專題03 函數(shù)的概念與性質(zhì)（5知識(shí)點(diǎn)+4重難點(diǎn)+5方法技巧+5易錯(cuò)易混）（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)

專題03函數(shù)的概念與性質(zhì)（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念1、函數(shù)的概念：一般地，設(shè)是非空的數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作.2、函數(shù)的三要素：（1）在函數(shù)中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；（2）與的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集．（3）函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：.3、相等函數(shù)與分段函數(shù)（1）相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．（2）分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量取值的不同區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個(gè)部分構(gòu)成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)，各部分函數(shù)定義域不可以相交。知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。單調(diào)性的圖形趨勢(shì)（從左往右）上升趨勢(shì)下降趨勢(shì)2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【注意】（1）函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問題，故單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開．（2）單調(diào)區(qū)間D?定義域I.（3）遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；（4）單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；3、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時(shí)，與單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，與單調(diào)性相反.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)時(shí)，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:簡(jiǎn)記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡(jiǎn)稱“同增異減”．知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2、函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論（1）為奇函數(shù)?的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；為偶函數(shù)?的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．（2）如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．（3）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．（4）奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．（5）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)．知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2、最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的對(duì)稱性1、關(guān)于線對(duì)稱若函數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，特別地，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù)．2、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱若函數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，特別地，當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，，則函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)．重難點(diǎn)01求函數(shù)值域的七種方法法一、單調(diào)性法：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值(值域)．（1）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．（2）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．（3）若函數(shù)y＝f(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全國·專題）函數(shù)（）的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值為.故選：B【典例2】（23-24高三·全國·專題）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)的最小值為，最大值為，所以值域?yàn)?故選：A.法二、圖象法：作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合．（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對(duì)于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域．（2）的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確定靠下(或靠上)的部分為該函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·月考）對(duì)，用表示，中的較大者，記為，若函數(shù)，則的最小值為.【答案】【解析】當(dāng)，即，即時(shí)，，當(dāng)，，即或時(shí)，，所以，函數(shù)圖象如圖所示：由圖可得，函數(shù)在，上遞減，在上遞增，所以.【典例2】（23-24高三上·重慶北碚·月考）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】由高斯函數(shù)的定義可得：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，易見該函數(shù)具有周期性，繪制函數(shù)圖象如圖所示，由圖象知的值域?yàn)?法三、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.【典例1】（23-24高三上·全國·專題）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令得，，故定義域?yàn)椋?故選：A【典例2】（2023高三·江西萍鄉(xiāng)·開學(xué)考）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】由題得且.因?yàn)?且.所以原函數(shù)的值域?yàn)?法四、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元t代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出最值(值域)．（1）在換元的過程中，因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍．（2）換元的作用有兩個(gè)：①通過換元可將函數(shù)解析式簡(jiǎn)化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過將根式視為一個(gè)整體，換元后即可“消滅”根式，達(dá)到簡(jiǎn)化解析式的目的．②可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理【典例1】（2023高三上·廣東河源·開學(xué)考試）函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】令，則，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸為，開口向下，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為.【典例2】（23-24高三·全國·專題）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，則，所以函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，有最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：C法五、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，形如或（，至少有一個(gè)不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法以為例，解題步驟如下：第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數(shù)變形成的形式，第二步，求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求出的值域?！镜淅?】（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮壳摇窘馕觥亢瘮?shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)的值域?yàn)榍?【典例2】（2024高三下·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，顯然，則，于是，所以函數(shù)的值域是.故選：C法六、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應(yīng)用判別式法時(shí)必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價(jià)性。另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法解法?！镜淅?】（23-24高三·全國·專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.【答案】【解析】顯然恒成立，即原函數(shù)定義域?yàn)?，由，得，?dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得恒有實(shí)數(shù)根，因此，解得且，所以函數(shù)的值域?yàn)?【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)?，整理得，可知關(guān)于x的方程有正根，若，則，解得，符合題意；若，則，可得或，解得或且，則或或；綜上所述：或，即函數(shù)，的值域?yàn)?法七、導(dǎo)數(shù)法：對(duì)可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，令，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性：如果定義域時(shí)閉區(qū)間，額函數(shù)的最值一定取在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處；如果定義域是開區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處?！镜淅?】（23-24高三上·遼寧·開學(xué)考試）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，.【典例2】（23-24高三上·山東濟(jì)寧·月考）函數(shù)的最小值【答案】【解析】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取得最小值.重難點(diǎn)02常見奇函數(shù)、偶函數(shù)的類型及應(yīng)用1、（）為偶函數(shù)；2、（）為奇函數(shù)；3、（）為奇函數(shù)；4、（）為奇函數(shù)；5、（）為奇函數(shù)；6、為偶函數(shù)；7、為奇函數(shù)；【典例1】（23-24高三下·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖象可由的圖象，先向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.故選：A.【典例2】（23-24高三下·重慶·模擬預(yù)測(cè)）（多選）函數(shù)，，那么（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，因?yàn)?，即，所以為奇函?shù)，所以為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，所以為奇函數(shù)，B正確；，所以是奇函數(shù)，C正確；令，，為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC．重難點(diǎn)03函數(shù)周期性的常用結(jié)論及應(yīng)用1、（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；2、函數(shù)對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)關(guān)于直線與直線對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是；（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是；（3）若函數(shù)關(guān)于直線，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是.3、函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的關(guān)系（1）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（2）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（3）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（4）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.其中，上面每組三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)能夠推出第三個(gè)?！镜淅?】（23-24高三下·河北·模擬預(yù)測(cè)）定義在上的函數(shù)周期為，且為奇函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】D【解析】定義在上的函數(shù)周期為，所以，又為奇函數(shù)，所以，即，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；所以，則，所以，則為奇函數(shù)，故D正確；由，所以，則關(guān)于對(duì)稱，令，則，滿足函數(shù)周期為，且滿足為奇函數(shù)，但是為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，則，滿足函數(shù)周期為，又滿足為奇函數(shù)，但是為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤.故選：D【典例2】（23-24高三下·江西·月考）（多選）已知的定義域?yàn)?，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，令，則，所以，故A正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，則，所以，即，故B正確；由，令替換可得，又，所以，則，，所以，故C錯(cuò)誤；由，所以，故D正確.故選：ABD重難點(diǎn)04抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用1、抽象函數(shù)求值：以抽象函數(shù)為載體的求值問題的常見形式，是給出函數(shù)滿足的特殊條件，指定求出某處的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值。2、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.3、求抽象函數(shù)解析式的方法=1\*GB3①換元法：用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)；=2\*GB3②湊合法：在已知f(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求fx；=3\*GB3③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件，求出出關(guān)系式中的未知系數(shù)；=4\*GB3④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式；=5\*GB3⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達(dá)式；=6\*GB3⑥方程組法：一般等號(hào)左邊有兩個(gè)抽象函數(shù)(如f(x),f(-x))，將左邊的兩個(gè)抽象函數(shù)看成兩個(gè)變量，變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，與原方程組成一個(gè)方程組，利用消元法求f(x)的解析式.【典例1】（23-24高三下·河南·月考）（多選）已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B．或C．是上的增函數(shù) D．是上的增函數(shù)【答案】AC【解析】在中，令，得，即．因?yàn)楹瘮?shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以，A正確．令，則．令，則，①令，則，②由①②，解得，從而，B錯(cuò)誤．令，則，即，因?yàn)?，所以，所以C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC【典例2】（23-24高三上·福建莆田·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，并且滿足下列條件：對(duì)任意x，y∈R，都有，當(dāng)時(shí)，.（1）證明：為奇函數(shù)；（2）若，解不等式.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵對(duì)任意x，y∈R，都有，故令，則，，令，則，即，是奇函數(shù)；（2）任取，且，由題意得，，，，，，在上為減函數(shù)．因，∴，∴，解得，∴的解集為：．一、求函數(shù)定義域的依據(jù)函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍1、分式的分母不能為零.2、偶次方根的被開方數(shù)的被開方數(shù)必須大于等于零，即中奇次方根的被開方數(shù)取全體實(shí)數(shù)，即中，.3、零次冪的底數(shù)不能為零，即中.4、如果函數(shù)是一些簡(jiǎn)單函數(shù)通過四則運(yùn)算復(fù)合而成的，那么它的定義域是各個(gè)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的交集?！咀⒁狻慷x域用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示熟記，不能用“或”連接，而應(yīng)用并集符號(hào)“∪”連接?！镜淅?】（23-24高三下·四川南充·三模）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】因?yàn)椋郧?，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)?【典例2】（23-24高三下·北京·開學(xué)考）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?二、函數(shù)解析式的四種求法1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法．（1）確定所有函數(shù)問題含待定系數(shù)的一般解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程；（3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數(shù)的解析式的問題（1）先令，注意分析的取值范圍；（2）反解出x，即用含的代數(shù)式表示x；（3）將中的x度替換為的表示，可求得的解析式，從而求得。3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關(guān)于的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程組法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。例如：若條件是關(guān)于與的條件（或者與）的條件，可把代為（或者把代為）得到第二個(gè)式子，與原式聯(lián)立方程組，求出【典例1】（23-24高三上·甘肅蘭州·月考）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，則，，所以，所以的解析式為：故選：B.【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式（1）已知是一次函數(shù)，且滿足；（2）已知函數(shù)滿足條件對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)恒成立【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，則，所以，解得，所以.（2）因?yàn)椋瑢⒋氲仁降贸?，?lián)立，變形得，解得.三、分段函數(shù)常見題型及解題方法1、求函數(shù)值問題：根據(jù)所給自變量值的大小，選擇相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求值，有時(shí)每段交替使用求值。2、解方程或解不等式：分類求出各子區(qū)間上的解，再將它們合并在一起，但要檢驗(yàn)所求是否符合相應(yīng)各段自變量的取值范圍。3、求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后進(jìn)行比較得出最大值、最小值，合并得出值域。4、圖象及其應(yīng)用：根據(jù)每段函數(shù)的定義域和解析式在同一坐標(biāo)系中作出圖象，作圖時(shí)要注意每段圖象端點(diǎn)的虛實(shí)?！镜淅?】（23-24高三上·江蘇連云港·月考）已知函數(shù)則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由且，則.故選：D【典例2】（23-24高三上·廣東深圳·月考）已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，綜上可知，的最大值為.故選：B.【典例3】（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函數(shù)則滿足的的取值范圍是．【答案】【解析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合可得解得．四、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及方法1、比較函數(shù)值的大?。合葘⒆宰兞哭D(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。2、解函數(shù)不等式：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性條件脫去“”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小問題，應(yīng)注意函數(shù)的定義域。3、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（1）視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間上的任意子集區(qū)間上也是單調(diào)的。【典例1】（23-24高三上·天津南開·月考）已知奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】奇函數(shù)在上是減函數(shù)，則，所以，，因?yàn)?，，又，所以，所以，則，故.故選：B【典例2】（23-24高三上·福建福州·月考）已知為定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，則不等式的解集為.【答案】【解析】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，則不等式，不等式化為或，而，于是為或，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，解，得，解，得，所以原不等式的解集為.【典例3】（23-24高三上·全國·月考）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則即為，而圖像的對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增，則，即的增區(qū)間為，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B五、函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用1、判斷函數(shù)的奇偶性：（1）定義法；（2）圖像法；（3）性質(zhì)法。2、利用奇偶性求值：將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解。3、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解解析式中的參數(shù)：根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等行得參數(shù)的方程（組），進(jìn)而求得參數(shù)的值。4、涉及兩個(gè)奇偶函數(shù)的和或差的解析式：求奇偶函數(shù)的解析式需要用代替后，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組求解。【典例1】（23-24高三下·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，則，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，所以將函數(shù)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.【典例2】（23-24高三下·山東聊城·二模）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則.故選：A【典例3】（23-24高三下·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】，得，所以.故選：B.易錯(cuò)點(diǎn)1求復(fù)合函數(shù)定義域時(shí)忽視“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”點(diǎn)撥：在復(fù)合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域，求復(fù)合函數(shù)定義域類型為：1、已知的定義域?yàn)?，求的定義域，其實(shí)質(zhì)是的取值范圍為，求的取值范圍;2、已知的定義域?yàn)?，求的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知中的的取值范圍為，求的范圍（值域），此范圍就是的定義域.3、已知的定義域，求的定義域，要先按（2）求出的定義域.【典例1】（23-24高三上·河南南陽·月考）（1）已知y＝f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)y＝f(x2+1)的定義域；（2）已知y＝f(2x﹣1)的定義域?yàn)閇0,1]，求y＝f(x)的定義域；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意，解得，所以的定義域是；（2）由于中，因此，所以的定義域是．【典例2】（23-24高三上·黑龍江·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：C.易錯(cuò)點(diǎn)2忽略二次型式子中最高項(xiàng)的系數(shù)為0點(diǎn)撥：在二次型函數(shù)中，當(dāng)時(shí)為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)時(shí)為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時(shí)，應(yīng)密切注意項(xiàng)的系數(shù)是否為0，若不能確定，應(yīng)分類討論，另外有關(guān)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對(duì)象?！镜淅?】（23-24高三上·重慶沙坪壩·月考）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，恒成立，當(dāng)時(shí)，即，很顯然不滿足，當(dāng)時(shí)，有，解得.綜上可得，.故選：B【典例2】（23-24高三上·陜西漢中·月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（

）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，得?duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上所述的取值范圍為．故選：C．易錯(cuò)點(diǎn)3判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽視定義域點(diǎn)撥：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果不具備這個(gè)條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，如果對(duì)定義域內(nèi)任意x都有，則為奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)任意x都有，則為偶函數(shù)，如果對(duì)定義域內(nèi)存在使，則不是奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)存在使，則不是偶函數(shù)?！镜淅?】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期中）下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)：令，則，不具有奇偶性，所以不符合題意；B選項(xiàng)：令，則，，所以函數(shù)為奇函數(shù)