新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章　§2.3　函數(shù)的奇偶性、周期性（含解析）

§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性考試要求1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行簡單的應(yīng)用．知識梳理1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)．(×)(3)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)．(×)(4)若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)的一個周期．(√)教材改編題1．若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上()A．單調(diào)遞增，且有最小值f(1)B．單調(diào)遞增，且有最大值f(1)C．單調(diào)遞減，且有最小值f(2)D．單調(diào)遞減，且有最大值f(2)答案A解析偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，則由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則有f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，即有最小值為f(1)，最大值為f(2)．對照選項，A正確．2．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，有f(x)＝x＋2x，則f(－2)＝________.答案－6解析因為函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.3．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若f(1)＝1，則f(2023)＝________.答案－1解析因為函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1(多選)下列命題中正確的是()A．奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點B．函數(shù)y＝xsinx是偶函數(shù)C．函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)D．函數(shù)y＝eq\f(x2－x,x－1)是奇函數(shù)答案BC解析對于A，只有奇函數(shù)在x＝0處有定義時，函數(shù)的圖象過原點，所以A不正確；對于B，因為函數(shù)y＝xsinx的定義域為R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，所以B正確；對于C，函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|的定義域為R關(guān)于原點對稱，且滿足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以C正確；對于D，函數(shù)y＝eq\f(x2－x,x－1)滿足x－1≠0，即x≠1，所以函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以D不正確．思維升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案C解析選項A，f(x)g(x)＝(ex＋e－x)sinx，f(－x)g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(ex＋e－x)sinx＝－f(x)g(x)，是奇函數(shù)，判斷錯誤；選項B，|f(x)|g(x)＝|sinx|(ex＋e－x)，|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋ex)＝|sinx|(ex＋e－x)＝|f(x)|g(x)，是偶函數(shù)，判斷錯誤；選項C，f(x)|g(x)|＝|ex＋e－x|sinx，f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋ex|sin(－x)＝－|ex＋e－x|sinx＝－f(x)|g(x)|，是奇函數(shù)，判斷正確；選項D，|f(x)g(x)|＝|(ex＋e－x)sinx|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋ex)sin(－x)|＝|(ex＋e－x)sinx|＝|f(x)g(x)|，是偶函數(shù)，判斷錯誤．題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用命題點1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)(2023·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x>0，,ax3＋b，x<0))為偶函數(shù)，則2a＋b等于()A．3B.eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(3,2)答案B解析由已知得，當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝－ax3＋b，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即x3＋1＝－ax3＋b，∴a＝－1，b＝1，∴2a＋b＝2－1＋1＝eq\f(3,2).(2)(2023·呂梁模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋x－1，則當(dāng)x<0時，f(x)等于()A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1答案D解析當(dāng)x<0時，－x>0，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.命題點2利用奇偶性解不等式例3函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0.則不等式eq\f(fx－2f－x,x)>0的解集為()A．(－2,2)B．(－∞，0)∪(0,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析由于f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致圖象如圖所示．由f(－x)＝－f(x)可得，eq\f(fx－2f－x,x)＝eq\f(fx＋2fx,x)＝eq\f(3fx,x)>0，由于x在分母位置，所以x≠0，當(dāng)x<0時，只需f(x)<0，由圖象可知x<－2；當(dāng)x>0時，只需f(x)>0，由圖象可知x>2；綜上，不等式的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思維升華(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，若f(a)＝1，則f(－a)等于()A．1B．3C．4D．5答案D解析根據(jù)題意f(a)＝sina＋a3＋eq\f(1,a)＋3＝1，即sina＋a3＋eq\f(1,a)＝－2，所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋eq\f(1,－a)＋3＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sina＋a3＋\f(1,a)))＋3＝2＋3＝5.(2)已知函數(shù)f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)<f(2)，則實數(shù)x的取值范圍是()A．(1,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))∪(4，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))∪(1,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))答案D解析依題意，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，則f(log2x)<f(2)等價于|log2x|<2，∴－2<log2x<2，解得eq\f(1,4)<x<4.(3)(2021·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________.答案1解析方法一(定義法)因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二(取特殊值檢驗法)因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－2))＝2a－eq\f(1,2)，解得a＝1，經(jīng)檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.方法三(轉(zhuǎn)化法)由題意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)．設(shè)g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因為g(x)＝x3為奇函數(shù)，所以h(x)＝a·2x－2－x為奇函數(shù)，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.題型三函數(shù)的周期性例4(1)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝－f(x)，且當(dāng)1≤x≤2時，f(x)＝x－1，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))的值等于()A.eq\f(5,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案D解析∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為4，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(1,2).(2)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[2,4]上的解析式為____________________．答案f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]解析根據(jù)題意，設(shè)x∈[2,4]，則x－4∈[－2,0]，則有4－x∈[0,2]，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)為周期為4的偶函數(shù)，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]，則有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]．思維升華(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題．跟蹤訓(xùn)練3(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其周期為4，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2，則()A．f(2023)＝0B．f(x)的值域為[－1,2]C．f(x)在[4,6]上單調(diào)遞減D．f(x)在[－6,6]上有8個零點答案AB解析f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正確；當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0,2]時，函數(shù)的值域為[－1,2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域為[－1,2]，所以B正確；當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，又函數(shù)的周期是4，所以f(x)在[4,6]上單調(diào)遞增，所以C錯誤；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函數(shù)的周期為4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6個零點，所以D錯誤．課時精練1．(多選)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x答案ABD解析對于A，定義域為R，且f(－x)＝－2x3－4x＝－f(x)，故為奇函數(shù)，又y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上單調(diào)遞增，故A滿足題意；對于B，定義域為R，f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，故為奇函數(shù)，又y′＝1－cosx≥0，且y′不恒為0，所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故B滿足題意；對于C，定義域為{x|x≠0}，f(－x)＝log2|x|＝f(x)，故為偶函數(shù)，故C不滿足題意；對于D，定義域為R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，為奇函數(shù)，又y′＝2xln2＋2－xln2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上單調(diào)遞增，故D滿足題意．2．(2023·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則“f(x)是偶函數(shù)”是“|f(x)|是偶函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，根據(jù)這一特征，若f(x)是偶函數(shù)，則|f(x)|是偶函數(shù)，若f(x)是奇函數(shù)，|f(x)|也是偶函數(shù)，所以“f(x)是偶函數(shù)”是“|f(x)|是偶函數(shù)”的充分不必要條件．3．(2022·河南名校聯(lián)盟模擬)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時，f(x)＝4x，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)等于()A．0B．2C．4D．－2答案D解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期為2，∴f(2)＝f(0)＝0，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝SKIPIF1<0＝－2，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝－2.4．(2022·亳州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lgπ)，c＝f(log0.26)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a答案C解析2－0.2<20＝1，lgπ>0，log0.26<0，因為f(－x)＝(－x)2＋log2|－x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，所以只需判斷2－0.2，lgπ，－log0.26的大小即可，－log0.26＝log0.2eq\f(1,6)>1,2－1<2－0.2<20＝1,0<lgπ<lgeq\r(10)＝eq\f(1,2)，所以－log0.26>1>2－0.2>lgπ>0，當(dāng)x>0時，y＝x2，y＝log2x都單調(diào)遞增，所以f(x)＝x2＋log2|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以c＝f(log0.26)＝f(－log0.26)>a＝f(2－0.2)>b＝f(lgπ)．5．(2021·全國乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x＋1,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x－1)＋1.6．(多選)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對?x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝log2(2－x)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的一個周期為4B．f(2022)＝1C．當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)＝－log2(4－x)D．函數(shù)f(x)在[0,2021]內(nèi)有1010個零點答案AC解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對?x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為4，故A正確；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B錯誤；當(dāng)x∈[2,3]時，x－2∈[0,1]，則f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正確；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝f(2021)＝0，于是函數(shù)f(x)在[0,2021]內(nèi)有1011個零點，故D錯誤．7．寫出一個定義域為R，周期為π的偶函數(shù)f(x)＝________.答案cos2x(答案不唯一)解析y＝cos2x滿足定義域為R，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，且為偶函數(shù)，符合要求．8．若函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則不等式f(lnx)＋f(lnx－1)>0的解集是________．答案(eq\r(e)，＋∞)解析因為f(x)＝ex－e－x，定義域為R，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其為奇函數(shù)，又y＝ex，y＝－e－x均為增函數(shù)，故f(x)為R上的增函數(shù)，則原不等式等價于f(lnx)>f(1－lnx)，也即lnx>1－lnx，整理得lnx>eq\f(1,2)，解得x>eq\r(e)，故不等式的解集為(eq\r(e)，＋∞)．9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1<a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]．10．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)．(1)證明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)解當(dāng)x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解f(0)＝0,f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0.11．(2023·廊坊模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足：?x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，則下列結(jié)論錯誤的是()A．f(0)＝2 B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)為奇函數(shù) D．f(2)＝－1答案C解析因為?x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A對；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因為f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，C錯，B對；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D對．12．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足：①對于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝eq\f(1,fx)；②函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；③當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)＝x＋ex，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)))從小到大的排列是________．答案f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))解析由題意知f(x＋1)＝eq\f(1,fx)，則f(x＋2)＝eq\f(1,fx＋1)＝f(x)，故函數(shù)y＝f(x)的周期為2，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(2,3)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(3,4)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))，∵當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)＝x＋ex單調(diào)遞增，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4