2024-2025學年新教材高中數(shù)學第2章一元二次函數(shù)方程和不等式測評含解析湘教版必修第一冊

PAGEPAGE8第2章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={x|x2<1},B={x|x>10},則A∩B=()A.(0,1) B.(-1,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)答案A解析∵A={x|x2<1}={x|-1<x<1},B={x|x>0},∴A∩B={x|0<x<1},即A∩B=(0,1).2.(2024安徽黃山高一期末)下列不等式正確的是()A.若a<b,則a2<b2B.若a>b,則ac>bcC.若a>b>0,c>d>0,e>f>0,則ace>bdfD.若a>b>c>0,d>e>f>0,則答案C解析對于A,若a=-3,b=2,則a2>b2,錯誤;對于B,若c=0,則ac=bc,錯誤;對于C,若a>b>0,c>d>0,e>f>0,由不等式的基本性質(zhì)可得ace>bdf,正確;對于D,若a=3,b=2,c=1,d=3,e=2,f=1,則=1,錯誤.故選C.3.已知實數(shù)a,b滿意1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,則4a+2b的取值范圍是()A.[0,10] B.[2,10] C.[0,12] D.[2,12]答案B解析因為4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,即2≤4a+2b≤10.4.(2024江西景德鎮(zhèn)期末)在區(qū)間,2上,不等式mx2-4x+1<0有解,則實數(shù)m的取值范圍為()A.(-∞,4] B.-∞,C.(-∞,4) D.(-∞,3)答案C解析在區(qū)間,2上,不等式mx2-4x+1<0有解等價于當x∈,2時,不等式m<-有解.設(shè)t=,則t∈,3,所以m<-t2+4t=-(t-2)2+4,令y=-(t-2)2+4,則y的最大值是4,所以m的取值范圍是(-∞,4).故選C.5.若兩個正實數(shù)x,y滿意=1,且不等式x+<m2-3m有解,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-1,4) B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)答案C解析x+=2+≥2+2=4,當且僅當y=4x=8時等號成立,則x+≥4,當且僅當y=4x=8時等號成立,不等式x+<m2-3m有解,則m2-3m>4,解得m<-1或m>4.6.(2024安徽包河校級期中)若方程-x2+ax+4=0的兩個實根中一個小于-1,另一個大于2,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,3) B.[0,3]C.(-3,0) D.(-∞,0)∪(3,+∞)答案A解析由題意,可得所以0<a<3.故選A.7.關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)答案A解析∵關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),∴∴關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化為(x+1)(x-3)>0,解得x<-1或x>3.∴關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}.故選A.8.(2024湖南岳麓校級期末)已知正數(shù)x,y滿意20x+21y=xy,則的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析由20x+21y=xy得=1,==2+≥2+2=2+2=4,當且僅當=1,即x=42,y=40時等號成立.故選C.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.(2024山東魚臺第一中學高一期中)若正實數(shù)x,y滿意x>y,則有下列結(jié)論,其中正確的有()A.xy<y2 B.x2>y2C.(m>0) D.答案BCD解析A項,由于x,y為正實數(shù),且x>y,兩邊乘以y得xy>y2,故A錯誤;B項,由于x,y為正實數(shù),且x>y,所以x2>y2,故B正確;C項,由于x,y為正實數(shù),且x>y,m>0,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,則y(x+m)<x(y+m),所以成立,故C正確;D項,由于x,y為正實數(shù),且x>y,所以x>x-y>0,取倒數(shù)得0<,故D正確.10.若關(guān)于x的方程kx2+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k的可能取值有()A.-1 B.0 C.1 D.2答案CD解析∵x的方程kx2+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0,解得k>-1,∴k的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞),故k可以取1,2.11.(2024湖南長沙模擬)設(shè)實數(shù)a,b,c滿意b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則下列不等式成立的是()A.c<b B.b≥1C.b≤a D.a<c答案BD解析由題意知,b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,兩式相減得2b=2a2+2,即b=a2+1,則b≥1,故B正確;又b-a=a2+1-a=a-2+>0,∴b>a,故C錯誤;∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b,故A錯誤;從而c≥b>a,故D正確.故選BD.12.設(shè)正實數(shù)a,b滿意a+b=1,則()A.有最大值B.有最小值3C.a2+b2有最小值D.有最大值答案ACD解析,當且僅當a=b=時等號成立,故A正確;(3a+3b)=[(a+2b)+(2a+b)]=2+≥2+2=,當且僅當a=b=時等號成立,故B錯誤;a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×2=,當且僅當a=b=時等號成立,故C正確;()2=a+b+2≤2(a+b)=2,則,當且僅當a=b=時等號成立,故D正確.故選ACD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024山東日照高一期末)不等式>0的解集為.

答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析由>0,解得x<0或x>1,即原不等式的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).14.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=.

答案20解析每年購買次數(shù)為.總費用=·4+4x≥2=160,當且僅當=4x,即x=20時等號成立,故x=20.15.(2024河南高二期末)已知x,y均為正實數(shù),且滿意=1,則x+y的最小值為.

答案6解析由=1可得xy=x+y+3.又xy≤,∴≥x+y+3,即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,∴(x+y-6)(x+y+2)≥0,∴x+y≤-2或x+y≥6.又x,y均為正實數(shù),∴x+y≥6(當且僅當x=y=3時等號成立),即x+y的最小值為6.16.(2024浙江寧波高一期中)已知函數(shù)y=x2+ax+1.若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,1]恒成立,則實數(shù)a的最小值為;若x2+ax+1=0的一個根比1大,另一個根比1小,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案-2(-∞,-2)解析不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,1]恒成立,即為-a≤x+對一切x∈(0,1]恒成立.又x+≥2(當且僅當x=1時等號成立),所以-a≤2,即a≥-2,所以a的最小值為-2;若x2+ax+1=0的一個根比1大,另一個根比1小,則2+a<0,即a<-2.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)解下列不等式:(1)x2-4x+3≤0;(2)≥0.解(1)x2-4x+3≤0,即(x-3)(x-1)≤0,解得1≤x≤3,所以不等式的解集為{x|1≤x≤3}.(2)≥0等價于解得x≤-2或x>,所以不等式的解集為.18.(12分)已知a>0,b>0,且a≠b,比較與a+b的大小.解-(a+b)=-b+-a==(a2-b2)=(a2-b2).∵a>0,b>0,a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.∴-(a+b)>0,∴>a+b.19.(12分)(2024湖南天心校級期末)已知m>0,n>0,關(guān)于x的不等式x2-mx-20<0的解集為{x|-2<x<n}.(1)求m,n的值;(2)正實數(shù)a,b滿意na+mb=2,求的最小值.解(1)依據(jù)題意,不等式x2-mx-20<0的解集為{x|-2<x<n},即方程x2-mx-20=0的兩根為-2和n,則有解得(2)正實數(shù)a,b滿意na+mb=2,即10a+8b=2,即5a+4b=1,所以=(5a+4b)=5+≥5+2=9,當且僅當5a=2b時等號成立.故的最小值為9.20.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)假設(shè)ax2+bx+3≥0的解集為R,求實數(shù)b的取值范圍.解(1)由題意知,1-a<0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的兩根,∴解得a=3.∴不等式2x2+(2-a)x-a>0即2x2-x-3>0,解得x<-1或x>.∴所求不等式的解集為xx<-1或x>.(2)ax2+bx+3≥0即3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集為R,則b2-4×3×3≤0,解得-6≤b≤6.故b的取值范圍為{b|-6≤b≤6}.21.(12分)(2024四川宜賓期末)某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量,投入90萬元安裝了一臺新設(shè)備,并馬上進行生產(chǎn),預料運用該設(shè)備前n(n∈N+)年的材料費、修理費、人工工資等共為n2+5n萬元,每年的銷售收入為55萬元.設(shè)運用該設(shè)備前n年的總盈利額為y萬元.(1)寫出y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式,并估計企業(yè)運用該設(shè)備從第幾年起先盈利.(2)運用若干年后,對該設(shè)備處理的方案有兩種,方案一:當總盈利額達到最大值時,該設(shè)備以10萬元的價格處理;方案二:當年平均盈利額達到最大值時,該設(shè)備以50萬元的價格處理.問哪種方案處理較為合理,并說明理由.解(1)由題意得y=55n-90-n2+5n=-n2+50n-90.由-n2+50n-90>0,即n2-20n+36<0,解得2<n<18.由于n∈N+,故企業(yè)運用該設(shè)備從第3年起先盈利.(2)方案一:總盈利額y=-(n-10)2+160,當n=10時ymax=160.故方案一總利潤為160+10=170(萬元),此時n=10.方案二:年平均利潤=50-n+≤50-×2=20,當且僅當n=6時等號成立.故方案二總利潤為6×20+50=170(萬元),此時n=6.比較兩種方案,獲利都是170萬元,但由于第一種方案須要10年,而其次種方案須要6年,故選擇其次種方案更合適.22.(12分)(2024云南曲靖其次中學高一期末)設(shè)y=x2-(a-1)x+a-2(a∈R).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(2)解關(guān)于x的不等式x2-(a-1)x+a-2<0.解(1)由題意,不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2對于一切實數(shù)x恒成立,等價于x2-(a-1)x+a≥0對于一切實數(shù)x恒成立.所