山東省濰坊市高密一中2025屆高三數(shù)學(xué)3月質(zhì)量檢測試題含解析

PAGE21-山東省濰坊市高密一中2025屆高三數(shù)學(xué)3月質(zhì)量檢測試題（含解析）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選B.2.設(shè)(為虛數(shù)單位），其中是實數(shù)，則等于()A.5 B. C. D.2【答案】A【解析】由，得，∴，解得，∴．故選A．3.已設(shè)都是正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由和分別求出a，b的關(guān)系，然后利用必要條件、充分條件及充分必要條件的推斷方法得答案．【詳解】由，得或或，由，得，“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點睛】本題主要考查了必要條件、充分條件及充分必要條件的推斷方法，考查了不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．4.甲、乙、丙三位同學(xué)獲得某項競賽活動的前三名，但詳細(xì)名次未知．3人作出如下預(yù)料：甲說：我不是第三名；乙說：我是第三名；丙說：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的預(yù)料結(jié)果有且只有一個正確，由此推斷獲得第三名的是A.甲 B.乙 C.丙 D.無法預(yù)料【答案】A【解析】【分析】若甲的預(yù)料正確，則乙、丙的預(yù)料錯誤，推出沖突！若乙的預(yù)料正確，甲、丙的預(yù)料錯誤，推出沖突！若丙的預(yù)料正確，甲、乙的預(yù)料錯誤，可推出三個人的名次．【詳解】若甲的預(yù)料正確，乙、丙的預(yù)料錯誤，則丙是第一名，甲不是第三名，則甲是其次名，乙是第三名，沖突！若乙的預(yù)料正確，甲、丙的預(yù)料錯誤，則乙是第三名，甲的預(yù)料錯誤，那么甲是第三名，沖突！若丙的預(yù)料正確，則甲、乙的預(yù)料錯誤，則甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，則乙是其次名．因此，第三名是甲，故選A．【點睛】本題考查合情推理，突出假設(shè)法在推理中的應(yīng)用，通過不斷試錯來推出結(jié)論，考查推理分析實力，屬于中等題．5.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個問題:“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思說：現(xiàn)有扇形田，弧長三十步，直徑十六步，問面積多少？書中給出計算方法：以徑乘周，四而一，即扇形的面積等于直徑乘以弧長再除以.在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，依據(jù)給出計算方法：扇形的面積等于直徑乘以弧長再除以，再由扇形的弧長公式列出方程，即可求解.【詳解】由題意，依據(jù)給出計算方法：以徑乘周，四而一，即扇形的面積等于直徑乘以弧長再除以，再由扇形的弧長公式，可得扇形的圓心角（弧度），故選C.【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式的實際應(yīng)用問題，其中解答中仔細(xì)審題，正確理解題意，合理利用扇形的弧長公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于基礎(chǔ)題.6.若的綻開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項是（）A.210 B.180 C.160 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，得出二項式的指數(shù)的值，再利用綻開式的通項公式求出常數(shù)項是多少．【詳解】解：綻開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，∴綻開式中共有11項，n＝10；∴綻開式的通項公式為令，得，常數(shù)項是，故選B．【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與運(yùn)算實力，是基礎(chǔ)題目．7.泉城廣場上聳立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)記和象征.為了測量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點A處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點B，在點B處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為30°，則“泉標(biāo)”的高度為（A.50m B.100m C.120【答案】A【解析】【分析】先設(shè)DC＝x，然后在△ABC中，利用余弦定理可得，再求解即可.【詳解】解:依據(jù)題意，作出圖形如圖所示：所以AB＝100，∠BAC＝60°，∠DBC＝30°，設(shè)DC＝x，所以AC＝x，BC，在△ABC中，利用余弦定理的應(yīng)用得，得，又，解得，故選:A【點睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，重點考查了運(yùn)算實力，屬基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)滿意，，且與的圖像交點為，，…，，則的值為()A.20 B.24 C.36 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件推斷和都關(guān)于中心對稱，由此求得的值.【詳解】由于滿意，當(dāng)時，，所以關(guān)于中心對稱.由于，所以關(guān)于中心對稱.故和都關(guān)于中心對稱.所以與的圖像交點，，…，，兩兩關(guān)于對稱.所以.故選D.【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的對稱性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、多項選擇題：本題共4小題，中學(xué)聯(lián)盟每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點（離地面最近的點）距地面千米，遠(yuǎn)地點（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面千米，并且三點在同始終線上，地球半徑約為千米，設(shè)該橢圈的長軸長、短軸長、焦距分別為，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)條件數(shù)形結(jié)合可知，然后變形后，逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】因為地球的中心是橢圓的一個焦點，并且依據(jù)圖象可得，（*），故A正確；，故B正確；（*）兩式相加，可得，故C不正確；由（*）可得，兩式相乘可得，，故D正確.故選ABD【點睛】本題考查圓錐曲線的實際應(yīng)用問題，意在考查抽象，概括，化簡和計算實力，本題的關(guān)鍵是寫出近地點和遠(yuǎn)地點的方程，然后變形化簡.10.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務(wù)；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事務(wù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.事務(wù)與事務(wù)相互獨(dú)立D.，，是兩兩互斥的事務(wù)【答案】BD【解析】【分析】由題意，，是兩兩互斥的事務(wù)，由條件概率公式求出，比照四個選項推斷即可.【詳解】由題意，，是兩兩互斥事務(wù)，，，故B正確；，故A，C不正確；，，是兩兩互斥的事務(wù)，故D正確.故選：BD．【點睛】本題考查了互斥事務(wù)和條件概率，考查了學(xué)生實際應(yīng)用，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實力，屬于中檔題.11.已知點是雙曲線：的右支上一點，，為雙曲線的左、右焦點，的面積為20，則下列說法正確的是（）A.點的橫坐標(biāo)為B.的周長為C.小于D.的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)的內(nèi)心為，連接，設(shè),利用的面積為20，可求得P點坐標(biāo)；的周長為，借助P點坐標(biāo)，可得解；利用，可求得，可探討范圍；可求得內(nèi)切圓半徑r.【詳解】設(shè)的內(nèi)心為，連接，雙曲線：中的，，，不妨設(shè)，，，由的面積為20，可得，即，由，可得，故A符合題意；由，且，，可得，，則，則，故C符合題意；由，則的周長為，故B符合題意；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，可得，可得，解得，故D不符合題意．故選：ABC．【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實力，屬于中檔題.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱，為上底面上的動點，給出下列四個結(jié)論中正確結(jié)論為（）A.若，則滿意條件的點有且只有一個B.若，則點的軌跡是一段圓弧C.若∥平面，則長的最小值為2D.若∥平面，且，則平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形的面積為【答案】ABD【解析】【分析】若，由于與重合時，此時點唯一；，則，即點的軌跡是一段圓??；當(dāng)為中點時，DP有最小值為，可推斷C；平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為，可得D.【詳解】如圖：∵正四棱柱的底面邊長為2，∴，又側(cè)棱，∴，則與重合時，此時點唯一，故A正確；∵，，則，即點的軌跡是一段圓弧，故B正確；連接，，可得平面平面，則當(dāng)為中點時，DP有最小值為，故C錯誤；由C知，平面即為平面，平面截正四棱柱外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為，面積為，故D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查了立體幾何綜合，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實力，屬于較難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若滿意，且方向相同，則__________．【答案】【解析】【分析】由向量平行坐標(biāo)表示計算．留意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿意題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時要留意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．14.已知是與的等比中項，則圓錐曲線的離心率是_____．【答案】或【解析】【分析】由是與的等比中項算出,再分兩種狀況計算圓錐曲線的離心率即可.【詳解】由是與的等比中項有,故.當(dāng)時圓錐曲線方程,為焦點在軸的雙曲線,其中,此時離心率當(dāng)時圓錐曲線方程,,為焦點在軸的橢圓,其中,此時離心率故答案為或【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線方程運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.15.對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)滿意，則稱函數(shù)為“倒戈函數(shù)”．設(shè)（，且）是定義在[﹣1，1]上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】即，構(gòu)造函數(shù)，，利用換元法求函數(shù)值域，即得解.【詳解】∵是定義在[﹣1，1]上的“倒戈函數(shù)，∴存在滿意，∴，∴，構(gòu)造函數(shù)，，令，，，，∴，∴，故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)綜合，考查了學(xué)生，綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實力，屬于較難題.16.已知函數(shù)，其中，是這兩個函數(shù)圖像的交點，且不共線.①當(dāng)時，面積的最小值為___________；②若存在是等腰直角三角形，則的最小值為__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】①利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用求出三角形的底和高，進(jìn)一步求出三角形的面積；②利用等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用求出的最小值．【詳解】函數(shù)，其中，是這兩個函數(shù)圖象的交點，當(dāng)時，．所以函數(shù)的交點間的距離為一個周期，高為．所以：．如圖所示：①當(dāng)時，面積的最小值為；②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，則，解得的最小值為．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題型．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.數(shù)列滿意：（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，求的前項和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用時，求解；檢驗成馬上可求解（2）由，得，利用錯位相減求和即可【詳解】（1）令時，時，，滿意所以；（2）由，①②①②得【點睛】本題考查利用前n項和求通項公式，考查錯位相減求和，精確利用前n項和求出通項公式是關(guān)鍵，是中檔題18.在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知．（1）求角B的大??；（2）求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）依據(jù)正弦定理邊化角，與兩角和的正弦公式求得B的值；（2）依據(jù)正弦定理邊化角，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合角的范圍求得取值范圍．【詳解】（1）由，依據(jù)正弦定理，有即有則有，又，所以，（2）由（1），，則，又為銳角三角形，所以，且，所以，于是則又所以，的取值范圍是【點睛】本題主要考查了正弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和差的正弦公式，正確求得角的范圍是解題的關(guān)鍵．19.如圖，三棱柱中，，，平面平面.（1）求證：；（2）若，直線與平面所成角為，為的中點，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）過點C作CO⊥AA1，則CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推導(dǎo)出Rt△AOC≌Rt△BOC，從而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能證明AA1⊥BC．（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．【詳解】（1）過點作，垂足為，因為平面平面，所以平面，故，又因為，，，所以，故，因為，所以，又因為，所以平面，故.（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為平面，所以是直線與平面所成角，故，所以，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，因為平面，所以為平面的一條法向量，，，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20.為提高城市居民生活華蜜感，某城市公交公司大力確保公交車的準(zhǔn)點率，削減居民乘車候車時間為此，該公司對某站臺乘客的候車時間進(jìn)行統(tǒng)計乘客候車時間受公交車準(zhǔn)點率、交通擁堵狀況、節(jié)假日人流量增大等狀況影響在公交車準(zhǔn)點率正常、交通擁堵狀況正常、非節(jié)假日的狀況下，乘客候車時間隨機(jī)變量滿意正態(tài)分布在公交車準(zhǔn)點率正常、交通擁堵狀況正常、非節(jié)假日的狀況下，調(diào)查了大量乘客的候車時間，經(jīng)過統(tǒng)計得到如圖頻率分布直方圖.（1）在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點值代表該組中的各個值，試估計的值；（2）在統(tǒng)計學(xué)中，發(fā)生概率低于千分之三的事務(wù)叫小概率事務(wù)，一般認(rèn)為，在正常狀況下，一次試驗中，小概率事務(wù)是不能發(fā)生的在交通擁堵狀況正常、非節(jié)假日的某天，隨機(jī)調(diào)查了該站的10名乘客的候車時間，發(fā)覺其中有3名乘客候車時間超過15分鐘，試推斷該天公交車準(zhǔn)點率是否正常，說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】（1），（2）準(zhǔn)點率正常，詳見解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖結(jié)合均值和方差公式可求出和；（2）由正態(tài)分布求得再依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事務(wù)發(fā)生k次的概率公式求有3名乘客候車時間超過15分鐘的概率從而得出結(jié)論.【詳解】（1），（2），設(shè)3名乘客候車時間超過15分鐘的事務(wù)為，，，準(zhǔn)點率正?！军c睛】考查正態(tài)分布，考查數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).21.已知橢圓，點F為拋物線的焦點，焦點F到直線3x-4y+3=0的距離為d1，焦點F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2，且．(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若在x軸上存在點M，過點M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點，且為定值，求點M的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)點到直線的距離公式以及拋物線的性質(zhì)可求得和，再結(jié)合解出即可得拋物線的方程；