新高考數(shù)學一輪復習知識總結(jié) 復數(shù)（含解析）

第七章復數(shù)知識點一：復數(shù)的基本知識1、虛數(shù)單位SKIPIF1<0，規(guī)定它的平方等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.2、形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的數(shù)叫做復數(shù)，記作：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；當b=0時，SKIPIF1<0是實數(shù)SKIPIF1<0；當b≠0時，SKIPIF1<0叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，SKIPIF1<0叫做純虛數(shù).3、兩個復數(shù)相等的充要條件：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.4、復數(shù)的幾何意義：復數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0復平面內(nèi)的點SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面向量SKIPIF1<05、復數(shù)的模：設SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則向量SKIPIF1<0的長度叫做復數(shù)SKIPIF1<0的模，記作SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.要點詮釋：（1）SKIPIF1<0的周期性：如果n∈N，則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）復數(shù)SKIPIF1<0的共軛復數(shù)，記為SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.知識點二：復數(shù)的運算設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0要點詮釋：（1）設ω＝SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(n∈N+)等；（2）復數(shù)求解計算時，要靈活利用i、ω的性質(zhì)，或適當變形，創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化為關于i、ω的計算問題．比如SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（3）作復數(shù)除法運算時，有如下技巧：SKIPIF1<0．類型一復數(shù)的概念【例1】若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0的值分別等于()．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，選A．【答案】A類型二復數(shù)的運算【例2】SKIPIF1<0是虛數(shù)單位，復數(shù)SKIPIF1<0()．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.【答案】A類型三復數(shù)的模【例3】(1)設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.2(2)若復數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0()．A．1 B.2 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.(2)方法一：設SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由復數(shù)相等的條件得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.方法二：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【答案】(1)B (2)C類型四復數(shù)的幾何意義【例4】(1)在復平面內(nèi)，復數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于().A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限(2)設復數(shù)SKIPIF1<0在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()．A.-5 B.5 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0的共軛復數(shù)為SKIPIF1<0，對應的點為SKIPIF1<0，在第四象限.(2)由題知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【答案】(1)D (2)A類型五共軛復數(shù)【例5】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的共軛復數(shù)為().A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，根據(jù)共軛復數(shù)的定義，其共軛復數(shù)是SKIPIF1<0.【答案】D類型六復數(shù)方程【例6】若SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的實系數(shù)方程SKIPIF1<0的一個復數(shù)根，則()．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】根據(jù)實系數(shù)方程的根的特點知SKIPIF1<0也是該方程的另一個根，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選D．【答案】D類型七與復數(shù)有關的創(chuàng)新型問題復數(shù)是高中數(shù)學的重要組成部分，創(chuàng)新是高考的熱點之一，給復數(shù)定義一個新運算，它既能考查同學們的創(chuàng)新思維，又能考查復數(shù)與其他知識的綜合．1.新定義型【例7】定義新運算SKIPIF1<0，則滿足關系SKIPIF1<0的復數(shù)SKIPIF1<0是().A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【答案】D【點評】本題給出了一個新定義運算，根據(jù)新定義運算構造出關于SKIPIF1<0的方程，從而將問題順利解決．2.結(jié)論開放型給出多個結(jié)論，需要同學們對每個備選結(jié)論判斷真?zhèn)?，寫出滿足條件的結(jié)論.【例8】對于任意兩個復數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義運算“SKIPIF1<0”為SKIPIF1<0.設非零復數(shù)SKIPIF1<0在復平面內(nèi)對應的點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為坐標原點，若SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的大小為____.【解析】方法一：設非零復數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則得點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由題意知SKIPIF1<0不為原點，且由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0由兩直線垂直的充要條件，知直線SKIPIF1<0垂直.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.方法二：設非零復數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為非零向量.由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0．設向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0類型八分類解析復數(shù)與三角函數(shù)的交匯問題在知識網(wǎng)絡交匯處設計命題，貼近課本，立意高，情境新同時有較強地考查同學們的思維能力的功能，以及考查同學們對中學數(shù)學不同分支的重要基礎知識聯(lián)系的深層次理解及運用能力下面就復數(shù)與三角函數(shù)的交匯試題分類解析.1.復數(shù)概念與三角函數(shù)的交匯【例9】設復數(shù)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0為何值時，(1)SKIPIF1<0為實數(shù)；(2)SKIPIF1<0為虛數(shù)；(3)SKIPIF1<0為純虛數(shù).【解析】(1)SKIPIF1<0為實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為實數(shù).(2)SKIPIF1<0為虛數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為虛數(shù).(3)SKIPIF1<0為純虛數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為純虛數(shù)．2.復數(shù)共軛與三角函數(shù)的交匯【例10】已知復數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為何值時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共軛？【解析】由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共軛知SKIPIF1<0由①得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.由②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.綜上可知，當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共軛.【點評】本題通過利用復數(shù)共扼，建立三角函數(shù)方程組，通過結(jié)合三角函數(shù)套式可求得結(jié)果.3.復數(shù)相等與三角函數(shù)的交匯【例11】實數(shù)SKIPIF1<0有以下關系：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0的最大值為().A.30 B.15 C.25 D.100【解析】由復數(shù)相等知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0