2000-2014考研數二真題及解析

2000年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1)(2)設函數由方程所確定，則(3)(4)曲線的斜漸近線方程為(5)設，為4階單位矩陣，且則.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1)設函數在內連續(xù)，且則常數滿足()(A)(B)(C)(D)(2)設函數滿足關系式，且，則()(A)是的極大值.(B)是的極小值.(C)點是曲線的拐點.(D)不是的極值，點也不是曲線的拐點.(3)設是大于零的可導函數，且則當時，有()(A)(B)(C)(D)(4)若，則為()(A)0.(B)6.(C)36.(D).(5)具有特解的3階常系數齊次線性微分方程是()(A)(B)(C)(D)三、(本題滿分5分)設，計算.四、(本題滿分5分)設平面上有正方形及直線.若表示正方形位于直線左下方部分的面積，試求.五、(本題滿分5分)求函數在處的階導數.六、(本題滿分6分)設函數，(1)當為正整數，且時，證明；(2)求.七、(本題滿分7分)某湖泊的水量為，每年排入湖泊內含污染物的污水量為，流入湖泊內不含的水量為，流出湖泊的水量為，已知1999年底湖中的含量為，超過國家規(guī)定指標.為了治理污染，從2000年初起，限定排入湖泊中含污水的濃度不超過.問至多需要經過多少年，湖泊中污染物的含量降至以內(注：設湖水中的濃度是均勻的)八、(本題滿分6分)設函數在上連續(xù)，且，試證明：在內至少存在兩個不同的點，使九、(本題滿分7分)已知是周期為5的連續(xù)函數，它在的某個鄰域內滿足關系式其中是當時比高階的無窮小，且在處可導，求曲線在點處的切線方程.十、(本題滿分8分)設曲線與交于點，過坐標原點和點的直線與曲線圍成一平面圖形.問為何值時，該圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體體積最大？最大體積是多少？十一、(本題滿分8分)函數在上可導，且滿足等式(1)求導數；(2)證明：當時，成立不等式成立十二、(本題滿分6分)設.其中是的轉置，求解方程十三、(本題滿7分)已知向量組與向量組具有相同的秩，且可由線性表出，求的值.2000年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】(2)設函數由方程所確定，則【答案】【詳解】方法1：對方程兩邊求微分，有由所給方程知，當時.將，代入上式，有.所以，.方法2：兩邊對求導數，視為該方程確定的函數，有當時，以此代入，得，所以.(3)【答案】【詳解】由于被積函數在處沒有定義，則該積分為廣義積分.對于廣義積分，可以先按照不定積分計算，再對其求極限即可.作積分變量替換，令(4)【答案】【公式】為的斜漸近線的計算公式：【詳解】所以，方向有斜漸近線.當時，類似地有斜漸近線.總之，曲線的斜漸近線方程為.(5)【答案】【詳解】先求出然后帶入數值，由于，所以二、選擇題(1)【答案】D【詳解】排除法：如果，則在內的分母必有零點，從而在處不連續(xù)，與題設不符.不選，若，則無論還是均有與題設矛盾，不選和.故選.(2)【答案】C【定理應用】判斷極值的第二充分條件：設函數在出具有二階導數且，，那么：(1)當時，函數在處取得極大值；(2)當時，函數在處取得極小值；【詳解】令等式中，得，無法利用判斷極值的第二充分條件，故無法判斷是否為極值或拐點.再求導數(因為下式右邊存在，所以左邊也存在)：以代入，有，所以.從而知，存在去心鄰域，在此去心鄰域內，與同號，于是推知在此去心鄰域內當時曲線是凸的，在此去心臨域內時曲線是凹的，點是曲線的拐點，選(C).(3)【答案】A【分析】由選項答案可知需要利用單調性證明，關鍵在于尋找待證的函數.題設中已知想到設函數為相除的形式.【詳解】設，則則在時單調遞減，所以對，，即得，為正確選項.(4)【答案】【分析】本題有多種解法：(1)將含有的要求極限的表達式湊成已知極限的表達式，或反之；(2)利用極限與無窮小的關系，從已知極限中解出代入要求極限式中；(3)將具體函數用佩亞諾余項泰勒公式展開化簡原極限.【詳解】方法1：湊成已知極限而(由于)所以方法2：由極限與無窮小關系，由已知極限式解出，從而所以方法3：將在處按佩亞諾余項泰勒公式展開至項：于是從而(5)【答案】B【詳解】由特解，對照常系數線性齊次微分方程的特征方程、特征根與解的對應關系知道，為特征方程的二重根；由可知為特征方程的單根，因此特征方程為由常系數齊次線性微分方程與特征方程的關系，得該微分方程為三【詳解】方法1：為了求不定積分，首先需要寫出的表達式.為此，令，有分部積分拆項方法2：作積分變量替換，命，分部積分部分分式求和四S(t)S(t)x+y=tO11111當時，圖形為三角形，利用三角形的面積公式：；當時，圖形面積可由正方形面積減去小三角形面積，其中由于與交點的縱坐標為，于是，小三角形的邊長為：，所以；當時，圖形面積就是正方形的面積：，則當時，當時，當時，因此五【詳解】方法1：按萊布尼茨高階導數公式：為了求的階導數，設，；；；一般地，可得即設，，利用上述公式對函數展開，由于對求導，從三階導數開始就為零，故展開式中只含有前三項.代入，得：方法2：帶佩亞諾余項的麥克勞林公式：求可以通過先求的的麥克勞林展開式，則展開式中項的系數與的乘積就是在點處的階導數值.由麥克勞林公式，所以對照麥克勞林公式從而推知得六【詳解】因為，且，所以定積分的性質又因為具有周期，所以在長度為的積分區(qū)間上的積分值均相等：，從而所以所以即(2)由(1)有，當時，命取極限，，由夾逼定理，得.七【詳解】設從2000年初(相應)開始，第年湖泊中污染物的總量為，濃度為，則在時間間隔內，排入湖泊中的量為：，流出湖泊的水中的量為.因而時間從到相應地湖泊中污染物的改變量為：.由分離變量法求解：兩邊求積分：初始條件為，代入初始條件得.于是，要滿足污染物的含量可降至內，命，得.即至多需經過年，湖泊中A的含量降至以內.八【證明】方法1：令，有由題設有.又由題設，用分部積分，有由積分中值定理知，存在使因為，，所以推知存在使得.再在區(qū)間與上對用羅爾定理，推知存在，使，即方法2：由及積分中值定理知，存在，使.若在區(qū)間內僅有一個零點，則在區(qū)間與內異號.不妨設在內，在內.于是由，有當時，，；當時，，仍有，得到：.矛盾，此矛盾證明了在僅有1個零點的假設不正確，故在內至少有2個不同的零點.九【詳解】為了求曲線在點處的切線方程，首先需要求出在處的導數，即切線斜率.而函數又是以周期為5的函數，且在處可導，則在處可導，且其導數值等于函數在處的導數值.將兩邊令取極限，由的連續(xù)性得故，又由原設在處可導，兩邊同除，根據導數的定義，得所以，又因，所以，由點斜式，切線方程為以代入得即十【詳解】首先聯立兩式，求直線與曲線的交點：，得：，而，則交點坐標為：.由點斜式，故直線OA的方程為.由旋轉體體積公式，要求的體積就是用大體積減去小體積：為了求的最大值，對函數關于求導，命得唯一駐點，所以也是V的最大值點，最大體積為.十一【詳解】(1)為了求，將兩邊同乘，得兩邊對求導，得即.上述方程為二階可降階微分方程，令，化為，即兩邊求積分：即所以令，則，于是.再以代入原方程，由，有，于是.(2)方法1：用積分證.而兩邊同乘以，得：，即方法2：用微分學方法證.因，即單調遞減，所以當時.要證，可轉化為證明，令，則，且()所以，當時，即.結合兩個不等式，推知當時，.證畢.十二【詳解】由題設得，.所以，；，代入原方程中，得，即其中是三階單位矩陣，令，代入上式，得線性非齊次方程組(1)顯然方程組得同解方程為(2)令自由未知量解得故方程組通解為，(為任意常數)十三【詳解】方法1：先求將矩陣作初等行變換，得知故，作初等行變換因為，所以又可由線性表出，故將作初等行變換由，得，解得，及方法2：由方法1中的初等變換結果可以看出線性無關，且，故，是的極大線性無關組.又，線性相關.從而得計算三階行列式得，得又可由線性表出，即可由線性表出，線性相關，有行列式展開得，所以，得及方法3：先利用可由線性表出，故方程組有解，即有解.對其增廣矩陣施行初等行變化由其次線性方程組有解的條件(系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩)，知解得又因為和線性無關，且，所以向量組的秩為2，由題設條件知，從而解得2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1)(2)設函數由方程所確定,則曲線在點處的法線方程為.(3)(4)過點且滿足關系式的曲線方程為.(5)設方程有無窮多個解,則.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1)設則等于()(A)0(B)1(C)(D)(2)設當時，是比高階的無窮小，是比高階的無窮小，則正整數等于()(A)1(B)2(C)3(D)4(3)曲線的拐點個數為()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3(4)已知函數在區(qū)間內具有二階導數，嚴格單調減少，且則()(A)在和內均有.(B)在和內均有.(C)在內，.在內，.(D)在內，.在內，.(5)設函數在定義域內可導，的圖形如右圖所示，則導函數的圖形為()三、(本題滿分6分)求四、(本題滿分7分)求極限，記此極限為，求函數的間斷點并指出其類型.五、(本題滿分7分)設是拋物線上任一點處的曲率半徑，是該拋物線上介于點與之間的弧長，計算的值.(在直角坐標系下曲率公式為)六、(本題滿分7分)設函數在上可導，，且其反函數為.若，求.七、(本題滿分7分)設函數滿足，且，求八、(本題滿分9分)設是一條平面曲線，其上任意一點到坐標原點的距離，恒等于該點處的切線在軸上的的截距，且經過點(1)試求曲線的方程(2)求位于第一象限部分的一條切線，使該切線與以及兩坐標軸所圍圖形面積最小.九、(本題滿分7分)一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積成正比，比例常數.假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時內，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時？十、(本題滿分8分)設在區(qū)間上具有二階連續(xù)導數,,(1)寫出的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式;(2)證明在上至少存在一點，使十一、(本題滿分6分)已知矩陣且矩陣滿足其中是3階單位陣，求.十二、(本題滿分6分)設為線性方程組的一個基礎解系，試問實數滿足什么關系時，也為的一個基礎解系.2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】(2)【答案】x?2y+2=0.【詳解】在等式兩邊對x求導,其中視為的函數，得，即將x=0,y=1代入上式,得，即故所求法線方程斜率，根據點斜式法線方程為：即x?2y+2=0.(3)【答案】【分析】根據區(qū)域對稱性與被積函數的奇偶性：設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則有，【詳解】由題設知在區(qū)間上，是奇函數，是偶函數，故，，所以，原式(4)【答案】【詳解】方法1：因為，所以原方程可改寫為兩邊直接積分，得又由代入上式，有，解得故所求曲線方程為方法2：將原方程寫成一階線性方程的標準形式由一階線性微分方程通解公式：這里，代入上式得：又由解得故曲線方程為：(5)【答案】-2【詳解】方法1：利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形,有由非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件：設是矩陣，方程組有無窮多解.可見，只有當a=?2時才有秩，對應方程組有無窮多個解.方法2:設是矩陣，方程組有無窮多解，則方程組有無窮多解.從而有，即則，.當時，可見原方程組無解.當時，有可知，故當時，原方程組有無窮多解.二、選擇題(1)【答案】(B)【詳解】因為，所以在整個定義域內，所以，于是，從而(2)【答案】(B)【詳解】根據高階無窮小的定義：如果，就說是比高階的無窮小，由題設當時，是比高階的無窮小，所以從而應滿足；又由是比高階的無窮小，所以根據高階無窮小的定義有：，從而應滿足綜上，故正整數，故選(B)(3)【答案】(C)【詳解】，所以令，即，因為判別式：，所以有兩個不相等的實根，且，所以兩個實根不為2，因此在使這兩點處，三階導數，(一般地，若，且，則點一定是曲線的拐點)，因此曲線有兩個拐點，故選(C)或根據是一條拋物線，且與軸有兩個不相同的交點，所以在兩個交點的左右符號不相同，滿足拐點的定義，因此選(C)(4)【答案】(A)【詳解】方法1：令，則由于嚴格單調減少，因此當時，，則；當時，，則，且在處，根據判定極值的第一充分條件：設函數在處連續(xù)，且在的某去心領域內可導，若時，，而時，，則在處取得極大值，知在處取極大值，即在在和內均有，也即.故選(A)方法2：排除法，取，則，，所以滿足題設在區(qū)間內具有二階導數，嚴格單調減少，且當時或時，均有，因此可以排除(B)、(C)、(D)，選(A)(5)【答案】(D)【詳解】從題設圖形可見，在軸的左側，曲線是嚴格單調增加的，因此當時，一定有，對應圖形必在軸的上方，由此可排除(A)，(C)；又的圖形在軸右側靠近軸部分是單調增，所以在這一段內一定有，對應圖形必在軸的上方，進一步可排除(B)，故正確答案為(D).三【詳解】作積分變量變換，令則原式四【分析】應先求出的表達式，再討論它的間斷點，首先明確間斷點的類型分為兩大類：第一類間斷點和第二類間斷點，第一類間斷點又可分為：可去間斷點(左右極限存在且相等的間斷點)和跳躍間斷點(左右極限存在但不相等的間斷點)；第二類間斷點又可分為：無窮間斷點(有一個極限為無窮的間斷點)和振蕩間斷點(極限值在某個區(qū)間變動無限多次).【詳解】由又所以由的表達式，可以看出自變量應滿足，從而當時，，所以為的第一類間斷點(左右極限相等，又進一步可知是可去間斷點)；對于非零整數，，故為的第二類間斷點(無窮間斷點)五【解答】由，有拋物線在點處的曲率半徑若已知平面曲線的顯式表示為，則弧長為，其中在有連續(xù)的導數.根據上述結論，所以拋物線上的弧長故因此六【詳解】的反函數是，根據反函數的性質有，兩邊對求導，有又，所以，兩邊積分.由于題設在上可導，所以在處連續(xù)，故，所以，于是，七【詳解】由，得，即此為二階常系數線性非齊次方程，且右端呈型(其中)，對應的齊次方程為，特征方程為，對應的特征值為，于是齊次方程的通解為：，因為，所以設特解為(為實數)，，代入，，所以，即，從而特解，非齊次方程的通解為，又，所以，又，，所以，，所以原方程的解為：以下計算積分，有兩個方法：方法1：方法2：八【詳解】(1)設曲線過點的切線方程為，令，則，即它在軸上的截距為，根據兩點距離公式，所以原點到點的距離為，由題設到坐標原點的距離恒等于該點處的切線在軸上的截距，所以：，，即，此為一階齊次方程，按規(guī)范方法解之，命，則，代入，方程變?yōu)椋悍e分得把代入上式，得.由題設曲線經過點，代入得，則，故所求方程為：，即(2)由(1)知，則，點，所以在點處的切線方程為：，分別令，，解得在軸，軸上的截距分別為和.此切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為：由于該曲線在第一象限中與兩坐標軸所圍成的面積為定值，記，于是題中所要求的面積為：求最值點時與無關，以下按微分學的辦法求最值點.令得，當時，；當時，，根據極值存在的第一充分條件：設函數在處連續(xù)，且在的某去心領域內可導，若時，，而時，，則在處取得極大值，知：是在處的唯一極小值點，即最小值點，于是所求切線方程為：，即九【詳解】方法1：半球形雪堆在時刻時設其半徑為，則半球體積，側面積.由題設體積融化的速率與半球面面積成正比，知：，由于是的函數，，代入上式，得：，即，從而，.積分得，把代入，得，所以.又半徑為的雪堆在開始融化的3小時內，融化了其體積的，即，其中表示時的.以的公式代入上式，為將代入上式，兩邊約去，得：，即從而求得：，于是，當時，雪融化完.方法2：半球形雪堆在時刻時設其半徑為，則半球體積，側面積，聯立，消去，得：由題設體積融化的速率與半球面面積成正比，知：，從而推知分離變量，積分：，把代入，，所以，.又由，代入上式，得，故.命，解得：，即雪堆全部融化需6小時.十【應用定理】閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理：設在上連續(xù)，，則對之間的任何數，必存在()，使得.【詳解】(1)麥克勞林公式其實就是泰勒公式中，把函數在零點展開.的拉格朗日余項一階麥克勞林公式為：，其中位于和為端點的開區(qū)間內，.(2)方法1：將從到積分而從而有因在上連續(xù)，故有在上存在最大值，最小值(由閉區(qū)間上的連續(xù)函數必有最大值和最小值)，即易得因此同理因此.由連續(xù)函數介值定理知，存在，使，即.方法2：觀察要證的式子，做變限函數：，易得，(變限積分求導)則有將它展開成2階帶拉格朗日余項麥克勞林公式：其中，由于在上連續(xù)，則由連續(xù)函數介值定理，存在，使(因為)于是有，存在，使把代入有：，即即十一【詳解】題設的關系式即其中，因為，故由階矩陣可逆的充要條件，知矩陣可逆，用初等行變換求：故而于是，等式兩邊左、右乘可得十二【詳解】由題設知，均為的線性組合，齊次方程組當有非零解時，解向量的任意組合仍是該齊次方程組的解向量，所以均為的解.下面證明線性無關.設把代入整理得，由為線性方程組的一個基礎解系，知線性無關，由線性無關的定義，知中其系數全為零，即其系數行列式(變換：把原行列式第行乘以加到第行，其中)由齊次線性方程組只有零解得充要條件，可見，當，即即當為偶數，當為奇數，時，上述方程組只有零解因此向量組線性無關，故當時，也是方程組的基礎解系.2002考研數二真題2003年考研數學（二）真題填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）若時，與是等價無窮小，則a=.（2）設函數y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是.（3）的麥克勞林公式中項的系數是__________.（4）設曲線的極坐標方程為，則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為__________.（5）設為3維列向量，是的轉置.若，則=.（6）設三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則________.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設均為非負數列，且,,,則必有(A)對任意n成立.(B)對任意n成立.(C)極限不存在.(D)極限不存在.[]（2）設,則極限等于(A).(B).(C).(D).[]（3）已知是微分方程的解，則的表達式為（A）(B)(C)(D)[]（4）設函數f(x)在內連續(xù)，其導函數的圖形如圖所示，則f(x)有一個極小值點和兩個極大值點.兩個極小值點和一個極大值點.兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.[]yOx（5）設,,則(A)(B)(C)(D)[]（6）設向量組=1\*ROMANI：可由向量組=2\*ROMANII：線性表示，則(A)當時，向量組=2\*ROMANII必線性相關.(B)當時，向量組=2\*ROMANII必線性相關.(C)當時，向量組=1\*ROMANI必線性相關.(D)當時，向量組=1\*ROMANI必線性相關.[]三、（本題滿分10分）設函數問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？四、（本題滿分9分）設函數y=y(x)由參數方程所確定，求五、（本題滿分9分）計算不定積分六、（本題滿分12分）設函數y=y(x)在內具有二階導數，且是y=y(x)的反函數.(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七、（本題滿分12分）討論曲線與的交點個數.八、（本題滿分12分）設位于第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分.求曲線y=f(x)的方程；已知曲線y=sinx在上的弧長為，試用表示曲線y=f(x)的弧長s.九、（本題滿分10分）有一平底容器，其內側壁是由曲線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2m.根據設計要求，當以的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.根據t時刻液面的面積，寫出t與之間的關系式；求曲線的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)十、（本題滿分10分）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且若極限存在，證明：在(a,b)內f(x)>0;(2)在(a,b)內存在點，使；(3)在(a,b)內存在與(2)中相異的點，使十一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對角陣，試確定常數a的值；并求可逆矩陣P使十二、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為，，.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為2003年考研數學（二）真題評注一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）若時，與是等價無窮小，則a=-4.【分析】根據等價無窮小量的定義，相當于已知，反過來求a.注意在計算過程中應盡可能地應用無窮小量的等價代換進行化簡.【詳解】當時，，.于是，根據題設有，故a=-4.（2）設函數y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是x-y=0.【分析】先求出在點(1,1)處的導數，然后利用點斜式寫出切線方程即可.【詳解】等式兩邊直接對x求導，得，將x=1,y=1代入上式，有故過點(1,1)處的切線方程為，即【評注】本題屬常規(guī)題型，綜合考查了隱函數求導與求切線方程兩個知識點.（3）的麥克勞林公式中項的系數是.【分析】本題相當于先求y=f(x)在點x=0處的n階導數值，則麥克勞林公式中項的系數是【詳解】因為，，，于是有，故麥克勞林公式中項的系數是【評注】本題屬常規(guī)題型，在一般教材中都可找到答案.（4）設曲線的極坐標方程為，則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為.【分析】利用極坐標下的面積計算公式即可.【詳解】所求面積為=.【評注】本題考查極坐標下平面圖形的面積計算，也可化為參數方程求面積，但計算過程比較復雜.（5）設為3維列向量，是的轉置.若，則=3.【分析】本題的關鍵是矩陣的秩為1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行（或任一非零行），列向量的元素則為各行與選定行的倍數構成.【詳解】由=，知，于是【評注】一般地，若n階矩陣A的秩為1，則必有（6）設三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則.【分析】先化簡分解出矩陣B，再取行列式即可.【詳解】由知，，即，易知矩陣A+E可逆，于是有再兩邊取行列式，得，因為,所以.【評注】本題屬基本題型，綜合考查了矩陣運算與方陣的行列式，此類問題一般都應先化簡再計算.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設均為非負數列，且,,,則必有(A)對任意n成立.(B)對任意n成立.(C)極限不存在.(D)極限不存在.[D]【分析】本題考查極限概念，極限值與數列前面有限項的大小無關，可立即排除(A),(B)；而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限屬型，必為無窮大量，即不存在.【詳解】用舉反例法，取，，，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).【評注】對于不便直接證明的問題，經?？煽紤]用反例，通過排除法找到正確選項.（2）設,則極限等于(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先用換元法計算積分，再求極限.【詳解】因為==，可見=【評注】本題屬常規(guī)題型，綜合考查了定積分計算與求數列的極限兩個知識點，但定積分和數列極限的計算均是最基礎的問題，一般教材中均可找到其計算方法.（3）已知是微分方程的解，則的表達式為（A）(B)(C)(D)[A]【分析】將代入微分方程，再令的中間變量為u，求出的表達式，進而可計算出.【詳解】將代入微分方程，得，即.令lnx=u，有，故=應選(A).【評注】本題巧妙地將微分方程的解與求函數關系結合起來，具有一定的綜合性，但問題本身并不復雜，只要仔細計算應該可以找到正確選項.（4）設函數f(x)在內連續(xù)，其導函數的圖形如圖所示，則f(x)有一個極小值點和兩個極大值點.兩個極小值點和一個極大值點.兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.[C]yOx【分析】答案與極值點個數有關，而可能的極值點應是導數為零或導數不存在的點，共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據導函數的圖形可知，一階導數為零的點有3個，而x=0則是導數不存在的點.三個一階導數為零的點左右兩側導數符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側一階導數為正，右側一階導數為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應選(C).【評注】本題屬新題型，類似考題2001年數學一、二中曾出現過，當時考查的是已知f(x)的圖象去推導的圖象，本題是其逆問題.完全類似例題在文登學校經濟類串講班上介紹過.（5）設,,則(A)(B)(C)(D)[B]【分析】直接計算是困難的，可應用不等式tanx>x,x>0.【詳解】因為當x>0時，有tanx>x，于是，，從而有，，可見有且，可排除(A),(C),(D)，故應選(B).【評注】本題沒有必要去證明，因為用排除法，(A),(C),(D)均不正確，剩下的(B)一定為正確選項.（6）設向量組=1\*ROMANI：可由向量組=2\*ROMANII：線性表示，則(A)當時，向量組=2\*ROMANII必線性相關.(B)當時，向量組=2\*ROMANII必線性相關.(C)當時，向量組=1\*ROMANI必線性相關.(D)當時，向量組=1\*ROMANI必線性相關.[D]【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數的定理：若向量組=1\*ROMANI：可由向量組=2\*ROMANII：線性表示，則當時，向量組=1\*ROMANI必線性相關.或其逆否命題：若向量組=1\*ROMANI：可由向量組=2\*ROMANII：線性表示，且向量組=1\*ROMANI線性無關，則必有.可見正確選項為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】用排除法：如，則，但線性無關，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無關，排除(B)；，可由線性表示，但線性無關，排除(C).故正確選項為(D).【評注】本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過構造適當的反例找到正確選項.三、（本題滿分10分）設函數問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？【分析】分段函數在分段點x=0連續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即【詳解】===令，有，得或.當a=-1時，，即f(x)在x=0處連續(xù).當a=-2時，，因而x=0是f(x)的可去間斷點.【評注】本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷等多個知識點，其中左右極限的計算有一定難度，在計算過程中應盡量利用無窮小量的等價代換進行簡化.四、（本題滿分9分）設函數y=y(x)由參數方程所確定，求【分析】本題為參數方程求二階導數，按參數方程求導的公式進行計算即可.注意當x=9時，可相應地確定參數t的取值.【詳解】由，，得所以==當x=9時，由及t>1得t=2,故五、（本題滿分9分）計算不定積分【分析】被積函數含有根號，典型地應作代換：x=tant,或被積函數含有反三角函數arctanx，同樣可考慮作變換：arctanx=t，即x=tant.【詳解】設，則==又==，故因此==【評注】本題也可用分布積分法：====，移項整理得=本題的關鍵是含有反三角函數，作代換或tant=x.六、（本題滿分12分）設函數y=y(x)在內具有二階導數，且是y=y(x)的反函數.(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】將轉化為比較簡單，=，關鍵是應注意：==.然后再代入原方程化簡即可.【詳解】(1)由反函數的求導公式知，于是有==.代入原微分方程得(*)(2)方程(*)所對應的齊次方程的通解為設方程(*)的特解為，代入方程(*)，求得，故，從而的通解是由，得.故所求初值問題的解為【評注】本題的核心是第一步方程變換.七、（本題滿分12分）討論曲線與的交點個數.【分析】問題等價于討論方程有幾個不同的實根.本題相當于一函數作圖題，通過單調性、極值的討論即可確定實根的個數（與x軸交點的個數）.【詳解】設，y則有4-k不難看出，x=1是的駐點.O1x當時，，即單調減少；當x>1時，，即單調增加，故為函數的最小值.當k<4，即4-k>0時，無實根，即兩條曲線無交點；當k=4，即4-k=0時，有唯一實根，即兩條曲線只有一個交點；當k>4，即4-k<0時，由于；，故有兩個實根，分別位于(0,1)與內，即兩條曲線有兩個交點.【評注】討論曲線與坐標軸的交點，在構造輔助函數時，應盡量將待分析的參數分離開來，使得求導后不含參數，便于求駐點坐標.八、（本題滿分12分）設位于第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分.求曲線y=f(x)的方程；已知曲線y=sinx在上的弧長為，試用表示曲線y=f(x)的弧長s.【分析】(1)先求出法線方程與交點坐標Q，再由題設線段PQ被x軸平分，可轉化為微分方程，求解此微分方程即可得曲線y=f(x)的方程.(2)將曲線y=f(x)化為參數方程，再利用弧長公式進行計算即可.【詳解】(1)曲線y=f(x)在點P(x,y)處的法線方程為，其中(X,Y)為法線上任意一點的坐標.令X=0，則，故Q點的坐標為由題設知，即積分得(C為任意常數).由知C=1，故曲線y=f(x)的方程為(2)曲線y=sinx在[0，]上的弧長為曲線y=f(x)的參數方程為故，令，則=【評注】注意只在第一象限考慮曲線y=f(x)的弧長，所以積分限應從0到，而不是從0到九、（本題滿分10分）有一平底容器，其內側壁是由曲線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2m.根據設計要求，當以的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.根據t時刻液面的面積，寫出t與之間的關系式；求曲線的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)【分析】液面的面積將以的速率均勻擴大，因此t時刻液面面積應為：，而液面為圓，其面積可直接計算出來，由此可導出t與之間的關系式；又液體的體積可根據旋轉體的體積公式用定積分計算，已知t時刻的液體體積為3t，它們之間也可建立積分關系式，求導后轉化為微分方程求解即可.【詳解】(1)設在t時刻，液面的高度為y，則由題設知此時液面的面積為,從而(2)液面的高度為y時，液體的體積為上式兩邊對y求導，得，即解此微分方程，得，其中C為任意常數，由知C=2,故所求曲線方程為【評注】作為應用題，本題比較好地綜合考查了定積分在幾何上的應用與微分方程的求解.十、（本題滿分10分）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且若極限存在，證明：在(a,b)內f(x)>0;在(a,b)內存在點，使；(3)在(a,b)內存在與(2)中相異的點，使【分析】(1)由存在知，f(a)=0,利用單調性即可證明f(x)>0.(2)要證的結論顯含f(a),f(b)，應將要證的結論寫為拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式進行證明.(3)注意利用(2)的結論證明即可.【詳解】(1)因為存在，故又，于是f(x)在(a,b)內單調增加，故(2)設F(x)=,,則，故滿足柯西中值定理的條件，于是在(a,b)內存在點，使，即.(3)因，在上應用拉格朗日中值定理，知在內存在一點，使，從而由(2)的結論得，即有【評注】證明(3)，關鍵是用（2）的結論：（根據(2)結論），可見對f(x)在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理即可.十一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對角陣，試確定常數a的值；并求可逆矩陣P使【分析】已知A相似于對角矩陣，應先求出A的特征值，再根據特征值的重數與線性無關特征向量的個數相同，轉化為特征矩陣的秩，進而確定參數a.至于求P，則是常識問題.【詳解】矩陣A的特征多項式為=，故A的特征值為由于A相似于對角矩陣，故對應應有兩個線性無關的特征向量，即，于是有由，知a=0.于是對應于的兩個線性無關的特征向量可取為，當時，，解方程組得對應于的特征向量令，則P可逆，并有十二、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為，，.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為【分析】三條直線相交于一點，相當于對應線性方程組有唯一解，進而轉化為系數矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法一：必要性設三條直線交于一點，則線性方程組(*)有唯一解，故系數矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于=,但根據題設，故充分性：由，則從必要性的證明可知，，故秩由于=，故秩(A)=2.于是，秩(A)=秩=2.因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點.方法二：必要性設三直線交于一點，則為Ax=0的非零解，其中于是.而=,但根據題設，故充分性：考慮線性方程組(*)將方程組(*)的三個方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價于方程組(**)因為=-,故方程組(**)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點.【評注】本題將三條直線的位置關系轉化為方程組的解的判定，而解的判定問題又可轉化為矩陣的秩計算，進而轉化為行列式的計算，綜合考查了多個知識點.2004年考碩數學（二）真題一.填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.）（1）設,則的間斷點為.（2）設函數由參數方程確定,則曲線向上凸的取值范圍為____..（3）_____..（4）設函數由方程確定,則______.（5）微分方程滿足的特解為_______.（6）設矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則______-.二.選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.）（7）把時的無窮小量,,排列起來,使排在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是（A）（B）（C）（D）（8）設,則（A）是的極值點,但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點,但是曲線的拐點.（C）是的極值點,且是曲線的拐點.（D）不是的極值點,也不是曲線的拐點.（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）（10）設函數連續(xù),且,則存在,使得（A）在內單調增加.（B）在內單調減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有.（11）微分方程的特解形式可設為（A）.（B）.（C）.（D）（12）設函數連續(xù),區(qū)域,則等于（A）.（B）.（C）.（D）（13）設是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為（A）.（B）.（C）.（D）.（14）設,為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有（A）的列向量組線性相關,的行向量組線性相關.（B）的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.（C）的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.（D）的行向量組線性相關,的列向量組線性相關.三.解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分10分）求極限.（16）（本題滿分10分）設函數在（）上有定義,在區(qū)間上,,若對任意的都滿足,其中為常數.(Ⅰ)寫出在上的表達式;(Ⅱ)問為何值時,在處可導.（17）（本題滿分11分）設,(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數;(Ⅱ)求的值域.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體,其體積為,側面積為,在處的底面積為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)計算極限.（19）（本題滿分12分）設,證明.（20）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現有一質量為的飛機,著陸時的水平速度為.經測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?注表示千克,表示千米/小時.（21）（本題滿分10分）設,其中具有連續(xù)二階偏導數,求.（22）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.（23）（本題滿分9分）設矩陣的特征方程有一個二重根,求的值,并討論是否可相似對角化.2004年考碩數學（二）真題評注一.填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.）（1）設,則的間斷點為0.【分析】本題屬于確定由極限定義的函數的連續(xù)性與間斷點.對不同的,先用求極限的方法得出的表達式,再討論的間斷點.【詳解】顯然當時,;當時,,所以,因為故為的間斷點.（2）設函數由參數方程確定,則曲線向上凸的取值范圍為.【分析】判別由參數方程定義的曲線的凹凸性，先用由定義的求出二階導數,再由確定的取值范圍.【詳解】,,令 .又單調增,在時,.(時，時，曲線凸.)【評注】本題屬新題型.已考過的題型有求參數方程所確定的函數的二階導數,如1989、1991、1994、2003數二考題，也考過函數的凹凸性.（3）.【分析】利用變量代換法和形式上的牛頓萊布尼茲公式可得所求的廣義積分值.【詳解1】.【詳解2】.【評注】本題為混合廣義積分的基本計算題,主要考查廣義積分(或定積分)的換元積分法.（4）設函數由方程確定,則.【分析】此題可利用復合函數求偏導法、公式法或全微分公式求解.【詳解1】在的兩邊分別對,求偏導,為的函數.,,從而,所以【詳解2】令則,,,,從而【詳解3】利用全微分公式,得即,從而【評注】此題屬于典型的隱函數求偏導.（5）微分方程滿足的特解為.【分析】此題為一階線性方程的初值問題.可以利用常數變易法或公式法求出方程的通解,再利用初值條件確定通解中的任意常數而得特解.【詳解1】原方程變形為,先求齊次方程的通解:積分得設為非齊次方程的通解,代入方程得從而,積分得,于是非齊次方程的通解為,故所求通解為.【詳解2】原方程變形為,由一階線性方程通解公式得,從而所求的解為.【評注】此題為求解一階線性方程的常規(guī)題.（6）設矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則.【分析】利用伴隨矩陣的性質及矩陣乘積的行列式性質求行列式的值.【詳解1】,,,.【詳解2】由,得【評注】此題是由矩陣方程及矩陣的運算法則求行列式值的一般題型,考點是伴隨矩陣的性質和矩陣乘積的行列式.二.選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.）（7）把時的無窮小量,,排列起來,使排在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是（A）（B）（C）（D）【分析】對與變限積分有關的極限問題，一般可利用洛必塔法則實現對變限積分的求導并結合無窮小代換求解.【詳解】,即.又,即.從而按要求排列的順序為,故選（B）.【評注】此題為比較由變限積分定義的無窮小階的常規(guī)題.（8）設,則（A）是的極值點,但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點,但是曲線的拐點.（C）是的極值點,且是曲線的拐點.（D）不是的極值點,也不是曲線的拐點.【分析】求分段函數的極值點與拐點，按要求只需討論兩方,的符號.【詳解】,,,從而時,凹,時,凸,于是為拐點.又,時,,從而為極小值點.所以,是極值點,是曲線的拐點,故選（C）.【評注】此題是判定分段函數的極值點與拐點的常規(guī)題目（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】將原極限變型，使其對應一函數在一區(qū)間上的積分和式.作變換后,從四個選項中選出正確的.【詳解】故選（B）.【評注】此題是將無窮和式的極限化為定積分的題型，值得注意的是化為定積分后還必須作一變換,才能化為四選項之一.（10）設函數連續(xù),且,則存在,使得（A）在內單調增加.（B）在內單調減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有.【分析】可借助于導數的定義及極限的性質討論函數在附近的局部性質.【詳解】由導數的定義知,由極限的性質,,使時,有即時,，時,,故選（C）.【評注】此題是利用導數的定義和極限的性質討論抽象函數在某一點附近的性質.（11）微分方程的特解形式可設為（A）.（B）.（C）.（D）【分析】利用待定系數法確定二階常系數線性非齊次方程特解的形式.【詳解】對應齊次方程的特征方程為,特征根為,對而言,因0不是特征根,從而其特解形式可設為對,因為特征根,從而其特解形式可設為從而的特解形式可設為【評注】這是一道求二階常系數線性非齊次方程特解的典型題，此題的考點是二階常系數線性方程解的結構及非齊次方程特解的形式.（12）設函數連續(xù),區(qū)域,則等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】將二重積分化為累次積分的方法是:先畫出積分區(qū)域的示意圖,再選擇直角坐標系和極坐標系,并在兩種坐標系下化為累次積分.【詳解】積分區(qū)域見圖.在直角坐標系下,故應排除（A）、（B）.在極坐標系下,,,故應選（D）.【評注】此題是將二重積分化為累次積分的常規(guī)題,關鍵在于確定累次積分的積分限.（13）設是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為（A）.（B）.（C）.（D）.【分析】根據矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關系，對題中給出的行（列）變換通過左(右)乘一相應的初等矩陣來實現.【詳解】由題意,,,從而,故選（D）.【評注】此題的考點是初等變換與初等矩陣的關系,抽象矩陣的行列初等變換可通過左、右乘相應的初等矩陣來實現.（14）設,為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有（A）的列向量組線性相關,的行向量組線性相關.（B）的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.（C）的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.（D）的行向量組線性相關,的列向量組線性相關.【分析】將寫成行矩陣,可討論列向量組的線性相關性.將寫成列矩陣,可討論行向量組的線性相關性.【詳解】設,記（1）由于,所以至少有一(),從而由（1）知,,于是線性相關.又記,則由于,則至少存在一(),使,從而線性相關,故應選（A）.【評注】此題的考點是分塊矩陣和向量組的線性相關性，此題也可以利用齊次線性方程組的理論求解.三.解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分10分）求極限.【分析】此極限屬于型未定式.可利用羅必塔法則,并結合無窮小代換求解.【詳解1】原式【詳解2】原式【評注】此題為求未定式極限的常見題型.在求極限時,要注意將羅必塔法則和無窮小代換結合,以簡化運算.（16）（本題滿分10分）設函數在（）上有定義,在區(qū)間上,,若對任意的都滿足,其中為常數.(Ⅰ)寫出在上的表達式;(Ⅱ)問為何值時,在處可導.【分析】分段函數在分段點的可導性只能用導數定義討論.【詳解】(Ⅰ)當,即時,.(Ⅱ)由題設知..令,得.即當時,在處可導.【評注】此題的考點是用定義討論分段函數的可導性.（17）（本題滿分11分）設,(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數;(Ⅱ)求的值域.【分析】利用變量代換討論變限積分定義的函數的周期性,利用求函數最值的方法討論函數的值域.【詳解】(Ⅰ),設,則有,故是以為周期的周期函數.(Ⅱ)因為在上連續(xù)且周期為,故只需在上討論其值域.因為,令,得,,且,,又,,的最小值是,最大值是,故的值域是.【評注】此題的討論分兩部分:(1)證明定積分等式,常用的方法是變量代換.(2)求變上限積分的最值,其方法與一般函數的最值相同.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體,其體積為,側面積為,在處的底面積為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)計算極限.【分析】用定積分表示旋轉體的體積和側面積，二者及截面積都是的函數,然后計算它們之間的關系.【詳解】(Ⅰ),,.(Ⅱ),【評注】在固定時,此題屬于利用定積分表示旋轉體的體積和側面積的題型,考點是定積分幾何應用的公式和羅必塔求與變限積分有關的極限問題.（19）（本題滿分12分）設,證明.【分析】文字不等式可以借助于函數不等式的證明方法來證明,常用函數不等式的證明方法主要有單調性、極值和最值法等.【詳證1】設,則,所以當時,,故單調減小,從而當時,,即當時,單調增加.因此,當時,,即故.【詳證2】設,則,時,,從而當時,,時,單調增加.時,.令有即.【詳證3】證對函數在上應用拉格朗日定理,得,.設,則,當時,,所以單調減小,從而,即,故【評注】此題是文字不等式的證明題型.由于不能直接利用中值定理證明,所以常用的方法是將文字不等式化為函數不等式,然后借助函數不等式的證明方法加以證明.（20）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現有一質量為的飛機,著陸時的水平速度為.經測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?注表示千克,表示千米/小時.【分析】本題屬物理應用.已知加速度或力求運動方程是質點運動學中一類重要的計算,可利用牛頓第二定律,建立微分方程,再求解.【詳解1】由題設,飛機的質量,著陸時的水平速度.從飛機接觸跑道開始記時,設時刻飛機的滑行距離為,速度為.根據牛頓第二定律,得.又,,積分得,由于,,故得,從而.當時,.所以,飛機滑行的最長距離為.【詳解2】根據牛頓第二定律,得.所以,兩邊積分得,代入初始條件,得,,故飛機滑行的最長距離為.【詳解3】根據牛頓第二定律,得,,其特征方程為,解得,，故，由,，得，.當時,.所以,飛機滑行的最長距離為.【評注】此題的考點是由物理問題建立微分方程,并進一步求解.（21）（本題滿分10分）設,其中具有連續(xù)二階偏導數,求.【分析】利用復合函數求偏導和混合偏導的方法直接計算.【詳解】,,.【評注】此題屬求抽象復合函數高階偏導數的常規(guī)題型.（22）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.【分析】此題為求含參數齊次線性方程組的解.由系數行列式為0確定參數的取值,進而求方程組的非零解.【詳解1】對方程組的系數矩陣作初等行變換,有 當時,,故方程組有非零解,其同解方程組為.由此得基礎解系為,,,于是所求方程組的通解為,其中為任意常數.當時,當時,,故方程組也有非零解,其同解方程組為由此得基礎解系為,所以所求方程組的通解為,其中為任意常數.【詳解2】方程組的系數行列式.當,即或時,方程組有非零解.當時,對系數矩陣作初等行變換,有故方程組的同解方程組為.其基礎解系為,,,于是所求方程組的通解為,其中為任意常數.當時,對作初等行變換,有故方程組的同解方程組為其基礎解系為,所以所求方程組的通解為,其中為任意常數【評注】解此題的方法是先根據齊次方程有非零解的條件確定方程組中的參數,再對求得的參數對應的方程組求解.（23）（本題滿分9分）設矩陣的特征方程有一個二重根,求的值,并討論是否可相似對角化.【分析】由矩陣特征根的定義確定的值，由線性無關特征向量的個數與秩之間的關系確定是否可對角化.【詳解】的特征多項式為.若是特征方程的二重根,則有,解得.當時,的特征值為2,2,6,矩陣的秩為1,故對應的線性無關的特征向量有兩個,從而可相似對角化.若不是特征方程的二重根,則為完全平方,從而,解得.當時,的特征值為2,4,4,矩陣的秩為2,故對應的線性無關的特征向量只有一個,從而不可相似對角化.【評注】此題的考點是由特征根及重數的定義確定的值,對的取值討論對應矩陣的特征根及對應的秩,進而由的秩與線性無關特征向量的個數關系確定是否可相似對角化.2005年考研數學二真題一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）設，則=______.（2）曲線的斜漸近線方程為______.（3）______.（4）微分方程滿足的解為______.（5）當時，與是等價無窮小，則k=______.（6）設均為3維列向量，記矩陣，，如果，那么.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）設函數，則f(x)在內(A)處處可導.(B)恰有一個不可導點.(C)恰有兩個不可導點.(D)至少有三個不可導點.[]（8）設F(x)是連續(xù)函數f(x)的一個原函數，表示“M的充分必要條件是N”，則必有F(x)是偶函數f(x)是奇函數.（B）F(x)是奇函數f(x)是偶函數.(C)F(x)是周期函數f(x)是周期函數.(D)F(x)是單調函數f(x)是單調函數.[]（9）設函數y=y(x)由參數方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是(A).(B).(C).(D).[]（10）設區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數，a,b為常數，則(A).(B).(C).(D).[]（11）設函數,其中函數具有二階導數，具有一階導數，則必有(A).（B）.(C).(D).[]（12）設函數則x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點.(C)x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點.x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點.[]（13）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A).(B).(C).(D).[]（14）設A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,分別為A,B的伴隨矩陣，則交換的第1列與第2列得.(B)交換的第1行與第2行得.(C)交換的第1列與第2列得.(D)交換的第1行與第2行得.[]三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設函數f(x)連續(xù)，且，求極限（16）（本題滿分11分）如圖，和分別是和的圖象，過點(0,1)的曲線是一單調增函數的圖象.過上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和.記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程（17）（本題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4).設函數f(x)具有三階連續(xù)導數，計算定積分（18）（本題滿分12分）用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解.（19）（本題滿分12分）已知函數f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1.證明：（=1\*ROMANI）存在使得；（=2\*ROMANII）存在兩個不同的點，使得（20）（本題滿分10分）已知函數z=f(x,y)的全微分，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.（21）（本題滿