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第第頁2023年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2≥9,x∈R},B={0,1,e,π},則(?RA)∩B=()A.{0,1,e} B.{0,1,e,π} C.{0,1,π} D.{1,e,π}2.(5分)已知復(fù)數(shù)z=1﹣i,則=()A. B. C. D.3.(5分)小明上學(xué)可以乘坐公共汽車,也可以乘坐地鐵.已知小明上學(xué)乘坐公共汽車的概率為0.4,乘坐地鐵的概率為0.6,而且乘坐公共汽車與地鐵時(shí),小明遲到的概率分別為0.05和0.04,則小明準(zhǔn)時(shí)到校的概率為()A.0.954 B.0.956 C.0.958 D.0.9594.(5分)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=sin2x的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,將g(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)y=f(x)在時(shí)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.[0,1]5.(5分)已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2,當(dāng)圓錐母線的長(zhǎng)度取最小值時(shí),圓錐的側(cè)面積為()A.8π B.16π C. D.6.(5分)已知正數(shù)x,y滿足,則x+y的最小值與最大值的和為()A.6 B.5 C.4 D.37.(5分)已知等差數(shù)列{an},Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意的n∈N*,均有S6≤Sn成立,則不可能的值為()A.3 B.4 C.5 D.68.(5分)已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列判斷正確的是()A.a(chǎn)>2>b B.b>2>a C.a(chǎn)>b>2 D.b>a>2二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.(多選)9.(5分)已知雙曲線,下列對(duì)雙曲線C的判斷正確的是()A.實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍 B.焦距為8 C.離心率為 D.漸近線方程為(多選)10.(5分)為弘揚(yáng)文明、和諧的社區(qū)文化氛圍,更好地服務(wù)社區(qū)群眾,武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”“鄰里互助”兩個(gè)公益服務(wù)項(xiàng)目,其中某個(gè)星期內(nèi)兩個(gè)項(xiàng)目的參與人數(shù)(單位:人)記錄如下:日期項(xiàng)目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日黨員先鋒24272625377672鄰里互助11131111127132143對(duì)于該星期內(nèi)的公益服務(wù)情況,下列說法正確的有()A.“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為52,中位數(shù)為25 B.“鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11,平均數(shù)為64 C.用頻率估計(jì)概率,“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為 D.用頻率估計(jì)概率,“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的概率為(多選)11.(5分)已知直線與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上方,點(diǎn)M(﹣1,﹣1)是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.p=2 B.k=﹣2 C.MF⊥AB D.(多選)12.(5分)已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示,其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形,B,C分別為AE,F(xiàn)D的中點(diǎn),,則在該四面體中()A.BE⊥CD B.BE與平面DCE所成角的余弦值為 C.四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為 D.四面體ABCD的外接球表面積為9π三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(5分)已知函數(shù)是偶函數(shù),則a=.14.(5分)(1+x+x2)6展開式中x4的系數(shù)為.15.(5分)函數(shù)f(x)=|2ex﹣1|﹣2x的最小值為.16.(5分)已知圓O的方程為x2+y2=1,P是圓C:(x﹣2)2+y2=16上一點(diǎn),過P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,則的取值范圍為.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)武漢熱干面既是中國四大名面之一,也是湖北武漢最出名的小吃之一.某熱干面店鋪連續(xù)10天的銷售情況如下(單位:份);天數(shù)12345678910套餐一12010014014012070150120110130套餐二809090605090708090100(1)分別求套餐一、套餐二的均值、方差,并判斷兩種套餐銷售的穩(wěn)定情況;(2)假定在連續(xù)10天中每位顧客只購買了一份,根據(jù)圖表內(nèi)容填寫下列2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān)?顧客套餐套餐一套餐二合計(jì)男顧客400女顧客500合計(jì)附:P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63518.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求A;(2)若,求△ABC的面積S.19.(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且對(duì)任意n∈N*,都有an+2=3an+1﹣2an.(1)求證:{an+1﹣an}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m.20.(12分)如圖,一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點(diǎn),將正方形紙片沿EF對(duì)折后豎立在水平的桌面上.(1)求證:EF⊥AD;(2)若二面角A﹣EF﹣D的平面角為45°,K是線段CF(含端點(diǎn))上一點(diǎn),問是否存在點(diǎn)K,使得直線AK與平面CDEF所成角的正切值為?若存在,求出CK的長(zhǎng)度;若不存在,說明理由.21.(12分)已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點(diǎn)A,B是雙曲線的兩個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA交E于M,直線PB交E于N,證明:直線MN的傾斜角為定值.22.(12分)已知,其中a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),分別求n=1和n=2的f(x)的單調(diào)性;(2)求證:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=0有唯一實(shí)數(shù)解x=0;(3)若對(duì)任意的x≥0,n∈N*都有f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
2023年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2≥9,x∈R},B={0,1,e,π},則(?RA)∩B=()A.{0,1,e} B.{0,1,e,π} C.{0,1,π} D.{1,e,π}【解答】解:∵集合A={x|x2≥9,x∈R}={x|x≥3或x≤﹣3},∴?RA={x|﹣3<x<3},B={0,1,e,π},則(?RA)∩B={0,1,e}.故選:A.2.(5分)已知復(fù)數(shù)z=1﹣i,則=()A. B. C. D.【解答】解:∵z=1﹣i,∴,∴===.故選:D.3.(5分)小明上學(xué)可以乘坐公共汽車,也可以乘坐地鐵.已知小明上學(xué)乘坐公共汽車的概率為0.4,乘坐地鐵的概率為0.6,而且乘坐公共汽車與地鐵時(shí),小明遲到的概率分別為0.05和0.04,則小明準(zhǔn)時(shí)到校的概率為()A.0.954 B.0.956 C.0.958 D.0.959【解答】解:小明上學(xué)乘坐公共汽車準(zhǔn)時(shí)到校的概率為0.4×(1﹣0.05)=0.38,小明上學(xué)乘坐地鐵準(zhǔn)時(shí)到校的概率為0.6×(1﹣0.04)=0.576,∴小明準(zhǔn)時(shí)到校的概率為0.38+0.576=0.956.故選:B.4.(5分)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=sin2x的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,將g(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)y=f(x)在時(shí)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.[0,1]【解答】解:因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=sin2x的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,所以y=g(x)=sin2(2π﹣x)=﹣sin2x,將g(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=f(x)=﹣sin2(x﹣)=﹣sin(2x﹣)=﹣sin(2x+﹣π)=sin(2x+),因?yàn)?,所?x+∈[,],所以f(x)=sin(2x+)∈[﹣,1].故選:C.5.(5分)已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2,當(dāng)圓錐母線的長(zhǎng)度取最小值時(shí),圓錐的側(cè)面積為()A.8π B.16π C. D.【解答】解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線為l,高為h,則r>2,由條件得h=,∵圓錐的底面圓心到母線的距離為2,則2l=rh,即h=,∵l2=r2+h2,∴,解得l2==,∵r>2,∴=﹣(﹣)2+≤,當(dāng)=,即r=2時(shí),l取最小值4,則圓錐的側(cè)面積為πrl==8.故選:C.6.(5分)已知正數(shù)x,y滿足,則x+y的最小值與最大值的和為()A.6 B.5 C.4 D.3【解答】解:因?yàn)閤y≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào),所以,所以,又=x+y+,所以x+y+≤5,即(x+y)2﹣5(x+y)+4≤0,解得,1≤x+y≤4.所以x+y的最大值與最小值的和為5.故選:B.7.(5分)已知等差數(shù)列{an},Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意的n∈N*,均有S6≤Sn成立,則不可能的值為()A.3 B.4 C.5 D.6【解答】解:由題意得,當(dāng)n=6時(shí),Sn取得最小值,所以a1<0,d>0,a6≤0,若a6=a1+5d=0,則===4,若a6=a1+5d<0,a7=a1+6d>0,則﹣6<<﹣5,則===1+>4,故選:A.8.(5分)已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列判斷正確的是()A.a(chǎn)>2>b B.b>2>a C.a(chǎn)>b>2 D.b>a>2【解答】解:∵a=log23+log86==>==,解得a>2,由6a+8a=10b,且a>2,得6a+8a>36+64=100,∴b>2,令f(x)=6x+8x﹣10x,x>2,令t=x﹣2>0,則x=t+2,則f(x)=6x+8x﹣10x,x>2等價(jià)于g(t)=36×6t+64×8t﹣100×10t,t>0,∵g(t)=36×6t+64×8t﹣100×10t<100×8t﹣100×8t,∴當(dāng)x>2時(shí),f(x)=6x+8x﹣10x<0,∴6a+8a=10b<10a,∴a>b>2.故選:C.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.(多選)9.(5分)已知雙曲線,下列對(duì)雙曲線C的判斷正確的是()A.實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍 B.焦距為8 C.離心率為 D.漸近線方程為【解答】解:雙曲線,可知實(shí)軸長(zhǎng)4,虛軸長(zhǎng)4,焦距8,離心率以及漸近線方程x±y=0,所以B、D正確;故選:BD.(多選)10.(5分)為弘揚(yáng)文明、和諧的社區(qū)文化氛圍,更好地服務(wù)社區(qū)群眾,武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”“鄰里互助”兩個(gè)公益服務(wù)項(xiàng)目,其中某個(gè)星期內(nèi)兩個(gè)項(xiàng)目的參與人數(shù)(單位:人)記錄如下:日期項(xiàng)目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日黨員先鋒24272625377672鄰里互助11131111127132143對(duì)于該星期內(nèi)的公益服務(wù)情況,下列說法正確的有()A.“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為52,中位數(shù)為25 B.“鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11,平均數(shù)為64 C.用頻率估計(jì)概率,“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為 D.用頻率估計(jì)概率,“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的概率為【解答】解:對(duì)于A,“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為:76﹣24=52,中位數(shù)為27,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11,平均數(shù)為:(11+13+11+11+127+132+143)=64,故B正確;對(duì)于C,用頻率估計(jì)概率,“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的事件設(shè)為M,則事件M包含的基本事件有四種情況,分別為:“星期二、星期三、星期四”,“星期三、星期四、星期五”,“星期四、星期五、星期六”,“星期五、星期六、星期日”,其中一周內(nèi)連續(xù)三天,有5種情況,分別為:“星期一、星期二、星期三”,“星期二、星期三、星期四”,“星期三、星期四、星期五”,“星期四、星期五、星期六”,“星期五、星期六、星期日”,∴“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為P(M)=,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,用頻率估計(jì)概率,“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的事件設(shè)為N,由B知該項(xiàng)目平均數(shù)為64,則事件N包含的基本事件有2種情況,分別為:”星期五、星期六“,”星期六、星期日“,其中一周內(nèi)連續(xù)2天的情況有6種,分別為:”星期一、星期二“,”星期二、星期三“,”星期三、星期四“,”星期四、星期五“,”星期五、星期六“,”星期六、星期日“,∴“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項(xiàng)目平均數(shù)的概率為的概率為P(N)=,故D正確.故選:BD.(多選)11.(5分)已知直線與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上方,點(diǎn)M(﹣1,﹣1)是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.p=2 B.k=﹣2 C.MF⊥AB D.【解答】解:直線l:y=k(x﹣),恒過(,0),即過拋物線的焦點(diǎn)F,所以拋物準(zhǔn)線方程為x=﹣,點(diǎn)M(﹣1,﹣1)是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn),M在拋物線的準(zhǔn)線上,所以﹣=﹣1,解得p=2,所以A正確,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),直線l整理可得y=k(x﹣1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線的方程,整理可得:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,x1x2=1,x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2﹣2)=,y1y2=﹣4=﹣4,由題意可得?=0,即(x1+1,y1+1)?(x2+1,y2+1)=0,整理可得x1x2+(x1+x2)+1+y1y2+(y1+y2)+1=0,代入可得1++1﹣4++1=0,解得:++1=0,解得k=﹣2,所以B正確,又kMF==,所以kMF?k=﹣1,所以MF⊥AB,所以C正確;x1x2=1,x1+x2=3,解得x1=,x2=,|FA|=+1,|FB|=+1,所以=,故D不正確.故選:ABC.(多選)12.(5分)已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示,其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形,B,C分別為AE,F(xiàn)D的中點(diǎn),,則在該四面體中()A.BE⊥CD B.BE與平面DCE所成角的余弦值為 C.四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為 D.四面體ABCD的外接球表面積為9π【解答】解:由題意得展開圖拼成的幾何體如下圖所求,AB=CD=,AD=BD=BC=AC=2,取AB中點(diǎn)M,CD中點(diǎn)N,MN中點(diǎn)O,連接MN,OA,過O作OH⊥CM于H,則OH是內(nèi)切球的半徑,OA是外接球的半徑,∴AM=CN=AB=,CM=AN===,MN===,對(duì)于A,AN⊥CD,BN⊥CD,AN∩BN=N,∴CD⊥平面ABN,∵BE?平面ABN,∴BE⊥CD,故A正確;對(duì)于B,∵CD?平面ACD,∴平面ABN⊥平面ACD,∴∠BAN是BE與平面DCE所成角,∴cos∠BAN==,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,OH===,故C正確;對(duì)于D,OA2=AM2+(MN)2=()2+()2=,∴四面體ABCD的外接球表面積為9π,故D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(5分)已知函數(shù)是偶函數(shù),則a=﹣1.【解答】解:∵f(x)是偶函數(shù),∴f(﹣x)=f(x),得(e﹣x+aex)ln(﹣x)=(ex+ae﹣x)ln(+x)=(ex+ae﹣x)ln)=(ex+ae﹣x)ln=﹣(ex+ae﹣x)ln(﹣x),則e﹣x+aex=﹣(ex+ae﹣x)=﹣ae﹣x﹣ex,即(a+1)e﹣x+(a+1)ex=0,即(a+1)(e﹣x+ex)=0,得a+1=0,得a=﹣1.故答案為:﹣1.14.(5分)(1+x+x2)6展開式中x4的系數(shù)為90.【解答】解:(1+x+x2)6=[1+(x+x2)]6的展開式的通項(xiàng)為C6r(x+x2)r,其中(x+x2)r的展開式的通項(xiàng)為?rkxr+k,則(1+x+x2)6的展開式的通項(xiàng)為C6r?rkxr+k,令r+k=4,且k≤r≤6,當(dāng)k=0,r=4滿足,當(dāng)k=1,r=3時(shí)滿足,當(dāng)r=k=2時(shí)滿足,故展開式中x4的系數(shù)為C64C40+C63C31+C62C22=90,故答案為:90.15.(5分)函數(shù)f(x)=|2ex﹣1|﹣2x的最小值為1.【解答】解:當(dāng)2ex﹣1≥0時(shí),得ex≥,得x≥ln=﹣ln2時(shí),f(x)=2ex﹣1﹣2x,此時(shí)f′(x)=2ex﹣2,由f′(x)>0得x>0,此時(shí)f(x)為增函數(shù),由f′(x)<0得﹣ln2≤x<0,此時(shí)f(x)為減函數(shù),即當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極小值f(0)=2﹣1﹣0=1,當(dāng)x<ln時(shí),f(x)=1﹣2ex﹣2x為減函數(shù),此時(shí)f(x)>f(ln)=1﹣2﹣2ln=﹣2ln=2ln2,∵2ln2>1,∴函數(shù)的最小值為1,故答案為:1.16.(5分)已知圓O的方程為x2+y2=1,P是圓C:(x﹣2)2+y2=16上一點(diǎn),過P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,則的取值范圍為[,].【解答】解:圓O的方程為x2+y2=1,圓C:(x﹣2)2+y2=16的圓心C(2,0),半徑r=4,設(shè)PA與PB的夾角為2α,如圖所示:則|PA|=|PB|=,所以f(α)=?=|PA|?|PB|?cos2α=?cos2α=?cos2α.記cos2α=u,P在圓C的左頂點(diǎn)時(shí),sinα=,所以cos2α=1﹣2sin2α=,u取得最小值,P在圓C的右頂點(diǎn)時(shí),sinα=,所以cos2α=1﹣2sin2α=,所以μ∈[,],y==,記t=1﹣u,則t∈[,],y=﹣3+t+,且該函數(shù)在t∈[,]內(nèi)單調(diào)遞減,所以t=時(shí),ymax=﹣3++36=,t=時(shí),ymin=﹣3++4=,所以?的取值范圍是[,].故答案為:[,].四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)武漢熱干面既是中國四大名面之一,也是湖北武漢最出名的小吃之一.某熱干面店鋪連續(xù)10天的銷售情況如下(單位:份);天數(shù)12345678910套餐一12010014014012070150120110130套餐二809090605090708090100(1)分別求套餐一、套餐二的均值、方差,并判斷兩種套餐銷售的穩(wěn)定情況;(2)假定在連續(xù)10天中每位顧客只購買了一份,根據(jù)圖表內(nèi)容填寫下列2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān)?顧客套餐套餐一套餐二合計(jì)男顧客400女顧客500合計(jì)附:P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635【解答】解:(1)套餐一:均值為×(120+100+140+140+120+70+150+120+110+130)=120,方差為×[(120﹣120)2+(100﹣120)2+(140﹣120)2+(140﹣120)2+(120﹣120)2+(70﹣120)2+(150﹣120)2+(120﹣120)2+(110﹣120)2+(130﹣120)2]=480,套餐二:均值為×(80+90+90+60+50+90+70+80+90+100)=80,方差為×[(80﹣80)2+(90﹣80)2+(90﹣80)2+(60﹣80)2+(50﹣80)2+(90﹣80)2+(70﹣80)2+(80﹣80)2+(90﹣80)2+(100﹣80)2]=200,因?yàn)?80>200,所以套餐二的銷售情況更穩(wěn)定.(2)由(1)知,套餐一的均值為120,套餐二的均值為80,所以10天共銷售套餐一10×120=1200份,套餐二10×80=800份,所以購買套餐一的女顧客有1200﹣800=400人,購買套餐二的男顧客有800﹣500=300人,補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下所示:顧客套餐套餐一套餐二合計(jì)男顧客400300700女顧客8005001300合計(jì)12008002000所以K2=≈3.663<3.841,故沒有95%的把握認(rèn)定顧客性別與套餐選擇有關(guān).18.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求A;(2)若,求△ABC的面積S.【解答】解:(1)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.利用正弦定理:,由于0<A、B、C<π,所以;故A=;(2)由(1)得:a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc,整理得7=19﹣3bc,故bc=4;所以.19.(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且對(duì)任意n∈N*,都有an+2=3an+1﹣2an.(1)求證:{an+1﹣an}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m.【解答】(1)證明:由an+2=3an+1﹣2an,得an+2﹣an+1=2(an+1﹣an),∵a1=1,a2=2,∴a2﹣a1=1≠0,則,可得{an+1﹣an}是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,則.∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+...+(a2﹣a1)+a1=2n﹣2+2n﹣3+...+20+1=;(2)解:,,,,,,∵<,,∴使得不等式成立的最大正整數(shù)m=6.20.(12分)如圖,一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點(diǎn),將正方形紙片沿EF對(duì)折后豎立在水平的桌面上.(1)求證:EF⊥AD;(2)若二面角A﹣EF﹣D的平面角為45°,K是線段CF(含端點(diǎn))上一點(diǎn),問是否存在點(diǎn)K,使得直線AK與平面CDEF所成角的正切值為?若存在,求出CK的長(zhǎng)度;若不存在,說明理由.【解答】(1)證明:由已知有EF⊥ED,EF⊥AE,又AE∩ED=E,AE,ED?平面AED,所以EF⊥平面AED,AD?平面AED,所以EF⊥AD;(2)解:由(1)知EF⊥平面AED,EF?平面EDCF,所以平面EDCF⊥平面AED,在平面AED內(nèi)過E作EM⊥ED,可得EF⊥EM,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EM,ED,EF為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直解坐標(biāo)系,則x軸的方向向量為平面EDCF的法向量,所以平面EDCF的一個(gè)法向量=(1,0,0),設(shè)CK=a,則K(0,2﹣a,4),A(,,0),所以=(﹣,2﹣a﹣,4),設(shè)直線AK與平面CDEF所成角為θ,由已知得tanθ=,所以sinθ=,所以=,解得a=±﹣2,又0≤a≤2,所
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