2023年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

第第頁2023年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥9，x∈R}，B＝{0，1，e，π}，則（?RA）∩B＝（）A．{0，1，e} B．{0，1，e，π} C．{0，1，π} D．{1，e，π}2．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i，則＝（）A． B． C． D．3．（5分）小明上學(xué)可以乘坐公共汽車，也可以乘坐地鐵．已知小明上學(xué)乘坐公共汽車的概率為0.4，乘坐地鐵的概率為0.6，而且乘坐公共汽車與地鐵時(shí)，小明遲到的概率分別為0.05和0.04，則小明準(zhǔn)時(shí)到校的概率為（）A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.9594．（5分）已知函數(shù)y＝g（x）的圖象與函數(shù)y＝sin2x的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，將g（x）的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，則函數(shù)y＝f（x）在時(shí)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．[0，1]5．（5分）已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2，當(dāng)圓錐母線的長度取最小值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（）A．8π B．16π C． D．6．（5分）已知正數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值與最大值的和為（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）已知等差數(shù)列{an}，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，則不可能的值為（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞2＞b B．b＞2＞a C．a(chǎn)＞b＞2 D．b＞a＞2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知雙曲線，下列對雙曲線C的判斷正確的是（）A．實(shí)軸長是虛軸長的2倍 B．焦距為8 C．離心率為 D．漸近線方程為（多選）10．（5分）為弘揚(yáng)文明、和諧的社區(qū)文化氛圍，更好地服務(wù)社區(qū)群眾，武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”“鄰里互助”兩個(gè)公益服務(wù)項(xiàng)目，其中某個(gè)星期內(nèi)兩個(gè)項(xiàng)目的參與人數(shù)（單位：人）記錄如下：日期項(xiàng)目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日黨員先鋒24272625377672鄰里互助11131111127132143對于該星期內(nèi)的公益服務(wù)情況，下列說法正確的有（）A．“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為52，中位數(shù)為25 B．“鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11，平均數(shù)為64 C．用頻率估計(jì)概率，“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為 D．用頻率估計(jì)概率，“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的概率為（多選）11．（5分）已知直線與拋物線C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)M（﹣1，﹣1）是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．p＝2 B．k＝﹣2 C．MF⊥AB D．（多選）12．（5分）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（）A．BE⊥CD B．BE與平面DCE所成角的余弦值為 C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為 D．四面體ABCD的外接球表面積為9π三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝．14．（5分）（1+x+x2）6展開式中x4的系數(shù)為．15．（5分）函數(shù)f（x）＝|2ex﹣1|﹣2x的最小值為．16．（5分）已知圓O的方程為x2+y2＝1，P是圓C：（x﹣2）2+y2＝16上一點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）武漢熱干面既是中國四大名面之一，也是湖北武漢最出名的小吃之一．某熱干面店鋪連續(xù)10天的銷售情況如下（單位：份）；天數(shù)12345678910套餐一12010014014012070150120110130套餐二809090605090708090100（1）分別求套餐一、套餐二的均值、方差，并判斷兩種套餐銷售的穩(wěn)定情況；（2）假定在連續(xù)10天中每位顧客只購買了一份，根據(jù)圖表內(nèi)容填寫下列2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān)？顧客套餐套餐一套餐二合計(jì)男顧客400女顧客500合計(jì)附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63518．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求△ABC的面積S．19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且對任意n∈N*，都有an+2＝3an+1﹣2an．（1）求證：{an+1﹣an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．20．（12分）如圖，一張邊長為4的正方形紙片ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EF對折后豎立在水平的桌面上．（1）求證：EF⊥AD；（2）若二面角A﹣EF﹣D的平面角為45°，K是線段CF（含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)K，使得直線AK與平面CDEF所成角的正切值為？若存在，求出CK的長度；若不存在，說明理由．21．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B是雙曲線的兩個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA交E于M，直線PB交E于N，證明：直線MN的傾斜角為定值．22．（12分）已知，其中a∈R．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，分別求n＝1和n＝2的f（x）的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝0有唯一實(shí)數(shù)解x＝0；（3）若對任意的x≥0，n∈N*都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

2023年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥9，x∈R}，B＝{0，1，e，π}，則（?RA）∩B＝（）A．{0，1，e} B．{0，1，e，π} C．{0，1，π} D．{1，e，π}【解答】解：∵集合A＝{x|x2≥9，x∈R}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，∴?RA＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{0，1，e，π}，則（?RA）∩B＝{0，1，e}．故選：A．2．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴，∴＝＝＝．故選：D．3．（5分）小明上學(xué)可以乘坐公共汽車，也可以乘坐地鐵．已知小明上學(xué)乘坐公共汽車的概率為0.4，乘坐地鐵的概率為0.6，而且乘坐公共汽車與地鐵時(shí)，小明遲到的概率分別為0.05和0.04，則小明準(zhǔn)時(shí)到校的概率為（）A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959【解答】解：小明上學(xué)乘坐公共汽車準(zhǔn)時(shí)到校的概率為0.4×（1﹣0.05）＝0.38，小明上學(xué)乘坐地鐵準(zhǔn)時(shí)到校的概率為0.6×（1﹣0.04）＝0.576，∴小明準(zhǔn)時(shí)到校的概率為0.38+0.576＝0.956．故選：B．4．（5分）已知函數(shù)y＝g（x）的圖象與函數(shù)y＝sin2x的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，將g（x）的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，則函數(shù)y＝f（x）在時(shí)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．[0，1]【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝g（x）的圖象與函數(shù)y＝sin2x的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，所以y＝g（x）＝sin2（2π﹣x）＝﹣sin2x，將g（x）的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)y＝f（x）＝﹣sin2（x﹣）＝﹣sin（2x﹣）＝﹣sin（2x+﹣π）＝sin（2x+），因?yàn)?，所?x+∈[，]，所以f（x）＝sin（2x+）∈[﹣，1]．故選：C．5．（5分）已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2，當(dāng)圓錐母線的長度取最小值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（）A．8π B．16π C． D．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，高為h，則r＞2，由條件得h＝，∵圓錐的底面圓心到母線的距離為2，則2l＝rh，即h＝，∵l2＝r2+h2，∴，解得l2＝＝，∵r＞2，∴＝﹣（﹣）2+≤，當(dāng)＝，即r＝2時(shí)，l取最小值4，則圓錐的側(cè)面積為πrl＝＝8．故選：C．6．（5分）已知正數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值與最大值的和為（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：因?yàn)閤y≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，又＝x+y+，所以x+y+≤5，即（x+y）2﹣5（x+y）+4≤0，解得，1≤x+y≤4．所以x+y的最大值與最小值的和為5．故選：B．7．（5分）已知等差數(shù)列{an}，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，則不可能的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由題意得，當(dāng)n＝6時(shí)，Sn取得最小值，所以a1＜0，d＞0，a6≤0，若a6＝a1+5d＝0，則＝＝＝4，若a6＝a1+5d＜0，a7＝a1+6d＞0，則﹣6＜＜﹣5，則＝＝＝1+＞4，故選：A．8．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞2＞b B．b＞2＞a C．a(chǎn)＞b＞2 D．b＞a＞2【解答】解：∵a＝log23+log86＝＝＞＝＝，解得a＞2，由6a+8a＝10b，且a＞2，得6a+8a＞36+64＝100，∴b＞2，令f（x）＝6x+8x﹣10x，x＞2，令t＝x﹣2＞0，則x＝t+2，則f（x）＝6x+8x﹣10x，x＞2等價(jià)于g（t）＝36×6t+64×8t﹣100×10t，t＞0，∵g（t）＝36×6t+64×8t﹣100×10t＜100×8t﹣100×8t，∴當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＝6x+8x﹣10x＜0，∴6a+8a＝10b＜10a，∴a＞b＞2．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知雙曲線，下列對雙曲線C的判斷正確的是（）A．實(shí)軸長是虛軸長的2倍 B．焦距為8 C．離心率為 D．漸近線方程為【解答】解：雙曲線，可知實(shí)軸長4，虛軸長4，焦距8，離心率以及漸近線方程x±y＝0，所以B、D正確；故選：BD．（多選）10．（5分）為弘揚(yáng)文明、和諧的社區(qū)文化氛圍，更好地服務(wù)社區(qū)群眾，武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”“鄰里互助”兩個(gè)公益服務(wù)項(xiàng)目，其中某個(gè)星期內(nèi)兩個(gè)項(xiàng)目的參與人數(shù)（單位：人）記錄如下：日期項(xiàng)目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日黨員先鋒24272625377672鄰里互助11131111127132143對于該星期內(nèi)的公益服務(wù)情況，下列說法正確的有（）A．“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為52，中位數(shù)為25 B．“鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11，平均數(shù)為64 C．用頻率估計(jì)概率，“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為 D．用頻率估計(jì)概率，“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的概率為【解答】解：對于A，“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為：76﹣24＝52，中位數(shù)為27，故A錯(cuò)誤；對于B，鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11，平均數(shù)為：（11+13+11+11+127+132+143）＝64，故B正確；對于C，用頻率估計(jì)概率，“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的事件設(shè)為M，則事件M包含的基本事件有四種情況，分別為：“星期二、星期三、星期四”，“星期三、星期四、星期五”，“星期四、星期五、星期六”，“星期五、星期六、星期日”，其中一周內(nèi)連續(xù)三天，有5種情況，分別為：“星期一、星期二、星期三”，“星期二、星期三、星期四”，“星期三、星期四、星期五”，“星期四、星期五、星期六”，“星期五、星期六、星期日”，∴“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為P（M）＝，故C錯(cuò)誤；對于D，用頻率估計(jì)概率，“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的事件設(shè)為N，由B知該項(xiàng)目平均數(shù)為64，則事件N包含的基本事件有2種情況，分別為：”星期五、星期六“，”星期六、星期日“，其中一周內(nèi)連續(xù)2天的情況有6種，分別為：”星期一、星期二“，”星期二、星期三“，”星期三、星期四“，”星期四、星期五“，”星期五、星期六“，”星期六、星期日“，∴“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的概率為的概率為P（N）＝，故D正確．故選：BD．（多選）11．（5分）已知直線與拋物線C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)M（﹣1，﹣1）是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．p＝2 B．k＝﹣2 C．MF⊥AB D．【解答】解：直線l：y＝k（x﹣），恒過（，0），即過拋物線的焦點(diǎn)F，所以拋物準(zhǔn)線方程為x＝﹣，點(diǎn)M（﹣1，﹣1）是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)，M在拋物線的準(zhǔn)線上，所以﹣＝﹣1，解得p＝2，所以A正確，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），直線l整理可得y＝k（x﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，x1x2＝1，x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝﹣4＝﹣4，由題意可得?＝0，即（x1+1，y1+1）?（x2+1，y2+1）＝0，整理可得x1x2+（x1+x2）+1+y1y2+（y1+y2）+1＝0，代入可得1++1﹣4++1＝0，解得：++1＝0，解得k＝﹣2，所以B正確，又kMF＝＝，所以kMF?k＝﹣1，所以MF⊥AB，所以C正確；x1x2＝1，x1+x2＝3，解得x1＝，x2＝，|FA|＝+1，|FB|＝+1，所以＝，故D不正確．故選：ABC．（多選）12．（5分）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（）A．BE⊥CD B．BE與平面DCE所成角的余弦值為 C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為 D．四面體ABCD的外接球表面積為9π【解答】解：由題意得展開圖拼成的幾何體如下圖所求，AB＝CD＝，AD＝BD＝BC＝AC＝2，取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，MN中點(diǎn)O，連接MN，OA，過O作OH⊥CM于H，則OH是內(nèi)切球的半徑，OA是外接球的半徑，∴AM＝CN＝AB＝，CM＝AN＝＝＝，MN＝＝＝，對于A，AN⊥CD，BN⊥CD，AN∩BN＝N，∴CD⊥平面ABN，∵BE?平面ABN，∴BE⊥CD，故A正確；對于B，∵CD?平面ACD，∴平面ABN⊥平面ACD，∴∠BAN是BE與平面DCE所成角，∴cos∠BAN＝＝，故B錯(cuò)誤；對于C，OH＝＝＝，故C正確；對于D，OA2＝AM2+（MN）2＝（）2+（）2＝，∴四面體ABCD的外接球表面積為9π，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝﹣1．【解答】解：∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），得（e﹣x+aex）ln（﹣x）＝（ex+ae﹣x）ln（+x）＝（ex+ae﹣x）ln）＝（ex+ae﹣x）ln＝﹣（ex+ae﹣x）ln（﹣x），則e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x）＝﹣ae﹣x﹣ex，即（a+1）e﹣x+（a+1）ex＝0，即（a+1）（e﹣x+ex）＝0，得a+1＝0，得a＝﹣1．故答案為：﹣1．14．（5分）（1+x+x2）6展開式中x4的系數(shù)為90．【解答】解：（1+x+x2）6＝[1+（x+x2）]6的展開式的通項(xiàng)為C6r（x+x2）r，其中（x+x2）r的展開式的通項(xiàng)為?rkxr+k，則（1+x+x2）6的展開式的通項(xiàng)為C6r?rkxr+k，令r+k＝4，且k≤r≤6，當(dāng)k＝0，r＝4滿足，當(dāng)k＝1，r＝3時(shí)滿足，當(dāng)r＝k＝2時(shí)滿足，故展開式中x4的系數(shù)為C64C40+C63C31+C62C22＝90，故答案為：90．15．（5分）函數(shù)f（x）＝|2ex﹣1|﹣2x的最小值為1．【解答】解：當(dāng)2ex﹣1≥0時(shí)，得ex≥，得x≥ln＝﹣ln2時(shí)，f（x）＝2ex﹣1﹣2x，此時(shí)f′（x）＝2ex﹣2，由f′（x）＞0得x＞0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，由f′（x）＜0得﹣ln2≤x＜0，此時(shí)f（x）為減函數(shù)，即當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取得極小值f（0）＝2﹣1﹣0＝1，當(dāng)x＜ln時(shí)，f（x）＝1﹣2ex﹣2x為減函數(shù)，此時(shí)f（x）＞f（ln）＝1﹣2﹣2ln＝﹣2ln＝2ln2，∵2ln2＞1，∴函數(shù)的最小值為1，故答案為：1．16．（5分）已知圓O的方程為x2+y2＝1，P是圓C：（x﹣2）2+y2＝16上一點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則的取值范圍為[，]．【解答】解：圓O的方程為x2+y2＝1，圓C：（x﹣2）2+y2＝16的圓心C（2，0），半徑r＝4，設(shè)PA與PB的夾角為2α，如圖所示：則|PA|＝|PB|＝，所以f（α）＝?＝|PA|?|PB|?cos2α＝?cos2α＝?cos2α．記cos2α＝u，P在圓C的左頂點(diǎn)時(shí)，sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝，u取得最小值，P在圓C的右頂點(diǎn)時(shí)，sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝，所以μ∈[，]，y＝＝，記t＝1﹣u，則t∈[，]，y＝﹣3+t+，且該函數(shù)在t∈[，]內(nèi)單調(diào)遞減，所以t＝時(shí)，ymax＝﹣3++36＝，t＝時(shí)，ymin＝﹣3++4＝，所以?的取值范圍是[，]．故答案為：[，]．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）武漢熱干面既是中國四大名面之一，也是湖北武漢最出名的小吃之一．某熱干面店鋪連續(xù)10天的銷售情況如下（單位：份）；天數(shù)12345678910套餐一12010014014012070150120110130套餐二809090605090708090100（1）分別求套餐一、套餐二的均值、方差，并判斷兩種套餐銷售的穩(wěn)定情況；（2）假定在連續(xù)10天中每位顧客只購買了一份，根據(jù)圖表內(nèi)容填寫下列2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān)？顧客套餐套餐一套餐二合計(jì)男顧客400女顧客500合計(jì)附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635【解答】解：（1）套餐一：均值為×（120+100+140+140+120+70+150+120+110+130）＝120，方差為×[（120﹣120）2+（100﹣120）2+（140﹣120）2+（140﹣120）2+（120﹣120）2+（70﹣120）2+（150﹣120）2+（120﹣120）2+（110﹣120）2+（130﹣120）2]＝480，套餐二：均值為×（80+90+90+60+50+90+70+80+90+100）＝80，方差為×[（80﹣80）2+（90﹣80）2+（90﹣80）2+（60﹣80）2+（50﹣80）2+（90﹣80）2+（70﹣80）2+（80﹣80）2+（90﹣80）2+（100﹣80）2]＝200，因?yàn)?80＞200，所以套餐二的銷售情況更穩(wěn)定．（2）由（1）知，套餐一的均值為120，套餐二的均值為80，所以10天共銷售套餐一10×120＝1200份，套餐二10×80＝800份，所以購買套餐一的女顧客有1200﹣800＝400人，購買套餐二的男顧客有800﹣500＝300人，補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下所示：顧客套餐套餐一套餐二合計(jì)男顧客400300700女顧客8005001300合計(jì)12008002000所以K2＝≈3.663＜3.841，故沒有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān)．18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求△ABC的面積S．【解答】解：（1）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．利用正弦定理：，由于0＜A、B、C＜π，所以；故A＝；（2）由（1）得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，整理得7＝19﹣3bc，故bc＝4；所以．19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且對任意n∈N*，都有an+2＝3an+1﹣2an．（1）求證：{an+1﹣an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．【解答】（1）證明：由an+2＝3an+1﹣2an，得an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），∵a1＝1，a2＝2，∴a2﹣a1＝1≠0，則，可得{an+1﹣an}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則．∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣2+2n﹣3+...+20+1＝；（2）解：，，，，，，∵＜，，∴使得不等式成立的最大正整數(shù)m＝6．20．（12分）如圖，一張邊長為4的正方形紙片ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EF對折后豎立在水平的桌面上．（1）求證：EF⊥AD；（2）若二面角A﹣EF﹣D的平面角為45°，K是線段CF（含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)K，使得直線AK與平面CDEF所成角的正切值為？若存在，求出CK的長度；若不存在，說明理由．【解答】（1）證明：由已知有EF⊥ED，EF⊥AE，又AE∩ED＝E，AE，ED?平面AED，所以EF⊥平面AED，AD?平面AED，所以EF⊥AD；（2）解：由（1）知EF⊥平面AED，EF?平面EDCF，所以平面EDCF⊥平面AED，在平面AED內(nèi)過E作EM⊥ED，可得EF⊥EM，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EM，ED，EF為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直解坐標(biāo)系，則x軸的方向向量為平面EDCF的法向量，所以平面EDCF的一個(gè)法向量＝（1，0，0），設(shè)CK＝a，則K（0，2﹣a，4），A（，，0），所以＝（﹣，2﹣a﹣，4），設(shè)直線AK與平面CDEF所成角為θ，由已知得tanθ＝，所以sinθ＝，所以＝，解得a＝±﹣2，又0≤a≤2，所