專題06 三角函數(shù)的概念與三角公式應(yīng)用（4知識(shí)點(diǎn)+3重難點(diǎn)+7方法技巧+5易錯(cuò)易混）（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)

專題06三角函數(shù)的概念與三角恒等變換（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1任意角與弧度制1、角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類(lèi)：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．這樣，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2、弧度制定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2知識(shí)點(diǎn)2任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線知識(shí)點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.（3）商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).（3）基本關(guān)系式的幾種變形=1\*GB3①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．=2\*GB3②(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.=3\*GB3③sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名改變，符號(hào)看象限函數(shù)名不變，符號(hào)看象限“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的奇、偶是指π/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。知識(shí)點(diǎn)4三角恒等變換公式1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保證tanα，tanβ，tan(α±β)都有意義．2、二倍角公式S2αsin2α＝2sinαcosα；變形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)3、輔助角公式一般地，函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).重難點(diǎn)01sinα，cosα齊次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問(wèn)題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問(wèn)題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧．【典例1】（23-24高三下·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．故選：B．【典例2】（23-24高三下·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋蔬x:D．【典例3】（23-24高三下·廣東·月考）若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.因，則.故選：A重難點(diǎn)02sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．【典例1】（23-24高三下·吉林長(zhǎng)春·三模）已知，且，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所?【典例2】（23-24高三上·山東·開(kāi)學(xué)考試）若，，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】由，，得，而，即，解得，因此，所以.故選：B【典例3】（23-24高三下·湖南岳陽(yáng)·二模）已知，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)①時(shí)，，②時(shí)，，③時(shí)，，此時(shí)④時(shí)，，此時(shí)綜合①②③④，可以排除、,，所以，故選：C.重難點(diǎn)03三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則【注意】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常見(jiàn)方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等．【典例1】（23-24高三下·廣東·二模）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D【典例2】（23-24高三下·重慶·模擬預(yù)測(cè)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A．【典例3】（23-24高三下·河南焦作·月考）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.一、確定角終邊所在象限的方法法1分類(lèi)討論法：利用已知條件寫(xiě)出的范圍（用表示），由此確定的范圍，在對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定所在象限。法2幾何法：先把各象限分為等份，再?gòu)妮S的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四……則原來(lái)是第幾象限的角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即角終邊所在的區(qū)域?！镜淅?】（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·三模）已知，且，則為（

）A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角【答案】C【解析】由，得，則且，又，因此且，是第二象限角，即，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，所以是第一或三象限角.故選：C【典例2】（23-24高三上·廣東廣州·二調(diào)）已知，，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以為第二象限角，即，所以，則的終邊所在象限為所在象限，即的終邊在第一、二、四象限.故選：D.【典例3】（23-24高三上·甘肅天水·月考）設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】為第二象限角，，；當(dāng)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.故選：C.二、扇形的弧長(zhǎng)與面積應(yīng)用1、利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.2、求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.3、在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.【典例1】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·月考）已知扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為，因?yàn)樯刃位￠L(zhǎng)為，圓心角為，可得，可得，由扇形的面積公式，可得.故選：B.【典例2】（23-24高三上·江蘇徐州·月考）已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，所以扇形的面積為，所以，又扇形的周長(zhǎng)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：D.【典例3】（23-24高三下·湖南·一模）出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】顯然為等腰三角形，，則，，又，所以，于是，所以璜身的面積近似為.故選：C三、三角函數(shù)的定義中常見(jiàn)的三種題型及解決辦法1、已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。2、已知角的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問(wèn)題。3、已知角的終邊所在的直線方程（），求角的三角函數(shù)值方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)，求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意的符號(hào)，對(duì)進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫(xiě)出角的三角函數(shù)值?！镜淅?】（23-24高三下·江西·二模）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義得.故選：A.【典例2】（23-24高三下·北京朝陽(yáng)·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角以為頂點(diǎn)，為始邊.將的終邊繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由，，得，所以.故選：D【典例3】（23-24高三下·河南·一模）以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角，其終邊落在直線上，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因角的終邊落在直線上，故或.對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，，則.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.四、對(duì)sinα，cosα，tanα的知一求二問(wèn)題1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通過(guò)平方關(guān)系，與對(duì)稱式sinα±cosα，sinα·cosα建立聯(lián)系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的靈活應(yīng)用3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方關(guān)系求解【典例1】（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）若，且為第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋覟榈谌笙藿?，所以，故，故選：B【典例2】（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，則，故選：A.【典例3】（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知，，則.【答案】【解析】，，，，則.五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟eq\x(\a\al(任意負(fù)角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式一)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”．【典例1】（23-24高三下·河北·三模）已知點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，所以.故選：B.【典例2】（23-24高三下·遼寧·三模）已知，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【解析】，故選：D.【典例3】（23-24高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.六、給值求值問(wèn)題的求解策略1、“給值求值”關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用;②變換待求式，便于將已求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.2、“湊配角”：用已知角和特殊角將所求角表示出來(lái)，例如：等.【典例1】（23-24高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則，．故選：A【典例2】（23-24高三下·山西·三模）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，且，則，可得，，又因?yàn)?，則，且，可得，，所以.故選：D.【典例3】（23-24高三下·貴州貴陽(yáng)·二模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，兩式相除可得，所以.故選：A．七、給值求角問(wèn)題的求解策略“給值求角”實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為“給值求值”.解決此類(lèi)題的關(guān)鍵是：（1）求值：求出所求角的某種三角函數(shù)值.（2）界定范圍：根據(jù)題設(shè)（隱含條件）確定所求角的取值范圍.（3）求角：由所得函數(shù)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及角的取值范圍確定角的大小.【典例1】（23-24高三上·海南·月考）已知，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，則，可知，，則，又因?yàn)?，可得，所?故選：D.【典例2】（23-24高三上·河北廊坊·期中）設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，則．故選：B.【典例3】（23-24高三上·河北石家莊·月考）若，，，，則.【答案】【解析】由，，則，，所以或，，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，又，.故.易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)任意角的理解不到位點(diǎn)撥：根據(jù)任意角的定義，順時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角?！镜淅?】（23-24高三上·云南·月考）從2023年12月14日13∶00到當(dāng)天13∶25，某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榉轴樖前凑枕槙r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的角為負(fù)角，所以分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為.故選：C.【典例2】（23-24高三上·山東德州·開(kāi)學(xué)考試）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．第二象限角比第一象限角大B．60°角與600°角不是終邊相同的角C．正弦函數(shù)y=sinx在第一象限是增函數(shù)D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為【答案】BD【解析】對(duì)于A，分別為第二象限與第一象限的角，但是，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以的終邊與的終邊相同，故角與的終邊不相同，故B正確，對(duì)于C，正弦函數(shù)為周期函數(shù)，，故y=sinx在第一象限是增函數(shù)是錯(cuò)誤的，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為，故選：BD易錯(cuò)點(diǎn)2三角函數(shù)定義中，忽略點(diǎn)坐標(biāo)值的正負(fù)點(diǎn)撥：在應(yīng)用三角函數(shù)定義時(shí)，要注意對(duì)參數(shù)正負(fù)進(jìn)行討論?！镜淅?】（23-24高三下·甘肅·一模）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，所以，所以.故選：C【典例2】（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2【答案】BD【解析】由題意，所以或，所以.故選：BD.易錯(cuò)點(diǎn)3忽略角所在的象限點(diǎn)撥：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求三角函數(shù)值時(shí)，要注意角所在的象限，從而確定三角函數(shù)值