天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)10月月考試題含解析

PAGE19-天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)10月月考試題（含解析）一、選擇題（共9小題：共45分）1.已知集合，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合、，再利用交集和補集的定義求出集合.【詳解】解不等式，即，得，.解不等式，解得，，則，因此，，故選：A.【點睛】本題考查集合的交集與補集的混合運算，同時也考查了指數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是解出問題中所涉及的集合，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.2.“成立”是“成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分條件考點：1．解不等式；2．充分條件與必要條件【此處有視頻，請去附件查看】3.已知，命題，，則（）A.是假命題，B.是假命題，C.是真命題，D.是真命題，【答案】D【解析】試題分析：，當(dāng)，，因此是減函數(shù)，所以，，命題是真命題，是：，故選D．考點：命題的真假，命題的否定．4.已知，，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，所以，選D.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若對于隨意，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為是偶函數(shù)，所以不等式可化為，又在上單調(diào)遞增，所以，而的最小值為1，所以，，解得．6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立，即在恒成立，而在遞減，在遞增，且，即；故選C.7.設(shè)函數(shù)，，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)和的單調(diào)性，利用零點存在定理求出函數(shù)零點的取值范圍，再由函數(shù)的單調(diào)性來得出與的正負(fù).【詳解】，，則函數(shù)為增函數(shù)，，，且，由零點存在定理知.，則，所以，函數(shù)為增函數(shù)，且，，又，由零點存在定理可知.，，因此，，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)值符號的推斷，同時也考查了函數(shù)單調(diào)性與零點存在定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理求出零點的取值范圍，考查分析問題的和解決問題的實力，屬于中等題.8.設(shè)實數(shù)分別滿意，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則在上單調(diào)遞增，且，即，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，由圖象，得，即；故選C.點睛：在涉及超越方程求解問題，往往將其分別成兩個基本函數(shù)圖象的公共點問題，如本題中判定的根的取值范圍，就轉(zhuǎn)化為和的圖象交點問題.9.已知函數(shù)，若關(guān)于方程有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】關(guān)于的方程有兩個解，等價于和有兩個交點，如圖所示：作出函數(shù)的圖象，，，，，由圖可得時，直線與曲線有兩個交點，由圖可得過原點的直線與有兩個交點的臨界位置為兩者相切時，聯(lián)立兩者方程得：，由解得，切點坐標(biāo)為和且，要使直線與拋物線有兩個交點，直線的斜率應(yīng)滿意，綜上可得，故選A.二、填空題（共6小題：共30分）10.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則__________．【答案】【解析】分析：依據(jù)條件先將z的表達式求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算即可.詳解：點睛：考查復(fù)數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.11.綻開式的常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）【答案】-160【解析】【詳解】由，令得，所以綻開式的常數(shù)項為.考點：二項式定理.【此處有視頻，請去附件查看】12.在平面直角坐標(biāo)系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標(biāo)是____.【答案】.【解析】【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點坐標(biāo).【詳解】設(shè)點，則.又，當(dāng)時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，留意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標(biāo)為.【點睛】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)留意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時要特殊留意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不肯定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則不等式的解集是．【答案】【解析】試題分析：由圖知，當(dāng)時，,由得即所以不等式解集為考點：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式14.已知函數(shù)若存在實數(shù)a，使函數(shù)g(x)=f(x)-a有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題意得直線和函數(shù)的圖象有兩個交點，故函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象可得所求的結(jié)果．【詳解】∵有兩個零點，∴有兩個零點，即與的圖象有兩個交點，由可得，或．①當(dāng)時,函數(shù)的圖象如圖所示，此時存在滿意題意，故滿意題意．②當(dāng)時,由于函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意．③當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意．④時,單調(diào)遞增，故不符合題意．⑤當(dāng)時,函數(shù)的圖象如圖所示,此時存在使得與有兩個交點．綜上可得或．所以實數(shù)的取值范圍是．【點睛】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，運用圖象進行求解．對于含有參數(shù)的問題，要留意分類探討的方法在解題中的應(yīng)用，同時還要留意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用．15.函數(shù)，若的解集為，且中只有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為___________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為，即，令，則，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在時取得最小值。由于時，所以結(jié)合圖形可知當(dāng)時，其解中恰好含一個整數(shù)，故應(yīng)填答案。點睛：解答本題的思路是先借助導(dǎo)數(shù)這一工具分析探討函數(shù)的圖像的改變規(guī)律，再將不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示出來，然后借助圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合建立不等式組，然后通過解不等式組從而使得問題獲解。三、解答題（共5小題：共75分）16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再依據(jù)余弦定理求出，進而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因為，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，常常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.17.如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，平面，，，，，為棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出，可證明出；（2）計算出平面和平面的法向量、，然后利用空間向量法計算出二面角的余弦定理，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出其正弦值；（3）設(shè)，計算出，利用空間向量法并結(jié)合條件直線與平面所成角正弦值為，求出的值，即可求出.【詳解】（1）如圖所示，以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，，，.易得，，于是，所以；（2）易得.設(shè)平面的法向量為，,則，消去，得，不妨取，可得法向量.由（1）知，又，可得平面，故為平面的一個法向量.于是，從而，故二面角的平面角的正弦值為；（3）易得，.設(shè)，，則有，可取為平面的一個法向量，設(shè)為直線與平面所成的角，則，于是（舍去），則，所以.【點睛】本題考查異面直線垂直、二面角的計算以及直線與平面所成角的動點問題，可以利用空間向量法來進行等價轉(zhuǎn)化與計算，考查運算求解實力，屬于中等題.18.已知數(shù)列的前項和是，且.數(shù)列是公差不等于的等差數(shù)列，且滿意：，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一問利用題中的條件，類比著寫出，兩式相減求得相鄰兩項的關(guān)系，從而確定出數(shù)列是等比數(shù)列，再令求得首項，利用等比數(shù)列的通項公式求得結(jié)果，對于，利用題中條件求得首項，建立關(guān)于公差的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，其次問涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項積構(gòu)成新數(shù)列的求和方法錯位相減法.詳解：（1）時，，時，，，∴（）是以為首項，為公比的等比數(shù)列，又得：，，因為解得，（2）點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的通項公式以及求和問題，在求解的過程中，要明確遞推公式的利用，要牢記等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的求法，其次問應(yīng)用錯位相減法求和，在求和的過程中，肯定要明確整理之后的括號里的只有項.19.設(shè)函數(shù).（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程f（x）＝x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）遞增區(qū)間是（-2,-1）,（0，+∞），遞減區(qū)間是.（2）m＞e2﹣2．（3）2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．【解析】【分析】（1）已知f（x）＝（1+x）2﹣ln（1+x）2求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），然后令f′（x）＝0，解出函數(shù)的極值點，最終依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；（2）由題意當(dāng)時，不等式f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，從而求出實數(shù)m的取值范圍；（3）將原式變形轉(zhuǎn)化得方程g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象，得到，從而求出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．∵，由f′（x）＞0，得x＞0或-2<x<-1；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0或x<-2．∴f（x）的遞增區(qū)間是（-2,-1）,（0，+∞），遞減區(qū)間是.（2）∵由，得x＝0，x＝﹣2（舍去）由（1）知f（x）在上遞減，在[0，e﹣1]上遞增．又，f（e﹣1）＝e2﹣2，且．∴當(dāng)時，f（x）最大值為e2﹣2．故當(dāng)m＞e2﹣2時，不等式f（x）＜m恒成立．（3）方程f（x）＝x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0．記g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．為使方程f（x）＝x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，只須g（x）＝0在[0，1]和（1，2]上各有一個實數(shù)根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴實數(shù)a的取值范圍是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性、最值及方程根的分布問題，考查了運算求解實力、推理論證實力及分析與解決問題的實力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．20.已知函數(shù)在點處的切線方程為.（1）求、；（2）設(shè)曲線與軸負(fù)半軸的交點為點，曲線在點處的切線方程為，求證：對于隨意的實數(shù)，都有；（3）若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）將點代入切線方程得出，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求出、的值；（2）求出點的坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點處切線對應(yīng)的函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出；（3）求出方程的根，利用函數(shù)的單調(diào)性證明出，設(shè)函數(shù)在原點處的切線對應(yīng)的函數(shù)為，易得的根為，由函數(shù)的單調(diào)性得出，再利用不等式的性質(zhì)可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）將代入切線方程中，有，所以，即，又，所以，若，則，與沖突，故；（2）由（1）可知，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點為.曲線在