自動(dòng)控制理論課后習(xí)題答案

自動(dòng)控制理論習(xí)題參考答案

第二章

《自動(dòng)控制原理》課后答案

U<s)RRCS+R/CS+1

3(s)R、R[CS+&+R,/?!+R

U,(s)R、R,C、C,s-+(/?!C,+/?!C2+R,C、)s+1

U?(s)_HCs+1幽=△1

q(s)―RCs5

2-3設(shè)激磁磁通。=K//恒定

?(s)=_______________________________________

%)LJs2+(Lf+R,J)s+R,f+

2萬(wàn)

2.4皿_______________________________________________________

R(,iL^+ilLJ+Rjy+(&/+*典/}+Kg

2-5id-2.19x10^=0.084。-0.2)

28(a)C』)=⑹+G2G3⑹-I)=__________Gi&Gs+Gj__________

-R(s)-1+(G|+H1)63/?(s)~\+GyG2H,+(G2G3+G4XH2+G1H3)

2-9框圖化簡(jiǎn)中間結(jié)果如圖A-2-1所示。

%+0.3s+1

1.2+2s

圖A-2-I題2-9框圖化簡(jiǎn)中間結(jié)果

%)0.75+0.42

稱)/+(0.9+0.7%+(1.18+0.42^)5+0.52

210生=__________/G2G3___________+G

(-602%+4

Rs)1+G2HXG2G3H2

2-11系統(tǒng)信號(hào)流程圖如圖A-2-2所示。

圖A-2-2題2-11系統(tǒng)信號(hào)流程圖

C|(s)=__________G|GG___________

R(s)—1+GC，+G「G、G,GaG、H,H]

<(s)G℃G5GM

R(s)1+GtG2+G4-G}G2Gfi5H.H2

2-12(a)—=----------(abcdef+agdef+abcdi+adgi)(b)

R\s)1-cdh

C?=________________g________________

R(s)R、C、R、C2s+(R1G+R2cl+R2c2)$+1

2-13由選加原理，可得

1

c(s)=-7-------s一[G]G2M.s)+G23(S)-G2D2(s)_G|G2“1￡>3(5)]

1

1TV1W1T"2"2

第三章

3-1分三種情況討論

(a)當(dāng)<>1時(shí)

S[=七一J72-=一(7+-1卜.

”,r卜-廬)例/一(q+J[2_],“r

c(t)=t--+.-j--

g2憶-助[e-同-1)9+次-11

(b)當(dāng)0<4<1時(shí)

4=七—/,52=-(<+

n，

c(f)=t----e~^cosJ]-]2.j+12，：_sincont

Qi%J1—，2①

(______2^7^

sina)t-arctg

nl-2<2

(c)當(dāng)4=1時(shí)

4.2=—%

^=t-—+—e-a>-'1+架

c設(shè)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，有

叫叫

(s)=Ms)用聾

e—5」.，心+2血)，=劣

系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為

ss~+23“s+①；con

3-2(1)Kp=5Q,KV=Q,Ka=0(2)Kp=%K、,=K,K“=0

(3)Kp=°o,Kr=oo,Ku=余(4)Kp=8，Kv=短，此=°

3-3首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

E(s)=15(0.k4-1)

①山)=

R(s)1+G(s)0.152+S+10

誤差系數(shù)可求得如下

八，一不/\「s(0.1s+l)c

C?=lim①(s)=lim-----------=0

0―。20.152+5+10

?..d不(、..10(0.25+1).

C,=hm——①(s)=hm--------------=n0.1

1ds(0.1/+s+io)2

2(0.152+5+10)-20(0.25+1)2

G=i用&Ok”四=0

(0.1S?+5+10)3

(1)r(t)=R0,此時(shí)有r,(f)=R°,rs(t)=r(t)=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

e“(f)=Co4(f)=。,摩0

⑵r(t)=R0+R",此時(shí)有仆?)=凡+/?"，加=&,弓(f)=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

%(f)=C/(f)+GUf)=O」凡，^0

(3)?f)=/?o+Rj+g&f2,此時(shí)有(⑴=凡+火工+(&>，?(/)=/?,+Rt,r(t)=R

2s2于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)

為

Q

=CorW+C,r.(f)+寸r.(t)=0.1(/?,+R4,f>0

3-4首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

E(s)15(0.15+1)

①,(s)=

R(s)1+G(s)O.Lv2+5+500

誤差系數(shù)可求得如下

?.../\..s(0.ls+1)

①；

C?=Inn(s)=hm-----2------------=0

o一。八/M0o.ls+5+500

「r△小500(0.25+1)1

C.—lim—C>?(s)=lim----------------------.......

'…ds…。(0.11+s+500)2500

cr"2100C0.152+5+500)-1000(0.25+1)298

C,=hm--①(s)=hm——---------------——---------?............—

21。ds?(O.Lv2+5+500)35007

r(r)=sin5t

r(f)=5cos5t

匕⑺=-25sin5t

穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

rQ~i

esr(r)=C0一或x25+,一sin5f+[Gx5----]cos5f

=[4.9xIO,+??.]sin5r+[lxl02----]cos5r

3-6系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為C=至

以

加入比例一微分環(huán)節(jié)后

C(s)=[R(s)(l+as)-C(s)]G(s)

%)二空駕Ms)=(1詈叱"(s)

E(s)—號(hào)&(5)

s,+21y“s+q

M3=4

s

esr=3nsE(s)=~~~

ST°COn

可見(jiàn)取a=4^,可使/r=0

3-7?=0.598,?=19.588

3-8G(s)――i---------x

s(s-+4s+6)

3-9按照條件(2)可寫出系統(tǒng)的特征方程

(5+1-j)(s+1+j)(s+a)=(52+2s+2)(s+a)

=5+(2+ci^s-+(2+2a)s+2a=0

將上式與1+G(s)=0比較，可得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

()s卜+(2+a)s+(2+2a)]

根據(jù)條件(1),可得

解得a=1,于是由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

GG)=—r-：~----1

s卜+3s+4]

(1)M=46.6%/=7.99s(2%),(o=2.12rad/s，C=0.24)

3-10,、'，、

⑵M,=16.3%,t,=8s(2%),(0.=lrad/s，7=0.5)

(3上=15i,(%=0.4rad/s，C=1.25),過(guò)阻尼系統(tǒng),無(wú)超調(diào)。

3-11(1)當(dāng)。=0時(shí)，4=0.354,?y“=2四。

(2)不變，要求，=0.7,求得。=0.25

3-121.單位脈沖響應(yīng)

(a)無(wú)零點(diǎn)時(shí)

c(f)=/〒"卬sin"干已前＞0)

(b)有零點(diǎn)z=-l時(shí)

山)="sin［行27V+arctg半老］(/20)

足2^^,6

比較上述兩種情況，可見(jiàn)有z=-1零點(diǎn)時(shí)，單位脈沖響應(yīng)的振幅較無(wú)零點(diǎn)時(shí)小，而且產(chǎn)生相移，相移角為

arctg

1一血

2.單位階躍響應(yīng)

(a)無(wú)零點(diǎn)時(shí)

(b)有零點(diǎn)％=—1時(shí)

c(f)=1+1一照加e"sin(ks.八0)

加了z=-1的零點(diǎn)之后，超調(diào)量Mp和超調(diào)時(shí)間/p都小于沒(méi)有零點(diǎn)的情況。

3-13系統(tǒng)中存在比例-積分環(huán)節(jié)+,當(dāng)誤差信號(hào)e(f)=0時(shí)，由于積分作用，該環(huán)節(jié)的輸出保持不變，故系

統(tǒng)輸出繼續(xù)增長(zhǎng)，知道出現(xiàn)e（f）<0時(shí)，比例-積分環(huán)節(jié)的輸出才出現(xiàn)減小的趨勢(shì)。因此，系統(tǒng)的響應(yīng)必然存在超調(diào)現(xiàn)

象。

3-14在r（f）為常量的情況下，考慮擾動(dòng)〃對(duì)系統(tǒng)的影響，可將框圖重畫如下

N（s）*小r&

-_**s,zS+l）

一K|（￥+l）_

s

圖A-3-2題3-14系統(tǒng)框圖等效變換

C（s）=-77--------卜（---------N（s）

S匕2§+1.），+K]K2（qS+1）

根據(jù)終值定理,可求得〃（。為單位階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0,〃（。為單位斜坡函數(shù)時(shí)、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

從系統(tǒng)的物理作用上看，因?yàn)樵诜答伝芈分杏幸粋€(gè)積分環(huán)節(jié)，所以系統(tǒng)對(duì)階躍函數(shù)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。在反饋

回路中的積分環(huán)節(jié)，當(dāng)輸出為常量時(shí)，可以在反饋端產(chǎn)生一個(gè)與時(shí)間成正比的信號(hào)以和擾動(dòng)信號(hào)平衡，就使斜坡函數(shù)

的擾動(dòng)輸入時(shí)，系統(tǒng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差與時(shí)間無(wú)關(guān)。

3-15（1）系統(tǒng)穩(wěn)定。

（2）勞斯陣列第一列符號(hào)改變兩次，根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（3）勞斯陣列第一列符號(hào)改變兩次，根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（4）系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，由輔助方程A（s）=2$4+6s2+4可求得系統(tǒng)的兩對(duì)共筑虛數(shù)極點(diǎn)

Si2=±力53,4=±八歷。須指出，臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在實(shí)際中是無(wú)法使用的。

3-16（1）K>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）K>0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）0<Kv3時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

3-17系統(tǒng)的特征方程為2竊3+?+2）1+（K+l）s+K=0

(r+2)(K+l)-2水”0

列寫勞斯表，得出系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足的條件

r+2

由此得到7■和K應(yīng)滿足的不等式和條件

2(K+1)

0<?-<--------,K〉l,"2

K-\

K234591530100

r643.332.52.282.132.04

根據(jù)列表數(shù)據(jù)可繪制K為橫坐標(biāo)、T為縱坐標(biāo)的曲線，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域?yàn)閳DA-3-3中的陰影部分。

圖A-3-3閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域

3-18根據(jù)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

K(s+3)

s(s~+2s+2)

得到特征方程53+2s2+(K+2)5+3K=0,列寫勞斯表

12+K

5223K

s'4-K

s°K

根據(jù)勞斯判據(jù)可得系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍0<K<4

當(dāng)K=4時(shí)系統(tǒng)有一對(duì)共聊虛數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)產(chǎn)生等幅振蕩，因此臨界增益K,=4。

根據(jù)勞斯表列寫K,=4時(shí)的輔助方程2s2+12=0

解得系統(tǒng)的一對(duì)共挽虛數(shù)極點(diǎn)為“2=±jV6,系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率即為痛加1/5。

第四章

4-2(1)G(s)=

S(6+l)(s+3)

分離點(diǎn)(一0.45,川)，與虛軸交點(diǎn)土jg(K|=⑵。常規(guī)根軌跡如圖A-4-2所示。

圖A-4-2題4-2系統(tǒng)(1)常規(guī)根軌跡

(2)G(s)

s(s+4)(s2+4s+20)

分離點(diǎn)(—2J0),(-2±J2.5),與虛軸交點(diǎn)土癡(儲(chǔ)=260)。常規(guī)根軌跡如圖A43所示。

jwiI

Vi4

圖A-4-3題4-2系統(tǒng)(2)常規(guī)根軌跡

4-3(1)G(s)=K、

1(s+2)

分離點(diǎn)為(0,川)；常規(guī)根軌跡如圖A-4-4(a)所示。從根軌跡圖可見(jiàn)，當(dāng)KI〉0便有二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平

面。所以無(wú)論K取何值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

圖A43題4-3系統(tǒng)”)根筑跡fflA-4-5題4-3系統(tǒng)(2)根挑遞

圖A-4-4題4-3系統(tǒng)常規(guī)根軌跡

⑵G(5)=坐駕

$-(s+2)

分離點(diǎn)為(O,JO);常規(guī)根軌跡如圖A-4-4(b)所示。從根軌跡圖看，加了零點(diǎn)z=-l后，無(wú)論K取何值，系統(tǒng)

都是穩(wěn)定的。

4-7系統(tǒng)特征方程為

s2+(l+a)s+l=0

以a為可變參數(shù)，可將特征方程改寫為

從而得到等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

as

根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的方法，可求得分離點(diǎn)為（-1,川），出射角為°戶=不150°。參數(shù)根軌跡如圖A48所示。

圖A-4-8題4-7系統(tǒng)參數(shù)根軌跡

（1）無(wú)局部反饋時(shí)（。=0）,單位速度輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為e*=1；阻尼比為，=0.5；調(diào)節(jié)時(shí)間為

ts=6s（5%）

（2）a=0.2時(shí)，esr=1.2,<=0.6,f,=5s（5%）

比較可見(jiàn)，當(dāng)加入局部反饋之后，阻尼比變大，調(diào)節(jié)時(shí)間減小，但穩(wěn)態(tài)誤差加大。

（3）當(dāng)a=l時(shí)，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)有二重閉環(huán)極點(diǎn)“2=-1。

4-9主根軌跡如圖A-4-9所示。系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0<K<14.38。

圖A-4-9題4-9系統(tǒng)主根軌跡

4-10G（S）"（S）=2^

s

主根軌跡分離點(diǎn)（-J,/。］；與虛軸交點(diǎn)±_/2，臨界K值爰。主根軌跡如圖A-4-10所示。

圖A-4-10題4-10系統(tǒng)主根軌跡

4-11(1)G(S)"(S)=K?9的根軌跡如圖A4-II所示。

G(s)“(s)=K(l—”)根軌跡

圖A-4-11

s

(2)G(s)〃(s)=

分離點(diǎn)f=2（T+⑹,川］:會(huì)合點(diǎn)（2（1+/）,川］；與虛軸交點(diǎn)土,2.臨界穩(wěn)定K值為2。根軌跡

Ir）IrJrr

如圖A-4-12所示。

圖A-4-12G(s)，(s)=K(「O'/2)s)根軌跡

s(l+("2)s)

⑶G（s）”（s）=扁

(1)

分離點(diǎn)-——，根軌跡如圖A-4-13所示。

I2r,；0j

圖A-4-13G(s)H(s)=/長(zhǎng)根軌跡

討論：當(dāng)7較小時(shí)，且K在某一范圍內(nèi)時(shí)，可取近似式7^。若工較大,取上述近似式誤差就大，此時(shí)應(yīng)取近似

S（資+1）

K(l--s

式」~~V

v+l5

4-12系統(tǒng)的根軌跡如圖A-4-14所示。

-s

圖A-4-14題4-12系統(tǒng)的根軌跡

4-13當(dāng)0＜。＜,時(shí)、有兩個(gè)分離點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)分離點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有分離點(diǎn)。系統(tǒng)的根軌跡族如圖

999

A-4-15所示。

圖A4-15題4-13系統(tǒng)的根軌跡族

第五章

5/⑴G（S"WT）

|G（j0）r——r

69V1+CD~

NG（/3）=-90°-arctgco

co0.51.01.52.05.010.0

\G（jco）1.790.7070.370.2240.0390.0095

NG（/?y）-116.6°-135°-146.3°-153.4°-168.7°-174.2°

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖A-5-1所示。

“03

圖A-5-1題5-1系統(tǒng)（1）極坐標(biāo)圖

⑵G（S”（1+S，1+2S）

1

|G（j。）=

Vl+?y2Vl+4（y2

Z.G{jco）=-arctgco-arctglco

0）00.20.50.81.02.05.0

G（j（y）10.910.630.4140.3170.1720.0195

NG（j①）0°-15.6°-71.6°-96.7°-108.4°-139.4°-162.96

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖A-5-2所示。

圖A-5-2題5-1系統(tǒng)（2）極坐標(biāo)圖

⑶G（s）=s（s+1—+1）

|G（加）=-/「

-Jl+〃J1+4方

ZG（j69）=-90°-arctgco-arctg2co

CD0.20.30.5125

4.552.741.270.3170.0540.0039

NG（曲-105.6°-137.6°-161°-198.4°-229.4°-253°

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖A-5-3所示。

圖A-5-3題5-1系統(tǒng)（3）極坐標(biāo)圖

（4）G（5）=—77----k------7

s~（l+s）（l+2s）

|G（769）=----/廠

#Jl+o2J1+4療

ZG（j7y）=-180°-arctgco-arctglco

（O0.20.250.30.50.60.81

|G（㈤22.7513.87.862.520.530.650.317

NG（j①）-195.6°-220.6°-227.6°-251.6°-261.6°-276.7°-288.4°

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖A-5-4所示。

圖A-5-4題5-1系統(tǒng)（4）極坐標(biāo)圖

5-2⑴G（s）=詼/

系統(tǒng)的伯德圖如圖A-5-5所示。

圖A-5-5題5-2系統(tǒng)（1）伯德圖

（2）G（s）=7---------------；

（1+加J）0+，2時(shí)

系統(tǒng)的伯德圖如圖A-5-6所示。

圖A-5-6題5-2系統(tǒng)（2）伯德圖

1

⑶G(s)=

j①(1++3)

系統(tǒng)的伯德圖如圖A-5-7所示。

圖A-5-7題5-2系統(tǒng)（3）伯德圖

1

⑷G(s)=

(jco)2(l+jco\\+j2co)

系統(tǒng)的伯德圖如圖A-5-8所示。

40drfdec

圖A-5-8題5-2系統(tǒng)（4）伯德圖

1

5-3G（s）

5（0.15+1X0.55+1）

順/同一-------------

QJ1+（0.3）2Ji+（（）5⑼2

ZG（j69）=-90°-arctg^Aco-arctgQ.5co

0）0.51.01.52.03.05.010.0

\G（jco]17.38.95.33.51.770.670.24

NG（J。）-106.89°-122.3°-135.4°-146.3°-163°-184.76°-213.7°

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖A-5-9所示。

圖A-5-9題5-3系統(tǒng)極坐標(biāo)圖

系統(tǒng)的伯德圖如圖A-5-10所示。

圖AS10題5-3系統(tǒng)伯德圖

相角裕度了?0.7°，增益裕量GM=355dB

5-4(1)G(〃y)=」一，此為非最小相位環(huán)節(jié)，其幅頻、相頻特性表達(dá)式為

j①一1

="7=="

y/1+(V

ZG(j69)=-180°-\-arctgCD

該環(huán)節(jié)的伯德圖如圖A-5-11所示。

20-

圖A-5-11題5-4伯德圖

(2)慣性環(huán)節(jié)G0?y)=」一是最小相位的，其幅頻、相頻特性表達(dá)式為

加+1

1

順加)

1+/

ZG（jco）=-arctgco

該環(huán)節(jié)的伯德圖如圖A-5-11點(diǎn)劃線所示。由圖可見(jiàn)，兩個(gè)環(huán)節(jié)具有相同的幅頻特性，相頻特性有根本區(qū)別。

5-7(a)G(s)=麗，系統(tǒng)的相頻特性曲線如圖A-5-12所示。

0.55+1

圖A-5-12題5-7G（s）=屈相頻特性曲線

'/0.5s+1

z\3.92

（b）G（s）=-y------；系統(tǒng)的相頻特性曲線如圖A-5-13所示。

s（0.5s+1）

ano

圖A-5-13題5-7G（s）=/相頻特性曲線

'，s（0.5s+l、）

（c）G（s）=°乎s+D、,系統(tǒng)的相頻特性曲線如圖A-5-14所示。

52（0.55+1）

圖A-5-14題5-76（5）=綽至±2相頻特性曲線

5-8（a）閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（b）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（c）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（d）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

5-9G（s）=-7——0------；

''s（l+sXl+0.5