǎn)到漸近線與焦點(diǎn)到漸近線的距離即可推斷④；【詳解】①因?yàn)闈u近線的斜率為或，所以，①正確；②離心率，所以②正確；③設(shè)雙曲線的方程為，將代入雙曲線方程可得，過(guò)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為與實(shí)軸長(zhǎng)相等，同理，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)此結(jié)論也成立，所以③正確；④因?yàn)轫旤c(diǎn)到漸近線的距離小于焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以④不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，駕馭雙曲線的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10.已知是橢圓)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在直角中，由得到的等量關(guān)系，結(jié)合，計(jì)算可得到離心率.【詳解】把代入橢圓，從而可得，，由可得，解得，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，考查了橢圓離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.11.已知線段是垂直平分線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最小值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得，，利用向量的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系：則，，不妨設(shè)在的上方，則，，，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.12.已知正項(xiàng)數(shù)列滿意為的前項(xiàng)的積，則使得的的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系式，利用“累加法”以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由所以，，，利用“累加法”可得，所以，，若，則即，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故使得的的最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】14.為應(yīng)對(duì)新冠疫情，很多企業(yè)在特別時(shí)期轉(zhuǎn)產(chǎn)抗疫急需物資，某工廠轉(zhuǎn)產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的防疫物資，產(chǎn)量分別為件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上全部的產(chǎn)品中抽.取件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從甲種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取____________件.【答案】【解析】【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)干脆求解.【詳解】甲種型號(hào)的產(chǎn)品占總產(chǎn)量的百分比為：，則抽取件進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，從甲種型號(hào)的產(chǎn)品中抽?。┕蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是算出甲在總量中占的比例，屬于基礎(chǔ)題.15.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)直線相交的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，求出直線斜率和傾斜角，結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】圓心到直線的距離，則，過(guò)，則直線，即，設(shè)傾斜角為，則直線的斜率，解得，在中，則，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、幾何法求弦長(zhǎng)、點(diǎn)到直線的距離公式以及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意且當(dāng)時(shí)，則_____.，則函數(shù)的零點(diǎn)共有_____個(gè).【答案】(1).0(2).5【解析】【分析】令，可求；依據(jù)題意可知是以為周期的函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的依據(jù)個(gè)數(shù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可得出答案.【詳解】由令，則解得；由則，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，所以是以為周期的函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖像：由圖可知兩函數(shù)有5個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)共有5.故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值，考查了數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知的面積是否存在最大值？若存在，求對(duì)應(yīng)三角形的三邊；若不存在，說(shuō)明理由.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】若選①：存在，，；若選②：不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】若選①,，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積最大值，再利用余弦定理可求邊長(zhǎng)；若選②,，利用正弦定理可得，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】解:若選①,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，面積取得最大值為若選②,所以，所以，可以取隨意正數(shù)，所以的面積不存在最大值，【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面積公式，需熟記定理以及三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）探究四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)位置，并證明；（2）當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，求到平面的距離.【答案】（1）線段的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）連接，過(guò)相交直線有且只有一個(gè)平面，證明在平面內(nèi)，在平面內(nèi)即可證出.（2）由知，四點(diǎn)共面時(shí)，即為平面，過(guò)作的垂線，垂足記為，利用面面垂直的性質(zhì)定理證出平面，，利用即可求解.【詳解】證明:當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，四點(diǎn)共面.連接，過(guò)相交直線有且只有一個(gè)平面，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi)，因?yàn)槭钦叫?，?dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，是的中心，必為的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi).分析可知，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，四點(diǎn)共面..由知，四點(diǎn)共面時(shí)，即為平面.過(guò)作的垂線，垂足記為，為正三角形，平面平面，所以是的中點(diǎn)，平面，所以平面平面，所以，因?yàn)?，所以到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共面、兩條相交直線確定一個(gè)平面、等體法求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.19.海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如下：（1）記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行較．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k38416.63510.828【答案】（1）0.62（2）有99%的把握（3）新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法【解析】【詳解】試題分析：(1)由頻率近似概率值，計(jì)算可得舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.62.據(jù)此，事務(wù)A的概率估計(jì)值為0.62.(2)由題意完成列聯(lián)表，計(jì)算K2的觀測(cè)值k＝≈15.705＞6.635，則有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．試題解析：(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事務(wù)A的概率估計(jì)值為0.62.(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2的觀測(cè)值k＝≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)由頻率分布直方圖可得：舊養(yǎng)殖法100個(gè)網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5＝5×9.42＝47.1；新養(yǎng)殖法100個(gè)網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；比較可得：12，故新養(yǎng)殖法更加優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．點(diǎn)睛：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)留意三點(diǎn)：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全確定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問(wèn)題時(shí)確定要留意這點(diǎn)，不行對(duì)某個(gè)問(wèn)題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的說(shuō)明．20.已知拋物線拋物線上的點(diǎn)（1）求直線斜率的取值范圍；（2）延長(zhǎng)與以為直徑的圓交于點(diǎn)求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)求斜率，結(jié)合的取值范圍即可求解.（2）由題設(shè)可知，聯(lián)立直線與的方程,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式求出、，利用導(dǎo)數(shù)即可求出最值.【詳解】解:設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?；所以直線斜率的取值范圍是.由題設(shè)可知，聯(lián)立直線與的方程解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是因?yàn)?，所以令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)求斜率、弦長(zhǎng)公式，利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（1）證明：；（2）設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于隨意正整數(shù)，，求的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3【解析】【分析】（1）首先求出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，若即可證出.（2）由知當(dāng)時(shí)，，可得，從而，令得，不等式累加，依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及放縮法即可證出.【詳解】解:，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的最小值為，所以由知當(dāng)時(shí)