新高考數(shù)學一輪復習講義第3章　§3.5　利用導數(shù)研究恒(能)成立問題（原卷版）

§3.5利用導數(shù)研究恒(能)成立問題考試要求恒(能)成立問題是高考的?？伎键c，其中不等式的恒(能)成立問題經常與導數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度略大．題型一分離參數(shù)求參數(shù)范圍例1已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.(1)當a＝1時，求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求實數(shù)a的取值范圍．思維升華分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略(1)分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝eq\f(lnx,x).(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求實數(shù)a的取值范圍．題型二等價轉化求參數(shù)范圍例2已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx.(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)若x＝1為函數(shù)f(x)的極值點，當x∈[e，＋∞)時，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．思維升華根據(jù)不等式恒成立構造函數(shù)轉化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解．跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其導函數(shù)，其中a∈R.(1)若f(x)在(－∞，0)上單調遞減，求a的取值范圍；(2)若不等式f(x)≤f′(x)對?x∈(－∞，0)恒成立，求a的取值范圍．題型三雙變量的恒(能)成立問題例3已知函數(shù)f(x)＝ax2lnx與g(x)＝x2－bx.(1)若f(x)與g(x)在x＝1處有相同的切線，求a，b，并證明f(x)≥g(x)；(2)若對?x∈[1，e]，都?b∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))使f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范圍．思維升華“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價轉換有(1)?x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(2)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(3)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2－x－1,ex)(x∈R)，a為正實數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若?x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．課時精練1．已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex.(1)求f(x)在[－1,3]上的最值；(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2對x∈[2，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．2．已知函數(shù)f(x)＝alnx－x(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)當a>0時，設g(x)＝x－lnx－1，若對于任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有f(x1)<g(x2)，求a的取值范圍．3．已知函數(shù)f(x)＝xlnx.(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)當x≥1時，f(x)≤ax2－a，求a的取值范圍．4．已知函數(shù)f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的極值