串講03 直線的方程（考點(diǎn)串講）（解析版）

串講03直線的方程知識(shí)結(jié)構(gòu)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一傾斜角定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向__上__方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．規(guī)定當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為_(kāi)_0°__.圖示范圍0°≤α<180°作用(1)用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的__傾斜程度__(2)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的__傾斜角__，二者缺一不可知識(shí)點(diǎn)二斜率(傾斜角為α)定義α≠90°一條直線的傾斜角α的__正切值__叫做這條直線的斜率α＝90°斜率不存在記法斜率k＝tanα范圍__R__公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率為k＝__eq\f(y2－y1,x2－x1)__作用用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度知識(shí)點(diǎn)三直線的點(diǎn)斜式方程(1)定義：如下圖所示，直線l過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為k，則把方程__y－y0＝k(x－x0)__叫做直線l的點(diǎn)斜式方程．(2)說(shuō)明：如下圖所示，過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角是90°的直線沒(méi)有點(diǎn)斜式，其方程為_(kāi)_x＝x0__．知識(shí)點(diǎn)四直線的斜截式方程(1)定義：如下圖所示，直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，則方程__y＝kx＋b__叫做直線l的斜截式方程．(2)說(shuō)明：一條直線與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的__截距__.傾斜角是__90°__的直線沒(méi)有斜截式方程．強(qiáng)調(diào)：(1)截距是坐標(biāo)，它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，還可能是0，不能將其理解為“距離”．(2)并不是每條直線都有橫截距和縱截距，如直線x＝1沒(méi)有縱截距，直線y＝2沒(méi)有橫截距．知識(shí)點(diǎn)五直線的一般式方程關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的__一般式方程__，簡(jiǎn)稱一般式．思考1：平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？提示：都可以，原因如下：(1)若直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程．(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0.題型探究：考點(diǎn)一直線的傾斜角和斜率例1.給出下列命題：①任何一條直線都有惟一的傾斜角；②一條直線的傾斜角可以為－30°；③傾斜角為0°的直線只有一條，即x軸；④按照傾斜角的概念，直線傾斜角的集合{α|0°≤α<180°}與直線構(gòu)成的集合建立了一一映射關(guān)系．正確命題的個(gè)數(shù)(A)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】由傾斜角α∈[0°，180°)知②錯(cuò)；又平行于x軸的直線的傾斜角是0°，這樣的直線有無(wú)數(shù)條，故③④錯(cuò)；只有①是正確的．例2.若直線l過(guò)兩點(diǎn)和，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】不與軸垂直的直線斜率與傾斜角的關(guān)系,根據(jù)正切值求即可.【詳解】該直線不與軸垂直，設(shè)傾斜角為，斜率,.故選：B例3．已知兩點(diǎn)，所在直線的斜率為，則.【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)，所在直線的斜率為，所以，解得.故答案為：【歸納提升】(1)對(duì)求斜率的兩個(gè)公式注意其應(yīng)用的條件，必要時(shí)應(yīng)分類討論；(2)當(dāng)直線繞定點(diǎn)由與x軸平行(或重合)位置按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與y軸平行(或重合)時(shí)，斜率由0逐漸增大到＋∞；按順時(shí)針?lè)较驎r(shí)，斜率由0逐漸減小到－∞，這種方法即可定性分析傾斜角與斜率的關(guān)系，也可以定量求解斜率和傾斜角的取值范圍．【變式】1.圖中能表示直線的傾斜角的是（

）A．①④ B．①② C．①③ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)直線的傾斜角的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)傾斜角的定義可知圖①中的為直線的傾斜角，圖③中的的對(duì)頂角為直線的傾斜角，圖②中的的補(bǔ)角為直線的傾斜角，圖④中的為直線的傾斜角.故符合題意的只有①③.故選：C2.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)條件可知直線垂直軸，即可得傾斜角大?。驹斀狻俊咧本€經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，∴直線垂直軸，故傾斜角為．故選：C．3.已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則它的斜率為．【答案】/【分析】由斜率公式計(jì)算可得直線的斜率.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，所以它的斜率為.故答案為：.考點(diǎn)二直線的點(diǎn)斜式方程例4.求滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程：(1)過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，且與x軸平行；(3)過(guò)P(－2,3)、Q(5，－4)兩點(diǎn)．【解析】(1)∵直線過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，斜率k＝－3，由直線方程的點(diǎn)斜式得直線方程為y－3＝－3(x＋4)．(2)與x軸平行的直線，其斜率k＝0，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線方程為y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0．(3)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)、Q(5，－4)的直線的斜率kPQ＝eq\f(－4－3,5－－2)＝eq\f(－7,7)＝－1．又∵直線過(guò)點(diǎn)P(－2,3)，∴直線的點(diǎn)斜式方程為y－3＝－(x＋2)．例5．過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為()A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由兩點(diǎn)，可得過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，又由直線的點(diǎn)斜式方程，可得，即.故選：B.【歸納提升】求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0、y0)→定斜率k→寫(xiě)出方程y－y0＝k(x－x0)．點(diǎn)斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示過(guò)點(diǎn)P(x0、y0)的所有直線，但x＝x0除外．【變式】過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】由傾斜角為知，直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，化簡(jiǎn)得.故選：C.考點(diǎn)三直線的斜截式方程例6.寫(xiě)出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是3，在y軸上的截距是－3；(2)傾斜角是60°，在y軸上的截距是5；(3)傾斜角是150°，在y軸上的截距是0．【解析】(1)y＝3x－3．(2)∵k＝tan60°＝eq\r(3)，∴y＝eq\r(3)x＋5．(3)∵k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，∴y＝－eq\f(\r(3),3)x．【歸納提升】斜截式是點(diǎn)斜式的特例，應(yīng)用斜截式方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情形．當(dāng)k≠0時(shí)，斜截式方程y＝kx＋b是一次函數(shù)的形式；而一次函數(shù)y＝kx＋b中，k是直線的斜率，常數(shù)b是直線在y軸上的截距．【變式探究】1．直線的斜率和在y軸上的截距分別是()A．，3

B．3，

C．，

D．3，3【答案】A【詳解】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可知斜率為-2，縱截距為3故選：A考點(diǎn)四直線的一般式方程例7．根據(jù)下列各條件寫(xiě)出直線的方程，并化成一般式．①斜率是－eq\f(1,2)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，－6)的直線方程為_(kāi)_x＋2y＋4＝0__；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(3，－2)，P2(5，－4)的直線方程為_(kāi)_x＋y－1＝0__.[歸納提升]直線的一般式方程的特征．求直線方程時(shí)，要求將方程化為一般式方程，其形式一般作如下設(shè)定：x的系數(shù)為正；系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；一般按含x項(xiàng)、含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)的順序排列．例8．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出斜率，進(jìn)而可得傾斜角【詳解】由直線得故直線的斜率為，又傾斜角范圍為，所以傾斜角為．故選：A．【變式探究】1.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線一般式方程是．【答案】【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，可得，即，所以所求直線的方程為.故答案為：.2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線的一般式方程為．【答案】考點(diǎn)五直線的一般式方程的應(yīng)用例9.設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直線l在x軸上的截距為－3，求m的值；(2)已知直線l的斜率為1，求m的值．[解析](1)由題意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝eq\f(2m－6,m2－2m－3)，∴eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq\f(5,3)或m＝3(舍去)．∴m＝－eq\f(5,3).(2)由題意知，2m2＋m－1≠0，即m≠eq\f(1,2)且m≠－1.由直線l化為斜截式方程得y＝eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq\f(6－2m,2m2＋m－1)，則eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.[規(guī)律方法]含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．【變式探究】1.若三點(diǎn)共線，則a＝．【答案】4【分析】利用斜率相等建立方程即可求解.【詳解】三點(diǎn)共線，則，即＝，即，∴.故答案為：4.2．已知在過(guò)和的直線上，則的值是【答案】【分析】由題意，，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)樵谶^(guò)和的直線上，所以，即，解得，故答案為：.素養(yǎng)作業(yè)1.已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由，又直線的傾斜角，故.故選：C2.若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則l的斜率為.【答案】3【分析】根據(jù)直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以直線的斜率，故答案為：3.3.過(guò)點(diǎn)且傾斜角為150°的直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)傾斜角求出直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】依題意，直線l的斜率，故直線l的方程為，即，故選：B.4.直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，斜率為，所以直線的方程為，即.故選：D.5．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用直線方程的兩點(diǎn)式公式求解即可【詳解】由已知得直線的兩點(diǎn)式方程為，即．故選：D6．已知三點(diǎn)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】6【分析】依題意可得，根據(jù)斜率公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得；故答案為：7.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線的斜率為．【答案】/【分析】由兩點(diǎn)連線斜率公式可直接求得結(jié)果.【詳解】由題意知：直線斜率.故答案為：.8．已知直線的傾斜角，且過(guò)點(diǎn)，則該直線的方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線的傾斜角求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，化為一般式方程．【詳解】解：直線的傾斜角，所以直線的斜率為又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，．故答案為：．9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l的點(diǎn)斜式方程為.【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程的定義即可.【詳解】根據(jù)點(diǎn)斜式方程的定義，，即；故答案為：.10．直線的傾斜角為．【答案】【分析】利用斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意得該直線的斜率為，故其傾斜角為．故答案為：11．三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，求直線和直線的方程．【答案】：；：.【分析】首先求出斜率，再由斜截式求出直線方程，最后再化為一般式.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以直線的方程為，即；直線的方程為，即.12.由下列各條件，寫(xiě)出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是；(4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)；(5)在x軸上的截距是，傾斜角是；(6)傾斜角為，與y軸的