專題19.2.3一次函數(shù)與方程不等式（備課件）八年級數(shù)學下冊系列（人教版）

19.2一次函數(shù)第十九章一次函數(shù)導入新課講授新課當堂練習課堂小結

八年級數(shù)學下冊（人教版）

教學課件19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式情境引入學習目標1．認識一次函數(shù)與一元（二元）一次方程（組）、一元一次不等式之間的聯(lián)系．（重點、難點）2．會用函數(shù)觀點解釋方程和不等式及其解（解集）的意義.講授新課一次函數(shù)與一元一次方程一32121-2Oxy-1-13

問題1下面三個方程有什么共同特點？你能從函數(shù)的角度對解這三個方程進行解釋嗎？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．用函數(shù)的觀點看：解一元一次方程ax+b=k就是求當函數(shù)（y=ax+b）值為k時對應的自變量的值．2x+1=3的解y=2x+12x+1=0的解2x+1=-1的解合作探究求一元一次方程

kx+b=0的解．

一次函數(shù)與一元一次方程的關系一次函數(shù)y=kx+b中，y=0時x的值．

從“函數(shù)值”看求一元一次方程

kx+b=0的解．

求直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標．

從“函數(shù)圖象”看歸納總結例

一個物體現(xiàn)在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再過幾秒它的速度為17米/秒？(從方程、函數(shù)解析式及圖象三個不同方面進行解答)解法1：設再過x秒它的速度為17米/秒，由題意得2x+5=17解得x=6答：再過6秒它的速度為17米/秒.典例精析解法2：速度y（單位：米/秒）是時間x（單位：秒）的函數(shù)，y=2x+5由2x+5=17得2x－12=0由右圖看出直線y=2x－12與x軸的交點為（6，0），得x=6.Oxy6－12y=2x－12解法3：速度y（單位：米/秒）是時間x（單位：秒）的函數(shù)，y=2x+5由右圖可以看出當y=17時，x=6.y=2x+5xyO6175－2.5一次函數(shù)與一元一次不等式二

問題2下面三個不等式有什么共同特點？你能從函數(shù)的角度對解這三個不等式進行解釋嗎？能把你得到的結論推廣到一般情形嗎？（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．不等式ax+b＞c的解集就是使函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于c的對應的自變量取值范圍；不等式ax+b＜c的解集就是使函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值小于c的對應的自變量取值范圍．32121-2Oxy-1-13y=3x+2y=2y=0y=-1合作探究作出一次函數(shù)y=2x-5的圖象：O12345-2-1x2314-3-5-2-4y-1y=2x-5x…02.5…y=2x-5…-50…觀察圖象回答下列問題:(1)x取何值時,2x-5=0？當x=2.5時,2x-5=0.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5(2.5,0)分析:y=0(2)x取哪些值時,2x-5>0？當x>2.5,2x-5>0.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5(2.5,0)分析:y>0(3)x取哪些值時,2x-5<0？當x<2.5時,2x-5<0.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5v(2.5,0)分析:y<0(4)x取哪些值時,2x-5>3？當x>4時,2x-5>3.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5分析:y＞3概括總結

通過對圖象的觀察、分析,得:

我們既可以運用函數(shù)圖象解不等式,也可以運用解不等式幫助研究函數(shù)問題,二者相互滲透,互相作用.不等式與函數(shù)是緊密聯(lián)系著的一個整體.想一想：如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?O-3-2-112-5-4x2-1314-3-5-2-4yy=-2x-5思路二:將函數(shù)問題轉化為不等式問題.即解不等式-2x-5>0.∴當x<-2.5時,y>0.思路一:運用函數(shù)圖象解不等式.由圖象可得當x<-2.5時,y>0.(-2.5,0)作一次函數(shù)y=-2x-5的圖象

例

畫出函數(shù)y=-3x+6的圖象，結合圖象求：（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;（2）當x取何值時，y<3?解：作出函數(shù)y=-3x+6的圖象，如圖所示，圖象與x軸交于點B(2，0).

x

O

B(2,0)

A(0,6)

y解：（1）由圖象可知，不等式

-3x+6>0的解集是圖象位于x軸上方的x的取值范圍,即x<2；不等式-3x+6<0的解集是圖象位于x軸下方的x的取值范圍，即x>2；

x

O

B(2,0)

A(0,6)

31 (1,3)

y（2）由圖象可知，當x>1時，y<3.（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;（2）當x取何值時，y<3?求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0時，x的取值范圍從“函數(shù)值”看求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集

確定直線y=kx+b在x軸上方(或下方)的圖象所對應的x取值范圍

從“函數(shù)圖象”看一次函數(shù)與一元一次不等式的關系歸納總結一次函數(shù)與二元一次方程組三問題

1號探測氣球從海拔5m處出發(fā)，以1m/min的速度上升．與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5m/min的速度上升．兩個氣球都上升了1h．(1)請用解析式分別表示兩個氣球所在位置的海拔y(m)與氣球上升時間x(min)的函數(shù)關系．h1h2氣球1海拔高度：y=x+5；氣球2海拔高度：y=0.5x+15．思考1：一次函數(shù)與二元一次方程有什么關系？一次函數(shù)二元一次方程一次函數(shù)

y=0.5x+15二元一次方程

y-0.5x=15二元一次方程

y=0.5x+15用方程觀點看用函數(shù)觀點看從式子（數(shù)）角度看：由函數(shù)圖象的定義可知：直線y=0.5x+15上的每個點的坐標(x，y)都能使等式y(tǒng)=0.5x+15成立，即直線y=0.5x+15上的每個點的坐標都是二元一次方程y=0.5x+15的解.思考2：從形的角度看，一次函數(shù)與二元一次方程有什么關系？15105-5510Oxyy=0.5x+15從數(shù)的角度看：就是求自變量為何值時，兩個一次函數(shù)y=x+5，y=0.5x+15的函數(shù)值相等，并求出函數(shù)值．解方程組y=x+5

y=0.5x+15h1h2

(2)什么時刻，1號氣球的高度趕上2號氣球的高度？這時的高度是多少？請從數(shù)和形兩方面分別加以研究.氣球1海拔高度：y=x+5氣球2海拔高度：y=0.5x+15二元一次方程組的解就是相應的兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標．A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy從形的角度看，二元一次方程組與一次函數(shù)有什么關系？歸納總結

一般地，任何一個二元一次方程都可以轉化為一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，且k≠0)的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數(shù)，也對應一條直線．方程組的解

對應兩條直線交點的坐標.Oyx例

如圖，求直線l1與l2的交點坐標.分析：由函數(shù)圖象可以求直線l1與l2的解析式，進而通過方程組求出交點坐標.解方程組y=2x+2，

y=-x+3，解：因為直線l1過點(-1，0)，(0，2)

，用待定系數(shù)法可求得直線l1的解析式為y=2x+2.同理可求得直線l2的解析式為y=-x+3.得x=y=即直線l1與l2的交點坐標為Oyx1、方程x+y=5的解有多少個？寫出其中幾個。2、在直角坐標系中分別描出以這些解為坐標的點,它們在一次函數(shù)y=5－x的圖像上嗎？3、在一次函數(shù)y=5－x的圖像上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？4、以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖像與一次函數(shù)y=5－x的圖像相同嗎？想一想：方程x+y=5的解有無數(shù)個。事實上，以方程x+y=5的解為坐標的點組成的圖像與一次函數(shù)y=5－x的圖像相同。結論：

的解為坐標的點組成的圖像與一次函數(shù)

的圖像相同。1、在同一直角坐標系內(nèi)分別作出一次函數(shù)y=5－x和y=2x－1的圖像，這兩個圖像有交點嗎？2、交點的坐標與方程的解有關系嗎？結論：一次函數(shù)y=5－x和y=2x－1的圖像的交點為（2，3），因此就是方程組的解。做一做：小結：二元一次方程組的解可看作兩個一次函數(shù)和的圖像的交點。1、有一組數(shù)同時適合x+y＝2和x＋y＝5嗎？2、一次函數(shù)y＝2－x和y＝5－x的圖像之間有何關系？你能從中“悟出”些什么嗎？結論方程組的解與函數(shù)圖像之間的關系：當函數(shù)圖像有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；當函數(shù)圖像（直線）平行即無交點時，說明相應的二元一次方程組無解。創(chuàng)新探究：練一練：1、用作圖像的方法討論方程組有解的條件。2、直線與的交點坐標為（m，8），求3、已知一次函數(shù)與的圖像交于X軸上(原點外)一點，求。1y0x465321235-1-2647-1-2-3P（2，2）1y0x465321235-1-2647-1-2-3P（2，3）y=2x－1y=5－x練一練1．（2022·浙江湖州·八年級期末）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一，二，三象限，且與x軸交于點（－2，0），則不等式kx+b＞0的解是（）A．x＞-2 B．x＞2 C．x＜-2 D．x＜2【答案】A【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則函數(shù)y隨x的增大而增大，∴k>0．∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點（-2，0），即當x=-2時，y=0，∴關于x的不等式kx+b>0的解集是x>-2．故選：A．

【答案】A【點睛】本題考查了求兩個一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是正確的解出方程組的解．3．（2022年甘肅省蘭州市診斷考試（一診）數(shù)學試題）已知關于x，y的方程組

的解是

，則直線y=-x+b與y=-3x+2的交點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】將x=-1代入y=-3x+2，求出y=5，(-1,5)即為直線y=-x+b與y=-3x+2的交點坐標，判斷(-1,5)所在象限即可．

【答案】D【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組的關系，方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標．5．（2022·安徽滁州·八年級期末）如圖，直線y=kx+b經(jīng)過點A（m，－2）和點B（－4，0），直線y=2x過點A，則不等式2x＞kx+b的解集為___．【分析】直線過點A（m，－2）求出m的值，不等式2x＞kx+b即y=2x在直線y=kx+b上方時對應x的范圍，根據(jù)圖象即可求解．【答案】x＞-16．（2021·江西上饒·二模）如圖，正比例函數(shù)y1=2x和一次函數(shù)y2=kx+b交于點A（a，2），則當y1＞y2