專題07 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合（2知識點(diǎn)+6重難點(diǎn)+7方法技巧+4易錯(cuò)易混）（原卷版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識

專題06三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識點(diǎn)1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無知識點(diǎn)2函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)1、y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期頻率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)2、用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A03、三角函數(shù)的圖象變換由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法重難點(diǎn)01利用三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)1、子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；2、反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；3、周期性法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解?！镜淅?】（23-24高三下·江西宜春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是．【典例2】（23-24高三下·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是.重難點(diǎn)02與函數(shù)零點(diǎn)或方程的根有關(guān)的參數(shù)問題因?yàn)閒(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2πT，也就是說只要確定了周期T，就可以確定ω的取值.對于區(qū)間長度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有k個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長度，一般和周期相關(guān)，若在在區(qū)間至多含有k【典例1】（23-24高三下·河北滄州·月考）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函數(shù)（，）的最小正周期為T，，若在內(nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn)則的取值范圍是．重難點(diǎn)03利用三角函數(shù)的對稱性（奇偶性）求參數(shù)（1）三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個(gè)相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為T2，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為T4，也就是說，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性，進(jìn)而可以研究（2）三角函數(shù)的對稱軸比經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，函數(shù)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn)（零點(diǎn)），也就是說我們可以利用函數(shù)的最值、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期，進(jìn)而可以確定ω的取值.【典例1】（23-24高三下·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·福建漳州·月考）已知函數(shù)（ω＞0），若f（x）在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2條對稱軸，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．重難點(diǎn)04與圖象平移有關(guān)的參數(shù)范圍問題1、平移后與原圖象重合思路1：平移長度即為原函數(shù)周期的整倍數(shù)；思路2：平移前的函數(shù)=平移后的函數(shù).2、平移后與新圖象重合：平移后的函數(shù)=新的函數(shù).3、平移后的函數(shù)與原圖象關(guān)于軸對稱：平移后的函數(shù)為偶函數(shù)；4、平移后的函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于軸對稱：平移前的函數(shù)=平移后的函數(shù)-；5、平移后過定點(diǎn)：將定點(diǎn)坐標(biāo)代入平移后的函數(shù)中?！镜淅?】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【典例2】（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·月考）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，再將使得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（）得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.重難點(diǎn)05根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)若已知三角函數(shù)的最值，則可利用三角函數(shù)的最值與對稱軸或周期的關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，進(jìn)而求解.【典例1】（23-24高三下·浙江·三模）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的取值可以為（

）A．1 B． C． D．【典例2】（23-24高三下·山東濟(jì)寧·三模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．一、三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)圖象來求解．【注意】解三角不等式時(shí)要注意周期，且k∈Z不可以忽略．【典例1】（23-24高三上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·月考）函數(shù)的定義域?yàn)?（用區(qū)間表示結(jié)果）二、三角函數(shù)值域或最值的3種求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函數(shù)，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數(shù)，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值)；3、換元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)【典例1】（23-24高三下·廣東湛江·二模）函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【典例2】（22-23高三上·山東朔州·開學(xué)考）已知函數(shù)，則的最小值為.【典例3】（22-23高三上·廣東深圳·月考）已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例4】（23-24高三下·湘豫聯(lián)考·三模）當(dāng)時(shí)，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．三、求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法1、代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；2、圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦和正切曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，若x的系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫忽視函數(shù)自身的定義域．【典例1】（23-24高三上·湖南衡陽·期末）下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高三下·天津·高考模擬）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．四、與三角函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．常見的結(jié)論有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．【典例1】（23-24高三下·浙江杭州·三模）已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)且為偶函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（23-24高三下·河南信陽·一模）若函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m＝．【典例3】（23-24高三下·湖北黃石·三模）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于軸對稱，不是對稱圖形C．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，的圖象關(guān)于軸對稱五、三角函數(shù)對稱性問題的2種求解方法1、定義法：正(余)弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)；2、公式法：（1）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z【典例1】（23-24高三下·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一個(gè)對稱中心為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的圖像（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于中心對稱 D．關(guān)于中心對稱【典例3】（23-24高三下·安徽·三模）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件六、由圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.【典例1】（23-24高三下·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）A． B． C．0 D．【典例2】（23-24高三下·甘肅酒泉·三模）函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．七、三角函數(shù)圖象的變換函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數(shù)A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數(shù)的圖象變換過程與正弦型函數(shù)的圖象變換過程相同?！镜淅?】（23-24高三下·廣東揭陽·二模）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)最小正周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·浙江·月考）（多選）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度八、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合角度一、圖象性質(zhì)的綜合應(yīng)用方法總結(jié)：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.【典例1】（23-24高三下·陜西銅川·三模）已知函數(shù)，則下列說法中不正確的是（

）A．的最小正周期為B．的最大值為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．【典例2】（23-24高三下·湖北武漢·模擬預(yù)測）（多選）已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．的最小正周期為C．在內(nèi)有3個(gè)極值點(diǎn) D．在區(qū)間上的最大值為角度二：三角函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的問題方法總結(jié)：方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【典例1】（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·江蘇·月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12易錯(cuò)點(diǎn)1忽視正、余弦函數(shù)的有界性點(diǎn)撥：許多三角函數(shù)問題可以通過換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，在換元時(shí)注意正、余弦函數(shù)的有界性．【典例1】（2023高三上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為

．【典例2】（23-24高三上·上海浦東新·月考）函數(shù)的值域?yàn)?易錯(cuò)點(diǎn)2三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤點(diǎn)撥：對于函數(shù)來說，當(dāng)時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)的單調(diào)性來解決；但當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性正好相